Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Оно заставляет уделять серьезное внимание предварительной обработке сигнала, подвергаемого' цифровой фильтрации. 'Ю~ Х -23 Выход эффект наложения Соответствующие графики представлены на рис. 15.8,а,б, где по горизонтальным осям отложена величина вЛ вЂ” фазовый угол интервала дискретизации при текущем значении частоты. Предположим, например, что вЛ =60', т. е, на один период гармонического входного колебания приходится шесть отсчетов. При этом входная последовательность будет иметь вид 15.5.
Реализация алгоритмов цифровой фильтрации Рекурсия — математический прием, состоящий в циклическом обращениин к данным, полученным на предшествующих эта- пах Рекурсивные ЦФ. Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования Ьго выходного отсчета используются предыду1цие значения не только входного, но и выходного сигнала: у; =асх,+а,х,, +" +а х; „+ + Ьуу~-1 + Ьгу;-г + + Ь„у~ причем коэффициенты (Ь,, Ьг...Ь„), определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсикиыми 95илылрами. Системная функция рекурсивного ЦФ. Выполнив г-преобра'- зование обеих частей рекуррентиого соотношения (15.63), находим, что системная функция у(г) ас + а,г ' + ".
+ а„г " Н(г) Х(г) 1 — Ь,г — "— Ь„г " -с асг" + а,г" ' + . " + а„г" " ' — Ь," ' — "— Ь„ вид системной функции рекурсивного цифрового фильтра (15.64) Ряс. 155Ь Структурная схема рекурсивного ЦФ описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет на г-плоскости л полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Структурная схема рекурсивного ЦФ. На рис. 15.9 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (15.63). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае и+ 1 масштабных блоков (операций умножения) и т ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.
Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются л последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в ячейку путем сдвига. 410 Глава 15. Дискретные сигналы. Приипипы иифровой фильтрации Рис. !5,10, Структурная схема каиолического рекурсивного ЦФ 2 го порядка Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны калолические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел и и л. В качестве примера на рис.
15.10 изображена структурная!схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция й +ах +йг йо + йтг + йгг (15.65) 1 — Ьг ' — Ьг ' Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал (вк) на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения: »'с = хк + Ь1вк- ! + Ьг и~к (15.66) ук ао»~к+ а,вг, + агв„ (15.67) Выполнив г-преобразование уравнения (15.66), находим, что )и'(г) = Х(г)/(1 — Ь,г — Ьгг г). (15.68) каноническая схе- ма цифрового фильтра С другой стороны, в соответствии с'выражением (15.67) у(г) =(ао+ а,г ' + агг г) )г'(г).
(15.69) Обьединив соотношения (15.68) и (15.69), приходим к заданной системной функции (15.65). Устой'авасть рекурсивных ЦФ. Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т, с. совокупность значений у. .. у, г,...,у, „, то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности уь у,е„ у,и„..., играющей роль свободных колебаний.
Цифровой фильтр называется уел!ойчивььи, если возникающий в нем свободный процесс есть невозрастаюшая 411 15.5. Реаннэацня апгорятмов цяфравоа фяньтрапян последовательность, т. е, значения ( у„( при л — со не превышают некоторого положительного числа М независимо от выбора начальных условий. Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.63) являются решением линейного разностного уравнения У| = "|У вЂ” | + Ьгу|-г + " + Ь у (15.70) определение понятия устойчивости цифрового фильтра По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.70) в виде показательной функции у, = и' (! 5.71) с неизвестным пока значением а. Подставив (15.71) в (15.70) и сократив на общий множитель, убеждаемся, что и является корнем характеристического уравнения и" — Ьга" ' — Ьга" ' — "° — Ь„= О.
На основании (15.64) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ. Пусть система корней п„пг,..., и„уравнения (15.72) найдена. Тогда общее решение разностного уравнения (15.70) будет иметь вид у, = А,а', + Агп~г+". + Аьп,',. (15.73) Трансверсальные цифровые фильтры не являются динамическими системами и устойчивы при любом выборе коэффициентов Пратер 15.5. Исследовать устойчивость рекурсивного цнфравага фильтра 2-га норлдка с снгтемнай функцией Н(г) = = аь/(! — Ь~г ' — Ьгг ).
Характеристическое уравяенве г — Ь,г — Ьг = О 2 имеет корни г|,г = Ьг/2+ )/(Ьь/2)|+ Ьг Кривая, описываемая уравнением Ьг + 4Ьг = О, яа плоскости (Ь~, Ьг) коэффнцяеятов есть граняца, выше которой полюсы системной функцяя вещественны, а ниже — комплексно сопряжены. Для случая комплексно-сопряженных ишиасов )г,,( = -Ь„ поэтому одной яз границ области устойчивости является прямая Ьг = — !. Рассматривая вещественные полюсы при Ь, > О, имеем Коэффициенты А„А„..., А„должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия. Если все полюсы системной функции Н(г), т. е. числа г, = пи гг = аг„.,г„= а„, по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке я =О, то на основании (15.73) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив.
Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры. Глава !5. Дискретные сигналы. Прииязгпы цифровой фильтрации 412 Рис. !5.! !. Область устойчивости рекурсивного фильтра 2-го порядка условие устойчивости в виде Ь,/2+ )/(Ь,/2)г + Ьг < 1, или )/(Ьг/2)г + Ьг < ! Ьг/2.
Возведя е квадрат обе части этого неравенства, видим, что границей области устойчивости является прямая Ь, ! — Ь,. Аналогично исследуется случай Ь, < О. В результате приходим к выводу, что данный рекурсивный фильтр устойчив, если значения коэффициентов Ь, и Ьг лежат внутри треугольной области, изображенной на рис. !5.1!.
Критерий устойчивости рекурсивного ЦФ. Задачу об устойчивости рекурсивного ЦФ произвольного порядка можно решить, связав данную проблему с расположением корней многочленов (см. гл. 14). Для этого заметим, что преобразование вида я = (иг + 1)/(го — 1) (15.74) м решите задачу 10 (15.75) и подставим в него переменную х, выраженную через переменную го, согласно формуле (15.74): Приведя это выражение к общему знаменателю (го — 1)", получим характеристическое уравнение относительно перемен- взаимно-однозначно отображает левую полуплоскость комплексной переменной гг на единичный круг в комплексной плоскости х с центром в точке г =О. Действительно, тачке го= — 1 соответствует точка я =О. В то же время мнимая ось в и -плобкости, т.
е.. совокупность точек с координатами го =/а (а — произвольное вещественное число), отображается в множество точек единичной окружности х = -ехр(/2агс!Ва). Возьмем характеристическое уравнение ЦФ х" — Ь,х" ' — Ь,х" ' —" — Ь„=О 413 15.5. Реализация алгоритмов цяфровой фильтрация ной в: Пример 15.6.
Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового сбильтра 3-го порядка с характеристическим уравнениеи гз + 04гз 05г -ь ! 0 В соответствия с формулой (15.76) получаем преобразованиое уравнение ( + ц'+ 04(в — !Ии + ц' — 0.5(з — ц (и + ц+ ! = = 09из + 39звз + 3 !в+ 11 = 0 Здесь все коэффициенты положительны и в то же время (см гл. 14) а,аз — азов — — 11.! > О. По критерию Рауса — Гурваца, данный мцогочзен устойчив.
Значит, устойчцв я анализируемый цифровой фильтр. Н(г) = а/(! — Ьг ') = аг/(г — Ь). Данный фильтр устойчив, если ) Ь) < 1. Известно (см, формулу (15.57)1, что импульсную характе- решите задачу 11 ристику можно найти с помощью обратного г-преобразования, примененного к системной функции. Используя формулу (15.36), находим т-й член в последовательности (Ь,): 1 1 аг Ь„= —, у с(г. 2яу) г — Ь (15.77) (Ьз) = (а, аЬ, аЬ,...).
(15.78) (в+ 1)" — Ь,(и — ц(в+ ц" ' — Ьз(в — цг(в+ ц" " — Ь„, (в — Ц"-'(. + Ц вЂ” Ь„(в — Ц" = О. (15.76) Если многочлен по степеням и, образующий левую часть последней формулы, имеет корни лишь в левой полуплоскости, то исходный характеристический многочлен вида (15.75) имеет корни, располагающиеся лишь в единичном круге на г-плоскости. Как следствие, анализируемый рекурсивный ЦФ будет устойчивым. Импульсная характеристика рекурсивного ЦФ.
Характерная черта, отличающая рекурсивный ЦФ, состоит в том, что из-за наличия обратной связи его импульсная характеристика имеет вид неограниченно-протяженной последовательности. Покажем это на примере простейшего фильтра 1-со порядка, описываемого системной функцией Интегрирование осуществляется по единичной окружности, внутри которой располагается точка полюса г = Ь. Поскольку вычет подынтегральной функции в точке полюса равен, как легко видеть, аЬ, искомая импульсная характеристика фильтра представляет собой убывающую геометрическую прогрессию Отметим, что многочлен (и — 1)" не имеет корней в левой плоскости. Поэтому приведение к общему знаменателю правомерно Глава 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
