Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Помимо этого импульсная характеристика согласованного фильтра смещена относительно сигНаЛа З.х( — 1) На ОТРЕЗОК 1,. Рис. 16.1 иллюстрирует принцип построения функции )х„м(1) пРименительно к некотоРомУ импУльсномУ сигналУ з,„(с) длительностью т„, возникающему при г = О. Анализируя построение, приведенное на рис. 16.1, можно сформулировать необходимое (но не достаточное) условие 429 16.2. Оцтвмачьнвя фильтрация сигналов известной формы Рис. 16.!.
Построеняе импульсной характеристики согласованного фильтра условие физической реализуемости согласованного фильтра =/с ) и,„'(т)ям[со-(с — т)~с)т = Ф = )с 1 и,„(т)в„[т — (с — со)1с(т. (16.19) Легко заметить, что последний интеграл представляет собой взаимокорреляционную функцию сигналов им(с) и з,„(с) (см. гл. 3), т. е. (16.20) и,„„(с) = lсВм (с — с,). В момент времени го мгновенное значение выходного сигнала с точностью до коэффициента пропорциональности оказывается равным скалярному произведению обоих сигналов: ивы» (со) = )с 1 ив» (т) зв» (т) с(т.
(16.2 1) физической реализуемости согласованного фильтра: промежуток времени со между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого импульса. В противном случае импульсная характеристика системы была бы отличной от нуля при с <О, т. е. до момента поступления дельта-импульса на вход фильтра. Смысл этого условия таков: для создания максимально возможного мгновенного значения сигнала на выходе согласованный фильтр должен предварительно провести обработку всего входного сигнала.
Согласованный фильтр как коррелятор. Пусть и,„(с) — некоторый входной сигнал, в обшем случае не совпадаюший с сигналом в„(с), по отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным. Отклик фильтра на данное входное воздействие и,„„ (С) = ) им (т) Ь~,в (à — т) с(т = Глава 1б. Вопросы теории домехоустоачнвосгн рвднснрнсма 430 апет. 'Ь О т, О т.
2т„ б в О т а (16.22) (16.23) — йс — Явгв ( б (Г) ЕгеС Г)Г (16.24) (16.25) Следует обратить вниманпе на то, что при согласованной фильтрации формы сигналов на входе и на выходе могут сильно различать- си Рнс. 165Ь Построение сигнала нд выходе фильтра, согласованного с прямоугольным вндеонмнульсом: а — сигнал нв входе; б — его ввтскоррелянвсннвя функди»; е — сигнал нв выхоле для случая, когда мвксвмум выходного калебвнвя дсствгвется в момент скснчвнн» вмлульсв нв входе Предположим теперь, по и,„(г) =х,„(г), т.е. на входе фильтра присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован. Из формулы (16.20) следует, что в этом случае т.е. выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой во времени на отрезок гн В качестве примера на рис.
16.2 изображено построение ,сигнала на выходе конкретного согласованного фильтра. Частотный коэффициент перадачи согласованного фильтра. Поскольку импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, на основании формулы (16.18) гг-еегх ()ГО) = й ) двх РС Г) Е Г)Г ° Введя новую переменную интегрирования г, = гс — ь отсюда получаем К„,х ()ге) = - йе л" ) д,„(Р) ене г)Р, = Последнюю формулу можно записать следуюшнм образом: Итак, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала, для выделения которого этот фильтр предназначен.
Множитель пропорциональности й в формуле (16.25) определяет уровень усиления, вносимого фильтром. Значение мо- 1бД. Олтимальиал фильтрация сигиалов игвестиой формы мента времени 1 входит лишь в выражение фазовой характеристики фильтра. При этом сомножитель ехр( — !согв) описывает смещение выходного отклика фильтра по оси вРемени на величинУ го.
Физическая интерпретация частотного коэффициента передачи согласованного фнльтра. Фильтр, выделяющий известный сигнал из смеси с шумом, должен с малым ослаблением пропускать гармонические колебания, частоты которых отвечают лишь тем участкам спектра, где спектральная плотность полезного сигнала отлична от нуля. При этом, естественно, модуль частотного коэффициента передачи должен быть пропорционален модулю спектральной плотности сигнала, т.
е. тому вкладу в выходной сигнал, который вносится каждым малым участком на оси частот. Если спектр полезного сигнала имеет дискретную структуру (напрнмер, сигнал является периодическим), то данный принцип приводит к фильтрам с гребенчатой формой АЧХ, широко применяемым в радиотехнике. Согласованный фильтр действует подобно гребенчатому фильтру. Однако здесь удается добиться еще большей эффективности обнаружения сигнала путем использования свойств фазового спектра. Действительно, сигнал на выходе согласованного фильтра (см. формулу (16.22)2 достигает максимума км )К! )сЕ " ) .ч (ог) )г бог 2л (1 6.26) (16.27) равным отношению пикового значения мощности полезного сигнала в момент максимального отклика к средней мощности выходного шума. Числитель этой дроби определяется (Е,— энергия выделяемого сигнала) в момент времени ко~да все элементарные составляющие спектра входного колебания складываются на выходе когерентно, имея одни и те же фазовые сдвиги.
Таким образом, эффект согласованной фильтрации связан с коррекцией фазовых сдвигов между отдельными спектральными составляющими выделяемого сигнала. Прохождение суммы сигнала и шума через согласованный фильтр. Рассмотрим случай, когда на входе фильтра, согласованного с некоторым известным сигналом а,„г)), присутствует сумма этого сигнала и стационарного белого гауссова шума л(1), характеризуемого двусторонней плотностью спектра мощности Ио. Согласованный фильтр, будучи линейной стационарной системой, обрабатывает сигнал и шум независимо друг от друга.
Условимся характеризовать эффективность действия фильтра отношением сигнал/шум на выходе 432 Глава !6. Вопросы теории помехоустойчпвсстп рапиопрпвма 2л Ф (16.28) = й'И'в з,„(г) 01 = /гзИгьЕ* (16.29) Пример 16.3. Лолезный сигнал представлявт собой прямоугольный радиаилтульг с некоторой аломитудай Иь и длительностью з„= 10 мкс. Белый шум на входе филыпра характеризуется спектральной плотностью мощности Иь 3 10 'ь В -с.
Определить минимальное значении Иь, при мотором возможно надежное обнаружении этого сигнала, если приемник уверенно индицирует присутствие сигнала при отношении гигнал/шум 2 лБ. ТРебУемУю величинУ Кьиз Яайдем нз УсловиЯ 10 18 (2ььи = 2, откуда (2ыт = 1.58. Так как энергия прямоугольного радиопмпульса Е.
= Иьзз 2, то Иь ы = )/3.16И'ь/зн т 1 ыкВ. т решите задачу 2 Если белый шум задан односторонним спектром мощности с плотнос- тьюФ (Вг/Гц), то, как легко видеть, Д,„„=- 2Ег/Хь Эта формула часто встречается в лите- ратуре выражением (16.26). Дисперсия шума на выходе фильтра на основании (16.25) не зависит от формы частотного коэф- фициента передачи фильтра, а определяется спектром мощ- ности входного шума Иь и энергией сигнала на входе Е,: С учетом выражений (16.26) и (16.29) приходим к выводу, что отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра Б:=:::Л Д,ю = Ез/Хо. (16.30) Поскольку числитель в формуле (16.27) представляет собой предельно достижимый отклик, ясно, что согласованная фильтрация обеспечивает максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе системы.
По этой причине согласованный фильтр является оптимальным филыпром, выделяющим известный сигнал из смеси с белым гауссовым шумом при максимально возможном отношении сигнал/шум. Замечательная особенность согласованного фильтра состоит в том, что возможность обнаружения сигнала оказывается зависящей от его энергии, а не от формы. В частности, всегда можно добиться надежного обнаружения сигнала малой амплитуды, если соответствующим образом увеличивать длительность импульса. Однако при этом, естественно, будет снижаться скорость передачи информации по радиоканалу. 433 Ю бм(ы) = ам(г)е ляг(г = е ы и, = его ~е ы'Пг = —,(1 — е-хм) уеэ о (16.31) !5 Рад о ехиячеекее мп 16.3.
Реализация согласованных фильтров 16.3. Реализация согласованных фильтров Полученные ранее выражения, определяющие частотную и импульсную характеристики согласованного фильтра, дают возможность найти физическую структуру устройства для оптимальной фильтрации сигнала известной формы. Ниже на конкретных примерах будут показаны некоторые приемы такого синтеза. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса. Рассмотрим импульсный сигнал х,„(г), представляющий собой видеоимпульс прямоугольной формы с известной длительностью т„и произвольной амплитудой Уе. Чтобы найти структуру фильтра, согласованного с таким сигналом, используем спектральный метод.
Прежде всего вычислим спектральную плотность полезного сигнала: Отсюда на основании выражения (16.25) находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра, положив для конкретности ге = т„т. е, что отклик фильтра максимален в момен~ окончания импульса: 1 — е"' к К„„()ев) = /с — е лпх = — (1 — е Лпх). (16.32) - 1гп /И Полученный результат позволяет синтезировать согласованный фильтр. Действительно, в соответствии с выражением (16.32) такой фильтр должен представлять собой каскадное соединение трех линейных звеньев: а) масштабного усилителя с коэффициентом усиления к; б) идеального интегратора; в) устройства с коэффициентом передачи К'(/ге)=1 — ехр( — 1езт„). Последнее устройство реализуется с помощью звена задержки сигнала на время т„, инвертора,.
изменяющего знак сигнала, и сумматора. Структурная схема фильтра изображена на рис. 16.3. Ряс. 16.3. Структурная схема согласованного фильтра для прямо- угольяого вплеопмпульса Здесь частотный коэффициент передачи не является дробно-рациональной функцией и поэтому соответствующий фильтр не может быть цепью с сосредоточенными параметрами Глава 1б. Вопросы теории помехоустойчивости раляопрпема о т )'М-1) Т Применение сложных сигналов вида пачек импульсов, естественно, снижает темп выдачи данных по сравнению с использованием одиночных импульсов Согласованный фильтр для пачки одинаковых видеонмпульсов. В радиолокации часто, стремясь увеличить энергию полезного сигнала, обрабатывают импульсы отдельными пачками. Предположим, что на выходе амплитудного детектора приемника имеется пачка нз М одинаковых видеоимпульсов длительностью т„каждый; интервал между импульсами равен Т.
Если Яп(с)) — спектральная плотность отдельного импульса, то спектральная плотность пачки импульсов бп(е)) = Яо(п)) ~1 + е нт+ е д"т+ ." + е дя и "т3 (16 33) Синтезируя структуру согласованного фильтра для пачки импульсов, потребуем, чтобы максимальный отклик возникал в момент окончания последнего импульса пачки, откуда )с = (М вЂ” 1) Т+ т,. Применив формулу (16.25), находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра: К,, ()тл) = /гбпь (и)) е ) и х Х ~1 + (Ует+ Еяьт 1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
