Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Дискретные сигналы. Принципы циоровой фцпьтраццц 414 15.6. Синтез линейных цифровых фильтров Важное практическое значение имеют методы синтеза ЦФ, обеспечивающие заранее заданные свойства, например, требуемый вид импульсной или частотной характеристики [40). Ниже будет идти речь о тех приемах синтеза, которые существенным образом опираются на свойства аналоговых цепей, служащих модельными аналогами (прототипами) цифровых устройств Метод инвариаитных импульсных характеристик.
В основе этого простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа. Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при с <О, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ: принцип подобии импульсных характеристик аналогового н цифрового фильтров (15.79) Пример 15.7. Рассмотреть синнюз трансеерсального иифроеого йияьтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей ЯС-Вени) с импульсной характеристикой вида о,с<о, ехр(-с/с), с > 0 (15.80) Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным.
Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ. Связь между коэффициентами импульсной характеристики и структурой ЦФ особенно проста лля трансверсального фильтра. В общем случае синтез структуры фильтра осуществляется путем применения г-преобразования к последовательности вида (15.79). Найдя системную функцию Н(г) фильтра, следует сравнить ее с общим выражением (15.б4) и определить коэффициенты трансверсальной и рекурсивной частей. Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации сь. При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции Н(г) замену переменной по формуле г =ехр((цьсь), и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.
415 15.6. Синтез линейных цифровых фильтров (несузцественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице). Пусть импульсная характеристика аппроксимнруется последовательностью иэ трех равноотстоящих отсчетов: (й ) [1 е™ е-зы.) (15.8!) Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разносзным уравнением у, = х„+ е ьнхь, + е зьнхь з. (15.82) Применив з-преобразование к последовательности (15.8Ц, находим системную функцию ЦФ Н(г) =1+в ы*з '+е '"'з ', (15.83) откуда частотный коэффициент передачи К()ю) = 1 + е ьне з"' + е 'ьне зьы (15.84) Пример 15.8.
Рассмотреть случай, когда импульснав характеристика (15.80) аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью (йь) (1 е-ы е-зы ) (15.85) Выполнив з-преобразование импульсной характеристики (15.85), получим системную функцию О(з) — 1 .1. е ы'з з .1. е зьдз з .1.... = 1 ! — е ы'з ' (15.86) Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-со порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок н один элемент задержки.
Частотный коэффициент передачи фильтра 1 К Ою) (15.87) Положим для конкретности, что отношение т/Ь = 5. На основании формул (15.88), (15.84) и (15.87), сделав несложные преобразования, запишем выражения нормированных АЧХ аналогового и двух цифровых фильтров, рекурсивного и Сравнение трансверсальиых и рекурсивных ЦФ. Желательно, чтобы АЧХ синтезируемого ЦФ достаточно точно аппроксимировала АЧХ аналогового прототипа. Выбор того или иного варианта структуры ЦФ в рамках метода инвариантной импульсной характеристики существенно сказывается на точности приближения.
Сравним частотные характеристики двух ЦФ, рассмот- т ренных в примерах 15.7 и 15.8. Оба эти фильтра соот- решите задачу 12 ветсгвуют аналоговому прототипу с частотным коэффициентом передачи: К(/се) = 1/(1+/сот). Глава 15. Дисаретиые сигналы. Принципы цифровой фильтрации 416 трансверсального ! Х(!а) ~ 1 К(!О) ~а )/! -1- 25аад' ! К(!а) ~ 0,1811 ! О) ~! ° (/1.6703 — 1.6375 соз аЬ (15.89) (15.90) К(!а) (15.91) К(/О) та 2,4890 Результаты расчета величин ) К()а)/К (!О) ) по данным формулам сведены в табл. 153. Таблица !5.! 0.0 !.0000 !.0000 0.5 0.37! 4 0.3754 1.0 О.!96! 0.2046 1.5 ОЛ322 0.1454 2.0 0.0995 О.! 1 82 2.5 0.0797 О.! 050 3.0 0.0665 0.1000 ! .0000 0.920! 0.7005 0.3990 0.1305 0.2234 0.3360 Предположим, что щаг дискретизации равен !5 и рассмотрим совокупности дискретных отсчетов (у,) и (ха).
Если в (15.92) заменить производные их конечно-разностными выражениями, то дифференциальное уравнение превратится в разностное уравнение (15.93) Из приведенных данных видно, что как рекурсивный, так и трансверсальный ЦФ действительно обладают характеристиками фильтров нижних частот. Однако рекурсивный фильтр по своим частотным свойствам оказывается гораздо ближе к аналоговому прототипу. Синтез ЦФ на основе дискретизации дифференциального уравнении аналоговой цепи. К структуре ЦФ, приближенно соответствующего известной аналоговой цепи, можно прийти, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, описывающего аналоговый прототип. Как пример использования этого метода рассмотрим синтез ЦФ, отвечающего колебательной динамической системе 2-го порядка, для которой связь между выходным колебанием у(г) и входным колебанием х(!) устанавливается дифференциальным уравнением — + 2а — + аезу = х (1).
бзу ду бг' дг (15.92) 15,6. Синтез линейных цифровых фильтров 417 Перегруппировав слагаемые, отсюда получаем Ь'х„+ 2 (1 + аЬ) у„- г — У, — з Уа 1 2пД+ заз (15.94) Разностное уравнение (15.94) задает алгоритм рекурсивного фильтра 2-го порядка, который моделирует аналоговую коле- ° бательную систему. Такой ЦФ принято называть пифро- цифровой вым резонатором. При соответствующем выборе коэффн- тоР циентов цифровой резонатор может выполнять роль частотно- избирательного фильтра, подобного колебательному контуру.
Метод ннвариантных часготиых характеристик. Принципиально невозможно создать ЦФ„частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис. 1512).
резона- О а 1 — 2и)Ь -и)а О и)а 2и Уа Р с 15. 2. б ис. 15.12. Амплитудно-частотиые характеристики фильтров: о — аналогового; 6 — цифрового Г оворя о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот оз„относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот оз„цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству — л/Л с оза с к/Ь принцип подобии частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров (15.95) при сохранении общего вида АЧХ. Пусть Ка(р) — передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая' дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты р.
Если воспользоваться связью между переменными в и р: з = ехр(РЬ), то можно записать р = (1/Ь)1пг. (15.96) Однако с помощью этого закона связи нельзя пол- у чить физически реализуемую системную функцию ЦФ, по- 418 Глава 15. даскрезцые слптлы. Прцлцццы цлфровой флльтрвцлл скольку подстановка (15.96) в выражение К,(р) приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от г, которая обладала бы основным свойством преобразования (15.96), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости г, в точки мнимой оси на плоскости р.
Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида [40) Функцию вида (15.97) называют билинейным преоб- разованием о 2 г — 1 Л г+1* (15.97) устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в г-плоскости со всей мнимой осью в р-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполНЕНа ЗаМЕНа ПЕрЕМЕННОй г = ЕХр(/сгиба). ТОГда /Оз, = (2/дз) [ехр (/Ози Л) — 1зз/[ехр (/Озим) + 1дз, откуда вытекает соотношение между частотными перемен- НЫМИ Ф, И Фи апаЛОГОВОй И ЦИфРОВОй СИСТЕМ: 2 Оз„б Оз = — 18 —" Л 2 Если частота дискретизации достаточно велика (Оз„Ь ~ 1), то, как легко видеть из формулы (15.98), Ф, ее Фп Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают.
В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98). Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том„что в функции К,(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации. связь между частотными переменными аналогового и цифрового филь- тров Пример 15.9. Синтезировать циягровой фильтр с частотной карактериспшкой, подобной характеристике аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттерворта.
Частота среза для ЦФ ы „= 1%О с Частота дискретизации ыд — — 10000 с Прежде всего определяем шаг ллскретлзацлл зх = 2я/ыв —— = 6.2832.!О л с. По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, лодоблого слитезлруемому ЦФ: 2 ОЗ,ил ы = — 18 св = 1621.9 с '. Ь 2 Как известно, передаточная функция аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттервортв, рассматриваемая относительно цормл- 419 15.б. Синтез линейных цифровых фильтров ровапной комплексной частоты р„, имеет внд (см, гя, 13) 1 к,(р„) =— рг -ь (/2р„.ь 1 вли при переходе к истинной комплексной частоте вг ка(р) = -)/2в (15.99) (15.100) Выполняв в (15.100) замену переменной вада (15.97), находим системную фупкпию ЦФ; Н (г) = вг, (г + 1)г Я(2/б) + )/2 (2/Л) в„-~- вг,| гг + +2(вг — (2/о)гзг+(2/о)г $/2(2/Ь)вгв+вг ) 1 (15101) А решите задачу 13 Подставив в эту формулу числовые значения, получим следующий результат: гг -Ь 2г + 1 (15.102) 7.6272гг — 5.7033г + 2.07б1 Влияние квантования сигнала иа рабату цифрового фильтра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
