Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 91
Текст из файла (страница 91)
При проектировании ЦФ в ряде случаев следует учитывать специфические погрешности их работы, возникающие за счет квантования сигналов, т. е. вследствие представления всех величин, как постоянных, так и изменяющихся во времени, в виде двоичных чисел с конечной разрядностью. Квантованный характер сигналов приводит к целому ряду явлений, описанных в литературе по цифровой фильтрации [393. Здесь будет рассмотрен простейший эффект — возникновение так называемого шума квантования.
Пусть и,„— наибольшее значение аналогового сигнала на входе АЦП, которое еще не вызывает переполнения арифметических устройств фильтра. Если а — число двоичных разрядов, отводимых для представления чисел в фильтре, то очевидно, что квантование сигнала происходит с шагом 9„,=и „/2. (15.103) шум квантовании Квантованные отсчеты описывают мгновенные значения аналогового сигнала не точно, а с некоторой погрешностью, тем меньшей, чем меньше шаг квантования.
Иными словами, отсчеты входного сигнала х, фильтра являются суммами истинных значений х, и отсчетов л, некоторого дискретного случайного процесса, называемого шумом квантования: х„= хь+ яь (15404) А решите задачу 14 Теоретически и экспериментально показано, что в большинстве случаев, интересных для практики, последовательность (ль) образована статистически независимыми случайными величинамьь каждая из которых равномерно распределена на интервале от — д /2 до 9„,/2 и поэтому имеет нулевое математическое ожцлание и дисперсию аг„= дг,/12 (см. гл.
6). Глава ! 5. Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации Шум квантования, присутствующий на входе ЦФ, преобразуется этим устройством. Пусть (п„„ь) — дискретная последовательность, соответствующая входному шуму квантования. Для того чтобы найз и 1-й отсчет выходной последовательности (п,и,г), следует вычислить дискретную свертку входного шумового си~нала и импульсной характеристики фильтра: (15. 105) !=о Отсюда определяем функцию корреляции шума квантования на выходе: В» *(т) = ~' п»ч»,п,„„, !=о Проводится суммирование по индексу !' йэп и — /йг-и»з»ию-и ог о » = В,„(т) ~' )гзй, !=о (15.106) Положив т = О, получим дисперсию шума на выходе: А решите задачу 15 (15.107) Таким образом, выходной шум квантования оказывается тем больше, чем медленнее уменьшаются отсчеты импульсной характеристики фильтра.
Результаты ОО ОО ОО ОО ОО ОО В отличие от аналоговых сигналов дискретные сигналы описываются последовательностчми отсчетных значений в дискретном множестве точек. Спектр дискретного сигнала состоит из бесконечного числа ккопийь спектра исходного аналогового сигнала. Восстановление исходного сигнала из дискретной последовательности отсчетов реальным частотным фильтром неизбежно связано с искаженичми. Число амплитудных коэффициентов гармоник, находимых с помощью дискретного преобразования Фурье, составляет половину числа отсчетов. Использование г-преобразования позволяет изучить дискретные последовательности методами математического анализа непрерывных функций. Выходная последовательность цифрового фильтра (ЦФ) есть результат дискретной свертки входного сигнала и импульсной характериспшки фильтра.
Частотный коэффициент передачи ЦФ является преобразованием Фурье импульсной характеристики фильтра и представляет собой периодическую функцию частоты с периодом, равным частоте дискретизации. Системная функция ЦФ является г-преобразованием импульсной характеристики.
421 Вопросы ФФ С точки зрения реализации алгоритма фильтрации принято различать трансверсальные и рекурсивные ЦФ. ФФ Рекурсивный ЦФ устойчив в том случае, если все полюсы его системной функции лежат внутри единичного круга с центром е точке г = О.
суСз При синтезе ЦФ используют импульсную или частотную характеристику аналогового фильтра-пропютипа. Представление данных е виде двоичных чисел с конечным числом разрядов приводит к специфическому источнику погрешности работы ЦФ, называемому шумом квантования. Вопросы Задачи 1. Аналоговый сигнал х(г) имеет вид прямоугольного видеоимпульса с длительностью т„= 2 мс. Данному колебанию сопоставлена модулированная импульсная последовательность (сигнал вида АИМ)г состоящая из 10 равноотстоящих видеоимпульсов длительностью 5 мкс каждый. Найдите спектральную плотность данной последовательности. 2.
Дискретный сигнал на интервале своей периодичности задан четырьмя равноотстоящими отсчетами: (хь) = (1, О, — 1, О). Вычислите коэффициенты ДПФ этого сигнала. 3. Найдите формулу, описывающую аналоговый сигнал х(Г), восстановленный по коэффициентам ДПФ в соответствии с данными задачи 2. 4. Дискретный периодический сигнал имеет следующие коэффициенты ДПФ: Сь = 0.5, С, = 1.5. Коэффициенты с более высокими номерами образуют бесконечную периодическую последовательность.
Найдите отсчетные значения сигнала, взятые в пределах интервала периодичности. 5. Цифровой сигнал (х,) задан четырьмя отсчетами: 1. Изобразите структурную схему импульсного модулятора. В чем состоит характерное отличие сигналов вида АИМ и Ш ИМ? 2, Какой вид имеет спектральная плотность дискретизирующей последовательности? 3. В чем заключается причина искажений сигнала на выходе восстанавливающего фильтра нижних частот, если его частота среза значительно превышает частоту дискретизации входной импульсной последовательности? 4. Дискретный сигнал на интервале периодичности задан с помощью 1б отсчетов.
Каков номер наивысшей гармоники, которую можно вычислить с помощью ДПФ по этим данным? 5. На каком принципе основан алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ)? б. Как формулируются условия сходнмости х-преобразования? 7. Каково число двоичных разрядов, применяемых обычно в ЦФ для представления чисел? 8. Перечислите свойства импульсной характеристики стационарного линейного ЦФ.
Какому условию должна удовлетворять импульсная характеристика физически реализуемого ЦФ? 9. Почему представление гармонических аналоговых сигналов с помощью последовательности равноотстоящих отсчетов является неоднозначным? 1О. Как определяется понятие системной функции цифрового фильтра? 11. В чем состоят характерные отличия системных функций трансверсальных и рекурсивных ЦФ? 12. Почему трансверсальные ЦФ являются устойчивыми системами? 13. Чем принципиально отличаются импульсные характеристики трансверсальных н рекурсивных фильтров? 14. В чем состоят достоинства ЦФ, реализованных по каноническим схемам? 15.
На чем основан синтез ЦФ по методу инвариантных импульсных характеристик? 16. Почему невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику аналогового фильтра-прототипа? 17. Как влияет вид импульсной характеристики ЦФ на дисперсию выхолного шума квантования? 422 Глава 15. Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрании а) у, = 2.5х, — 0.8у; б) у, = 2.5х, + 0.8у; Более сложи ы е тода н ни Найдите х-преобразование этого сигнала. б. Вычислите х-преобразование, отвечающее аналоговому сигналу х(г) = аг (г > О), где а — постоянная величина. 7. Пусть з-преобразование дискретного сигнала (х,) имеет вид Х(з) =(зз+2х+1)/г.
Найдите отсчетные значения этого сигнала. 8. Импульсная характеристика ЦФ задана тремя ненулевыми отсчетами: (Ьд) = =(1, 0.5, 0.25). Вычислите системную функцию и частотную характеристику данного ЦФ. 9. Изобразите структурную схему ЦФ, работающего в соответствии с алгоритмом у, = 1.75х, — 0.55х,, + 0.25х, Вычислите системную функцию и частотный коэффициент передачи. 10. Рекурсивный ЦФ работает в соответствии с алгоритмом у,=х~+05у; г — 075у~-з.
Исследуйте устойчивость данного ЦФ. 11. Вычислите и постройте импульсные характеристики цифровых фильтров, описы- 1б. Рассмотрите возможность представления периодического дискретного сигнала с помощью преобразования Фурье — Уолша, в котором, в отличие от обычного ДПФ, базисные функции вида ехр( — /2ялй/М) заменены функциями Уолша. 17. Предложите способ цифровой фильтрации, основанный на прямом использовании алгоритмов ДПФ и ОДПФ. 18. Запишите на ФОРТРАНе фрагмент программы, реализующей алгоритм рекурсивной цифровой фильтрации. 19. Применив метод инвариантных импульсных характеристик, синтезируйте ЦФ, ваемых разностными уравнениями: 12. Используя метод инвариантных импульсных характеристик, синтезируйте трансверсальный ЦФ, подобный интегрирующей ЯС-цепи.
Импульсную характеристику фильтра представьте четырьмя равноотстоящимн отсчетами. Вычислите АЧХ синтезированного фильтра, положив Ь/(ВС) 0.5. ° 13. Используя метод инвариантных частотных характеристик, синтезируйте ЦФ, амплитудно-частотная характеристика которого подобна АЧХ аналогового ФНЧ Чебышева 2-го порядка с параметрами: ге 2 10з с ', е = 0.8. Частота дискретизации еэд —— 1.5 10д с 14. Аналоговый сигнал на входе АЦП цифрового фильтра имеет максимальную амплитуду () ,„ = 50 В.
Для представления отсчетов использованы восьмиразрядные двоичные числа. Вычислите дисперсию шума квантования на выходе АЦП. 15. На входе рекурсивного ЦФ с алгоритмом у, 0.45х,+0.95у,, действует шум квантования, шаг которого йдь = 0.5 мВ. Определите дисперсию шума квантованиа на выходе фильтра. соответствующий аналоговому колебательному контуру с потерями, импульсная характеристика которого имеет вид Ь(г) = ехр (- иг) сов еег.
20. В математике последовательностью Фибоначчи называют совокупность чисел (х,), связанных соотношением х, = х,, + + х~-з. Найдите первые 10 чисел Фибоначчи, положив хе = О, хг 1. Предложите аналитический способ нахождения згих чисел с любым номером. Свяжите данную задачу с проблемой устойчивости рекурсивных ЦФ. Убедитесь, что члены последовательности Фибоначчн нарастают зкспоненциально.
Глава 16 Некоторые вопросы теории помехоустойчивости радиоприема Борьба с шумами и помехами является основной задачей во многих областях радиотехники. Обеспечить высокую помехоустойчивость систем передачи информации можно разными путями. Например, создают такие устройства для обработки, которые некоторым наилучшим образом выделяют сигнал, искаженный присутствием помехи. Другой путь заключается в совершенствовании структуры передаваемых сигналов, использовании помехоустойчивых способов кодирования и модуляции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
