Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Оказывается, что если сигналы достаточно длинны (например, содержат несколько тысяч отсчетов), то для вычисления свертки целесообразно вначале найти их ДПФ, перемножить коэффициенты, а затем воспользоваться формулой (15.30), применив алгоритм БПФ. Такой способ вычислений часто более зкономичей, чем прямое использование формулы (!5.28). 15.3. Теория г-преобразовапяя Прн анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемое з-преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам.
В данном параграфе излагаются основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства. Определение опреобразования. Пусть (х!) = (хс, х!, х„...)— числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной х: Х(г)=хо+ "+ ! +'''= х!х х, х! г! ь=! Назовем эту сумму, если она существует, к-преобразованием последовательное~и (х„). Целесообразность введения такого математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их х-преобразования обычными метолами математического анализа, На основании формулы (15.32) можно непосредственно найти г-преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчетов. Так, простейшему дискретному сигналу с единственным отсчетом (х!) =.
(1, О, О, ...) соответствует 55.3. Теория г-преобразования 397 А решите задачу 5 Х (г) = 1. Если же, например, (х„) = (1, 1, 1, О, О, О, ...), то ! ! г+к+! Х(г) =1+ — + —,-= г гз Сходимость ряда. Если в ряде (15.32) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного [!4] известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию !хе~ < Маоз при любых й > О. Здесь М > О и Ко > Π— постоянные вещественные числа.
Тогда ряд (1532) сходится при всех значениях г, таких, что !г! > Яо. В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной г, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек. Рассмотрим, например, дискретный сигнал (хя) = (1, 1, 1, ...), образованный одинаковыми единичными отсчетами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд Х(г) = 1+ 1/г+ 1/г'+ ... является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых г в кольце !г! > 1.
Суммируя прогрессию, получаем Х (г) = 1/(1 — 1/г) = г/(г — !) . На границе области аналитичности при г = 1 эта функция имеет единственный простой полюс. Аналогично получается г-преобразование бесконечного дискретного сигнала (х„) = (1, а, а', ...), где а — некоторое вещественное число. Здесь Х (г) = 1/(1 — а/г) = г/(г — а) . Например, если х (г) = ехр (иг), то соответствующее г-преоб- разование Х(г) = ехр(аМ)г '= г — ехр (оо5) является аналитической функцией при (г! > ехр(ад). Обратное г-преобразование.
Пусть Х (г) — функция комплексной переменной г, аналитическая в кольцевой области (г(> йо. Замечательное свойство г-преобразования состоит Данное выражение имеет смысл в кольцевой области А )г)>а, решите задачу б г-преобразование непрерывных функций. Полагая, что отсчеты (х,) есть значения непрерывной функции х(!) в точках г = М, любому сигналу х (г) можно сопоставить его г-преобразование при выбранном шаге дискретизации: Х (г) = „з х (/ед) г (!5.34) Глава 15. Дискретные сигналы.
Принципы цифровой фильтрация 398 в том, что функция Х (г) определяет всю бесконечную совокупность Отсчетов (хв хз хг~ ...) ° Действительно, умножим обе части ряда (15.32) на множитель г г" 'Х(г)=хек з+х,г" г+...+х г '+..., Обход контура интегрирования проводится в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки (15.36) обратное г-преоб- разование Данная формула называется обратным гпреабразованием. Пример 15 2. Задано г-креобразовакие вида Х (г) = (г+ 1)/г. Найти коэффициенты дискретного сигнала (хк), отвечающего этой фрикции. Прежде всего отметим, что функция Х(г) аналитична во всей плоскости, за исключением точки г = О, поэтому оца действительно мо:кет быть г-преобразованием некоторого дискретного сигнала.
Обращаясь к формуле (15.36), иаходиы, что А решите задачу 7 1 (г+1 хв —;-~~ — здг 1, 2кУ З 1 ('г+1 х, =, дг=1, 2я/д г ..= — '4--*(.+ Лд,-о 2ку ) цри любых т П 2. Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет внд (1, 1, О, О, О, ...). Связь с преобразованиями Лапласа н Фурье. Определим при 1 > О сигнал вида идеальной МИП: хмип (1) = з1 ,'~ хкб (г — )вД). к-о Преобразовав его по Лапласу, получим изображение О г" (р) = Л 2. х,ехр( — ркп), (15.37) к е а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции Х(г).
При этом воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши: (2яу, если и= — 1, г" в)г =1 (О, если лзк — 1. Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером т, поэтому ! 5.5. Теория г-преобразоааиия 399 которое непосредственно переходит в г-преобразование, если выполнить подстановку г = ехр(р»3). Если же положить г = = ехр(!вй), то выражение О 5 (ез) = »3 2, х, ехр ( — 2вйД) (15.38) Перечисленные здесь свойства имеют прямую аналогию со свойствами преобразований Фурье н Лапласа аналоговых сигналов Таким образом, символ г ' служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в г-области: 3.
г-преобразование с'вертки Пусть х(!) и у(!) — непрерывные сигналы, для которых определена свертка О О Я) = ( х(т)у(! — т)!)т = ( у(т)х(! — т)»(т. 0 Ф Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (15АО) принято вводить дискретную свертку (Я вЂ” последовательность чисел, общий член которой ~ х»у» = ~ у»х», п» = О, 1, 2, ... (15.41) (15.40) Подобную дискретнуюсвертку в отличие от круговой иногда называют линейной сверткой » о Вычислим г-преобразование дискретной свертки: Г (г) = ! ~ х»у -»г = ),Г х»г»у -»г =а» о и О» О х»г»,» у„г "= Х(г) 1'(г). (15.42) свойство дискрет- ной свертки »=о » 0 Итак, свертке двух дискретных сигналов отвечает произведение г-преобразований. будет преобразованием Фурье импульсной последовательности. Установленный здесь факт дает возможность проводить формальную аналогию между спектральными свойствами непрерывных и дискретных сигналов.
Важнейшие свойства г-преобразованию Рассмотрим некоторые свойства г-преобразования. 1. Линейное»пь. Если (х») и (у») — некоторые дискретные сигналы, причем известны соответствующие г-преобразования Х(г) и у(г), то сигналу (и») = (ах»+ ()у») будет отвечать преобразование У(г) = аХ(г) + ОУ(г) при любых постоянных о и (3. Доказательство проводится путем подстановки суммы в формулу (15.32). 2. г-преобразование смещенного сигнала.
Рассмотрим дискретный сигнал (у»), получающийся из дискретного сигнала (х„) путем сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т. е, когда у„= х„,. Непосредственно вычисляя г-преобразование, получаем следующий результат: Ю О г'(г) = ,'Г х»,г» = г» ,'Г х„г "= г 'Х(г). (15.39) »=о » 0 Глава 15. Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации 15.4. Цифровые фильтры В настоящее время широко используются методы обработки радиотехнических сигналов с помощью микрозлектронных вычислительных устройств и систем.
В данном параграфе рассматривается простейший, наиболее изученный и внедренный класс систем дискретной обработки сигналов— так называемые линейные стационарные цифровые фильтры. Выполняя, подобно аналоговым цепям, операцию частотной фильтрации, цифровые фильтры (ЦФ) обладают рядом сущесгвенных преимуществ.
Сюда опюсятся, например, высокая стабильность параметров, возможность получать самые разнообразные формы АЧХ и ФЧХ. Цифровые фильтры не требуют настройки н легко реализуются на ЗВМ программными методами. Принцип цифровой обработки сигналов. На рнс. 15.6 приведена основная структурная схема цифровой обработки сигналов. Рлс, 15.6. Структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов аналого-цнфроцой преобразователь Ф цифровой процес- сор Непрерывный входной сигнал х11) поступает в аналогоцифровой преобразователь (АЦП), управляемый синхронизирующимн импульсами от генератора, задающего частоту лискретизацин.
В момент подачи синхроннзирующего импульса на выходе АЦП возникает сигнал, отображающий результат измерения мгновенного значения входного колебания в виде лвоичного числа с фиксированным количеством разрядов. В зависимости от особенности построения устройства этому числу соответствуег либо последовательность коротких импульсов 1передача в последовательном коде), либо совокупность уровней напряжений на сигнальных шинах отдельных разрядов 1передача в параллельном коде). Преобразованный таким образом сигнал поступает в основной блок устройства, так называемый цифровой процессор, состоящий нз арифметического устройства и устройства памяти. Арифметическое устройство выполняет над цифрами ряд операций, таких, как умножение, сложение и сдвиг во времени на заданное число интервалов дискретизации. В устройстве памяти может храниться некоторое число предшествующих 15.4. Бифровь«е фильтРы цнфро-аналоговый преобразователь х = 2' и„2 ", « (15.43) где и„= 0 или 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
