Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 87
Текст из файла (страница 87)
При ограничении длины числа х некоторым количеством разрядов )Ы вместо точного значения получается его округленное (машинное) представление: машинное представление чисел в цифровом фильтре и — ~ х = 2' о«2 "+ ри2 (15.44) «О причем коэффициент ()и равен либо оы либо и„+ 1 в зависимости от того, нуль или единица содержится в ()«'+ 1)-м разряде. В радиотехнике дискретные сигналы, уровни которых могут принимать лишь счетное множество значений, называют кааигловиииыми сигналами.
Квантование сигналов приводит к специфической погрешности при обработке, которая получила название иеума кваыиоваиия. Прямой путь снижения этой погрешности — использование двоичных чисел с большим количеством разрядов. Однако при этом неизбежно снижается быстродействие ЦФ ю-за увеличения времени выполнения ива итона нные сигналы !4 Р«««о«««««и«««« « с«г«« ы отсчетов входного и выходного сигналов, которые необходимы для выполнения операций обработки. Цифровой процессор преобразует поступающие в него числа в соответствии с заданным алгоритмом фильтрации и создает на выходе последовательность двоичных чисел, представляющих выходной сигнал.
Если в дальнейшем необходимо иметь информацию в аналоговой форме, то используется цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Однако это устройство может и отсутствовать, если сигналы подвергаются только цифровым преобразованиям. Основной технический показатель ЦФ вЂ” быстродействие— зависит как от скорости протекания переходных процессов в микроэлектронных компонентах, так и от сложности алгоритма фильтрации.
Если в начале 70-х годов предельные частоты сигналов, обрабатываемых с помощью ЦФ, составляли несколько килогерп. то достижения современной микроэлектроники непрерывно расширяют этот диапазон. Цифровая фильтрация сигналов получила новый стимул развития с появлением относительно недорогих и надежных микропроцессоров, а также устройств памяти, выполненных по технологии больших интегральных схем (БИС). Квантование сигналов в ЦФ. Специфика любо~о цифрового устройства — представление сигналов в виде последовательности чисел с ограниченной разрядностью.
Поэтому мгновенное значение сигнала дискретизируется по уровню таким образом, что интервалом дискретюацин (минимальной разностью между двумя соседними уровнями) служит единица младшего двоичного разряда. Точное значение отсчета сигнала в двоичной форме имеет вид Глава !5. дискретные сигналы. Принципы цнфровоя Фильтрации (15.46) О!2 (15.48) Квантование уровней находит применение н в аналоговой технике, особенно при создании систем помехоустойчивой импульсной модуляции операций над многоразрядными числами.
Поэтому на практике,в микропроцессорных системах для цифровой обработки сигналов и дискретного управления обычно применяют двоичные числа с количеством разрядов от 4 до 1б. Алгоритм линейной цифровой фильтрации. Математическая теория цифровых фильтров переносит на случай дискретных сигналов все основные положения теории линейных систем, преобразующих непрерывные сигналы. Как известно, линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал х(!) таким образом, что на ее выходе возникает колебание у(!), равное свертке функции х(!) и импульсной характеристики Й(!): Ш у(!) = ( х(т)6(! — т)дт.
е Линейный цифровой фильтр, по определению, есть дискретная система (физическое устройство или программа для компьютера), которая преобразует последовательность (хь) числовых отсчетов входного сигнала в последовательность (уь) отсчетов выходного сигнала (хо эсн хг» ".) ч'(уо уы уъ " ), или сокращенно (х!) (уь). Линейный цифровой фильтр обладает тем свойством, что сумма любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т. е. из соответствий (х)'!) (у)О), ", (х)ю) (ууп) следует, что а,(х1!!)+" +аи(х)лч) (а!у)н+ "+алу)л') (15.47) при любых коэффициентах а„а„..., ал. Для того чтобы обобщить формулу (15.45) на случай дискретных сигналов, вводят понятие импульсной харакглерисглики ЦФ. По определению, она представляет собой дискретный сигнал (л„), который является реакцией ЦФ на нединичный импульс» (1, О, О, О, ...): ! ! ! Линейный ЦФ стационарен, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискрети- зации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме.
Например: (О, 1, О, О, ...) =»(О, й., й„йы ...), (О, О, 1, О, ...) ~ (О, О, Ье, Ь„...), 15.4. Цифровыв фильтры Рассмотрим, каким образом из свойств линейности и стационарности вытекает наиболее общий алгоритм линейной цифровой фильтрации. Пусть (х„) =(хо, х„х,, ...) — некоторый сигнал на входе ЦФ с известной импульсной характеристикой. Используя соотношения (15.47) и (15.49), можно записать т-й отсчет выходного сигнала (у„): импульсная характеристика цифрового фильтра (15.50) Формула (15.50), играющая ведущую роль в теории линейной цифровой фильтрации, показывает, что выходная последовательность есть дискрвтнан свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.
Смысл этой формулы прост и нагляден: в момент каждого отсчета ЦФ проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Иными словами, ЦФ обладает некоторой «памятью» по отношению к прошлым входным воздействиям.
Практический интерес представлтот лишь физически реализуемые ЦФ, импульсная характеристика которых не может стать отличной от нуля в отсчетных точхах, предшествующих моменту подачи входного импульса. Поэтому для физически реализуемых фильтров коэффициенты Ь о й „... обращаются в нуль и суммирование в (15.50) можно распространить на все положительные значения индекса рл О у„= 2 хь)1 „, т=0,1,2,.... ь-о общий алгоритм цифровой фильтра- ции принцип физической реализуемости цифрового фильтра (15.51) Дискретные гармонические последовательности.
Как известно, в теории линейных систем особую роль играют комплексные сигналы вида х(г) = А ехр () («и + ьр)], отображающие гармонические колебания. При дискретизации такого сигнала по времени получается так называемая гармоническая нослв- довательность гармоническая по- следовательность (хь) = (А ехр ) ) (оз)ьб + ьр)1), такая, что йе (х„) = (А сов (озМ + <р)), (! 5.52) (15.53) ~р неоднозначный характер дискретного представления гармонических сигналов и Следует иметь в виду, что последовательности (15.52) и (15,53) представляют дискретизированные гармонические сигналы неоднозначно. Действительно, эти последовательности не изменятся при замене частоты оз на оз + 2лн/Ь = = оз+ нозл, где н — любое целое число, оз, — угловая частота дискретизации.
Частотный коэффициент передачи ЦФ. Предположим, что на вход линейного стационарного цифрового фильтра подана гармоническая последовательность (хь) вида (15.52), неограниченно протяженная во времени, т. е. с индексом )г, прини- Глава ! 5. дискретные сигналы. Приилилы иифраваа фильтралии структура выходного сигнала цифрового фильтра (15.55) периодический характер частотного коэффициента передачии цифрового фильтра связь между системной функцией и импульсной харак- теристикой ункция фильтра (15.57) Принципиально невозможно отличить два днскретизнрованных гармонических колебания, разность частот которых находится в цело- кратном отношении с частотой дискретизации мающим значения О, т1, +2, ...
Для того чтобы вычислить выходной сигнал фильтра (у„), воспользуемся формулой свертки (15.50) и найдем т-й отсчет на выходе: у = 2 и«)! « = Ае'«2 е"'мй и — и «-- Выполнив тождественные преобразования, получим у =Асти "" 2' е"'в !«л «=- « Введем новый индекс суммирования и = т — lс, Тогда у = Ае"" "'" 2 е т«лЬ„. (15.54) «=0 В соответствии с формулой (15.54) выходной сигнал имеет структуру дискретной гармонической последовательности с той же частотой, что и входной сигнал. Выходные отсчеты получаются из входных умножением на комплексную величину называемую частопн!ым коэффициентом передичи ЦФ, зависящую от частоты се, а также от шага дискретизации Ь и от совокупности коэффициентов (Ь„) импульсной характеристики ЦФ.
Формула (15.55) позволяет сделать выводы: 1. Частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации сл« = 2л/Ь. 2. Функция К()сл) есть преобразование Фурье импульсной характеристики ЦФ, представленной в форме последовательности дельта-импульсов: Ь, (!) = )!сб (!) + Ь, 8 (à — !5) + ... [ср. с формулой (15.38)). Системная функция ЦФ. Расчет важнейшей характеристики ЦФ вЂ” частотного коэффициента передачи — удобно проводить, используя методы г-преобразований. Сопоставим дискретным сигналам (х„), (уг), (й,) их г-преобразования Х(г), У(г), Н(г) соответственно. Выходной сигнал фильтра (уг) есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики, поэтому [см.
формулы (15.42), (15.50)) выходному сигналу отвечает функция У(г) = Н (г) Х(г). (15.56) Системной функцией стационарного линейного ЦФ называют отношение г-преобразования выходного сигнала к г-преобразованию сигнала на входе. Соотношение (15.56) устанавливает, что системная ф !5.5. Ревлязацня алгоритмов цифровой фнльтрапнн есть г-преобразование импульсной характеристики. Сравнивая выражения (15.55) и (15.57), приходим к следующему выводу: чтобы получить частотный коэффициент передачи ЦФ нз его системной функции, в последней нужно сделагь подстановку х = ехр(/ФЛ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
