Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Если на основании совокупности отсчетов хо, х,, х,, ..., хн ~ некоторого сигнала найдены коэффициенты ДПФ Со, Сы Сз, " Скд то по ним всегда можно восстановить исходный сигнал х(1) с ограниченным спектром, который был подвергнут дискретизации. Ряд Фурье такого сигнала принимает, очевидно, вид конечной суммы: х (1) = Со + 2 1 С, 1 соь (2нт/Т+ гр,) + + 2 ~ Сз ( соь (4иг/Т+ грз) +... ... + ! Ск з ) соь (и/нт/Т + грщт), (15.18) где гр, = аг8 С, — фазовый угол коэффициента ДПФ. 1.0 0.5 Рис. 1 5.5.
Сигнал, восстановленный п о коэффицнснтьм ДПФ , В качестве примера на ри с. ! 5.5 изображен сигнал х (1), восстановленный по своим отсчетам в соответствии с данными примера 15.1. На основании формулы (15.18) этот сигнал имеет вид х (1) = '/з + з/з соь (2нг/Т вЂ” и/3) + '/, соь (бкт/Т) . М вЂ” ! х, = 2 С„ез '"1", «=о (15.19) Следует подчеркнуть, что восстановление непрерывного сигнала по формуле (15.18) есть не приближенная, а точная операция, полностью эквивалентная получению текущих значений сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам. Однако процедура, использующая ДПФ, в ряде случаев предпочтительна.
Она приводит к конечным суммам гармоник, в то время как ряд Котельникова для периодического сигнала принципиально должен содержать бесконечное число членов. Обратное дискретное преобразоваиие Фурье. Задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена и по-иному. Допустим, что коэффициенты С„образующие ДПФ, заданы. Положим в формуле (15.15) 1=АЙ и учтем, что суммируется лишь конечное число членов ряда, которые рептнте задачу 3 отвечают гармоникам, содержащимся в спектре исходного сигнала.
Таким образом, получаем формулу для вычисления отсчетных значений; ' Глава !5. Дискретные еигиалы. Принцицы цифроаоя фильтрации д решите задачу 4 (15.20) еи ~=(0,0,0 °, 1) образующих базис, который будем называть естественным базисом. При этом очевидно, что н — ! х= ~ хее, а-о естественный базис т. е. отсчетные значения х, служат проекциями вектора х на соответствующие базисные векторы. Поскольку рассматриваемое пространство является евклидовым, норма этого вектора уъ - ~ 'з пг )х1 =1 ~ хахга) а-о в то время как скалярное произведение двух векторов х и у вычисляется по формуле и — ~ (х, у) = ~ х,у,*. а-о Векторы х и у ортогональны, если (х, у) = О. Наряду с естественным базисом в гч-мерном евклидовом пространстве можно ввести много других базисных систем.
выражающую алгоритм обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Взаимно дополняющие друг друга формулы (15.17) и (15.19) являются дискретными аналогами обычной пары преобразований Фурье для непрерывных сигналов. В настоящее время дискретный спектральный анализ является одним из наиболее распространенных методов исследования снгналов с помощью компьютеров. Алгоритмы вычисления ДПФ и БПФ реализованы в таких широко распространенных прикладных математических пакетах, хак Мар1е и МайгСАаг.
Геометрическая трактовка дискретного преобразования Фурье, Следует подчеркнуть, что МИП-сигнал вида (15.5) представляет собой лишь одну из возможных моделей дискретного сигнала. Такие модулированные последовательности естественно применять для описания импульсных колебаний АИМ или ШИМ. При обработке же радиотехнических сигналов с помощью вычислительных устройств дискретный сигнал выступает не как последовательность импульсов„а как упорядоченная последовательность чисел. Роль времени при этом играет целая переменная — номер соответствующего отсчета. Дискретному преобразованию Фурье можно придать интересную и глубокую интерпретацию, если последовательность х = (х„х,, ..., хн ~) рассматривать как вектор в гт'-мерном евклидовом пространстве.
В таком пространстве имеется )ч' линейно-независимых векторов ео = (1, О, О, ..., 0), е, = (О, 1, О, ..., 0), 393 базис Фурье и — ! „м о~ ~А! ш=1, (О, !и Ф!. с-о (15.22) и- ! (х, Я = ,"! Ся(1;, 1„'). с=о откуда !5д. дискрегизапия периодических сигналов Среди ннх особую роль играет бозио Фурье, элементами которого служат векторы 1о = (! 1 1 . , 1) 1ани и ис~!и з (и — и Я!и) с= Г (1 Енс!И ИЯИИ Е!Я\И вЂ” ПЯ!И Пз!и- !пци ~4!и — пии сд!и- и «!и) .!и — 1 Скалярное произведение элементов базиса Фурье Здесь верхнее равенство очевидно; сумма обращается в нуль при и!ос 1, поскольку все слагаемые являются комплексными числами с единичным модулем и линейно нарастающим аргументом.
При суммировании соответствующие векторы всегда образуют на комплексной плоскости правильный замкнутый многоугольник. Итак, базис Фурье ортогонален, но не нормирован на единицу, поскольку 1Ч 11 =Ж,т=0,1,2,...,151 — '1. (15.23) Найдем коэффициенты разложения некоторого вектора х по элементам базиса Фурье: и — ! х = ,'!" Сяэ». (15.24) я-о Для этого умножим обе части равенства (15.24) скалярно на базисный вектор 7„' с фиксированным номером и: Так как базис Фурье ортогонален, то в правой части отличным от нуля окажется лишь слагаемое с номером 1с = и: (х, Я = С„1)7„!!з, С„= (х, 1„') = — хяе !""с!" и 11 с 11 2 и А! 7 Я что полностью совпадает с формулой (15.17), полученной на основе модели МИП-сигнала. Алгоритм быстрого преобразования Фурье.
Как видно из формулы (15.1?) или (15.19), чтобы вычислить ДПФ или Очевидно, что )с-й компонентой и-го базисного вектора является число ехр(12ини1Аг). Пря любых н и )с это число является одним из возможных значений корня Л!-й степени из еди- ницы Глава !5. Дискретные сигналы, Приипипы пифровов Фильтрации 394 ОДПФ последовательности из М элементов, требуется выполнить М' операций с комплексными числами. Если длины обрабатываемых массивов имеют порядок тысячи или более, то использовать эти алгоритмы дискретного спектрального анализа в реальном масштабе времени затруднительно из-за ограниченного быстродействия вычислительных устройств. Выходом из положения явился алгоритм быси(рого преобразования Фурье (БПФ), предложенный в 60-х годах.
Существенно сократить число выполняемых операций здесь удается за счет того, что обработка входного массива сводится к нахождению ДПФ (или ОДПФ) массивов с меньшим числом членов. Будем предполагать, и это существенно для метода БПФ, что число отсчетов М = 2л, где р — целое число. Разобьем входную последовательность (хь) на две части с четными и нечетными номерами: принцип разбиении входной последо- вательности (хк) чт (хгй/ (Хл/НЧ = (Х22+ () /( = О, 1, 2, ..., М/2 — 1 (15.25) и представим и-й коэффициент ДПФ в виде я/2-1 1 .
«км .2«л(2А Л О ' я л Ск = — Х„Е + Хг,и(Е к о ид-( и/2- ( 2лпь гкл .2«л( Хпчтс И/г + Е и Хьнчс И/г (-о и-о Непосредственно видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от О до М/2 — ! выражается через коэффициенты ДПФ двух частных последовательностей: (1526) Теперь учтем, что последовательности коэффициентов, относящихся к четной и нечетной частям входного массива, являются периодическими с периодом М/2: Слчт Си«н/гчт Спич Сп+ я/2нч ' 2к (И/2 Л «) 2ки .г — — -/— е я =е/е я= — е Кроме того, входящий в формулу (15.26) множитель при и ) М/2 мох(но преобразовать так: 395 (15.27) (15.28) «-о л — ! хс,«С„„е!!««нл, «о л —,! Уи-« = ,'~, С«!е!т !-а (15.29) с-о «-о г-о 15Д.
Днсиретизипил периодических сигналов Отсюда находим выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ! Формулы (15.26) и (15.27) лежат в основе алгоритма БПФ. Далее вычисления строят по итерационному принципу: последовательности отсчетов с четными и нечетными номерами вновь разбивают на две части. Процесс продолжают до тех пор, пока не получится последовательность, состоящая из единственного элемента. Легко видеть, что ДПФ этого элемента совпадает с ним самим.
Можно показать, что число операций, необходимых для вычислениЯ БПФ, оцениваетсЯ как 1!!'1ойз !«'. Дискретная свертка. По аналогии с обычной сверткой двух сигналов .г(г)= ) х(т)у(! — т)дт О вводят дискретную свертку — сигнал, отсчеты которого свя- заны с отсчетами дискретных сигналов х«(г) и у,(г) соотно- глением 1 Х = —, х«у -«, л! = О, 1, 2, ..., М вЂ” 1.
Найдем связь между коэффициентами дискретной свертки и ДПФ сигналов х„(г), у„(г). Для этого выразим текущие значения отсчетов х, и у, как ОДПФ от соответствующих спектров: а затем подставим эти величины в формулу (15.28): л=!л-! л — ! Х вЂ”. С ед«««гл С е/2«ни — «!Уи ! Ю Я «л «! «-о .-о !-о Изменив.
порядок суммирования, получим и — !л-! к — ! Х = — С««слез«!игл ел«!« — О«гл 1 Выигрыш в скорости вычислений по сравнению с традиционным ДПФ достигает сотен и даже тысяч при достаточных длинах входных массивов Глава 15. Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации 396 и — ! е!2 «чя =с (15.30) (15.31) (15.32) В математике гпреобразованне называют также производящей функцией исходной по- следовательности Описанный здесь алгоритм свертки периодических сигналов иногда называют круговой илн циклической сверт- кой Нетрудно заметить, что внутренняя сумма может быть вычислена на основании формулы (15.22), отображающей свойство ортогональностн элементов базиса Фурье.
Воспользовавшись этим, получаем Поскольку формула (15.30) есть ОДПФ, приходим к выводу, что коэффициенты преобразования Фурье свертки являются произведениями коэффициентов ДПФ свертываемых сигналов: Этот результат имеет большое значение в теории дискретных сигналов и цифровых фильтров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
