Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 84
Текст из файла (страница 84)
е. спектр дискретизирующей последовательности состоит из бесконечной совокупности дельта-импульсов в частотной области. Данная спектральная плотность является периодической функцией с периодом 2я/Л с Наконец, подставив формулу (15.8) в (15.7) и изменив порядок следования операций интегрирования и суммирования, находим (15.9) ц Расисте» и сесне сесе н снснннн Итак, спектр сигнала, полученного в результате идеальной дискретизации бесконечно короткими стробирующими импульсами, представляет собой сумму бесконечного числа «копий» спектра исходного аналогового снпила.
Копии располагаются на оси часто~ через одинаковые интервалы 2я/Л, равные значению угловой частоты первой гармоники дискретизируюшей импульсной последовательности (рнс. !5.2,и,б). Глава 15. Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации 386 и/Ь 2н — 2 н)а — )л о — 2пlа -я)а О я)а 2я)Ь б Рис. 15.2. Спектральная плотность модулированной импульсной последовательности при различных значениях верхней ~ раничной частоты: а — верхняя граничная часто~а велика; б — верхняя граничная час~ота мала 1няетом обозначена спектраяьная пяогность исходного сигнала, подвергнутого днскретнзацяя) Восстановление непрерывного сигнала по модулированной импульсной последовательности.
В дальнейшем будем полагать, что вещественный сигнал х(г) имеет низкочастотный спектр, симметричный относительно точки оу = О и ограниченный верхней граничной частотой оу,. Из рис. 15.2,б следует, что если от, < и/Л, то отдельные копии спектра Я„(нт) не накладываются друг на друга. Поэтому аналоговый сигнал с таким спектром, подвергнутый импульсной дискретизации, может быть совершенно точно восстановлен с помощью идеального ФНЧ, на вход которого подана импульсная последовательность вида (15.5). При этом наибольший допустимый интервал дискретизации Л = н/го, = Ц2/,), что согласуется с теоремой Котельникова. Действительно, пусть фильтр, восстанавливающий непрерывный сигнал, имеет частотный коэффициент передачи О, сза К0от)= Кс -го ~аз~го О, оз > озм Импульсная характеристика этого фильтра описывается выражением й()аа — ( К0 ) Принимая во внимание, что МИП-сигнал вида (15.5) есть взвешенная сумма дельта-импульсов, находим отклик на выходе восстанавливающего фильтра севам ~ зш гоа (г )гг~) (15.10) 7,„ 387 15.!.
Модели дискретных сигивлав я~ — ч~: )в л л „в„(г) О й Л/Ь а 5мип(ю)хв ) хмип(г)е 'г)г= 13* Данный сигнал с точностью до масштабного коэффициента повторяет исходное колебание с ограниченным спектром. Идеальный ФНЧ физически нереализуем и может служить лишь теоретической моделью для объяснения принципа восстановления сообщения по его дискретным импульсным отсчетам. Реальный фильтр нижних частот имеет АЧХ, которая либо охватывает несколько лепестков спектральной диаграммы МИП, либо, концентрируясь вблизи нулевой частоты, оказывается значительно уже центрального лепестка спектра. Дла примера на рис. 15,3вб — е приведены кривые, характеризующие сигнал на выходе КОщепи, используемой в качестве восстанавливающего фильтра (рис.
15.3,а). Рис. 15.3. Восствиавлеиве нсцрсрывиога сигнала по его импульсным отсчствм с помощью КС-цсии: а — схема фильтра,' б — дисхретиый вхадиой сигнал; е, г — АЧХ филЬтра и сигнал ив его выходе в случае ЯС ~ Ь; а, е — то вге, для случая КС к Ь Из приведенных графиков видно, что реальный восстанавливающий фильтр неизбежно искажает входное колебание.
Заметим, что для восстановления сигнала можно использовать как центральный, так и любой боковой лепесток спектральной диаграммы. Определение спектра аналогового сигнала по совокупности отсчетов, Располагая МИП-представлением, можно не только восстановить аналоговый сигнал, но и найти его спектральную плотность. Для этого следует прежде всего непосредственцо связать спектральную плотность МИП с отсчетными значениями: ) х(т)Ь(т — /гб)е '"т)г=д ~ хве ™в.
(15.1Ц Удовлетворительные результаты можно получить, используя в качестве восстаиавливающе о фильтра ФНЧ с характеристикой Баттерворта достаточно высокого порядка (п>5) звв Глава 15. Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации С другой стороны, спектральная плотность 5мпп(со) была найдена ранее другим способом (см. формулу (15,9)]. Поэтому справедливо соотношение (15.12) формула суммиро- вания Пуассона са < — л/Л, О, Ь 2, хсе Ыа, — л/Л<цс<л/Л, а= — ы (15.13) 5„(со) = цз > л/сс. О, Данная формула исчерпывающе решает поставленную задачу при указанном выше ограничении. 15.2.
Дискретизации периодических снпзалов Модель дискретного сигнала вида (15.5) предполагает, что отсчетные значения аналогового колебания х(г) могут быть получены в неограниченном числе точек на оси времени. Практически получить столь обширные сведения о сигнале, безусловно, невозможно, поскольку обработка всегда ведется на конечном интервале времени. Изучим особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на отрезке 10, Т3 своими отсчетами ха, х„хы ..., хн ь взятыми соответственно в моменты времени О, Л, 2с5, ..., (Ф вЂ” 1)/с; полное число отсчетов Ф = Т/Л. Массив этих чисел, вещественных илн комплексных, является единственным источником сведений о спектральных свойствах сигнала х(с). Методика изучения таких дискретных сигналов состоит в том, что полученная выборка отсчетных значений мысленно повторяется бесконечное число раз.
В результате сигнал становится периодическим (рис. 15.4). Выделенные отсче- ты относятся к ин- тервалу периодич- ности О 1 2 54.....М-1 Рпс. 15.4. Дискретное представление периодического сигнала известное в математике как формула суммирования Пуассона. Однозначно найти функцию 5„(оз), зная левую часть равенства (15.12) из результатов измерений, вообще говоря, невозможно ввиду эффекта наложения копий спектра. Исключение составляет случай, когда заранее известно, что исходный сигнал х(с) имеет спектр низкочастотного вида, удовлетворяющий условию теоремы Котельникова. Тогда очевидно, что спектр аналогового сигнала 15Д.
Дискретизация периодических сигналов Сопоставив такому сигналу некоторую математическую молель, можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала. Дискретное преобразование Фурье. Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов и сопоставим исходному колебанию х(Е) его дискретное МИП-представление: и- е хмип(Е) = Л,5 хеб(Š— lее5).
е=о (15.14) Представим дискретную модель (15.14) комплексным рядом Фурье; х ип(е) = Л З С„еез ег (15.15) с коэффициентами С. = 1. (Е).-' ° . 1 à — мип о (15.1б) Подставляя формулу (15.14) в (15.! 6) и'вводя безразмерную переменную г, = е/Л, получим не и — е С„= — хеб(Š— ЕеЕ5) е-Ее Его)Е = Г~ '- —,5 (~' ' о о=о нк-1 1 Г~ хеб(, /„.)е де.цид, о о=о и — е и = — ~ х б (г, — й) е ДмЕЕн «)г„ е-о о А решите задачу 2 Наконец, используя фильтрующее свойство дельта-функции, имеем (15.! 7) Формула (15.17) определяет последовательность коэффициентов„образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ) рассматриваемого сигнала. Отметим некоторые очевидные свойства ДПФ. Глава 15. Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации 1.
Дискретное преобразование Фурье есть линейное преобразование, т. е. сумме сигналов отвечает сумма нх ДПФ. 2. Число различных коэффициентов Со, С», С„..., Слг», вычисляемых по формуле (15.17), равно числу М отсчетов за период; при л = М коэффициент Сн = С,. 3. Коэффициент Со (постояниая составляющая) является срелннм значением всех отсчетов: и — » с Со =-- ~хл. свойства дискретного преобразованпя Фурье 4. Если М вЂ” четное число, то и-» Снд — — — ~ х„( — 1)'.
л о 5. Пусть отсчетные значения х, — вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно М/2, образуют сопряженные пары; н-» и- » С „= — ~~ Х Е-Дм"-Нн" = — ~Х Езкн»ги = С„* 1 С~ М,~ л-о ПоэтомУ можно считать, что коэффиЦиенты Снг»л»,..., Сн, отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала онн не дают новых сведений. 111 012345 число вычисляемых гармоник Пример 15.1. Дискретный сигнал на интеоеале сяосй нериодичности задан шестью ринноотстоямилш отсчетами (х„) = = (1, 1, 1, О, О, О).
Найти коэффициенты ДПФ этого сигна,»а. Используя основную формулу (15.17), непосредственно вычисляем: С, = '74 = О 5, С, — »7 (1+ е™ Ч е-эз гз)»г П 7(ггэ) С, = '14 (! + -'*"+ е ""') = О, С» = '/з (1+ е м + е "") = '/л. Последующие коэффициенты находят на основании свойства 5: Сл = С~» = О, Сз = С» = /з (1 + ! )Л). Итак, располагая дискретным сигналом с числом отсчетов М = 6, можно найти постоянную составляющую, а также комплексные амплитуды первой, второй и третьей гармоник исходного непрерывного сигнала. Ясно, что при любом четном М число находимых гармоник составляет половину числа отсчетов.
Это положение непосредственно вытекает из теоремы Котельникова. Действительно, верхнюю граничную частоту в спектре лискретиэируемого сигнала следует находить нз соотношения зз = 1/(2а) = (М12)2», где г» = ЦТ— частота первой гармоники. Заранее предполагается, что исходный сигнал удовлетворяет условиям теоремы Ко- тельникова 391 15.2. дискретизация периодических сигналов Восстановление нсходного сигнала по ДПФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
