Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 73
Текст из файла (страница 73)
В частности, минимально-фазовыми цепями будут любые четырехполюсники лестничной отру«туры. Неминимально-фазовые четырехполюсники имеют, как правило, структуру мостовых (скрещенных) цепей, в которых сигнал на выход проходит по двум или более каналам. Простейшая неминимально-фазовая цепь — симметричный мостовой четырехполюсник, образованный элементами К и С. Здесь, как нетрудно убедиться, передаточная функция по напряжению К (р) = (рЯС вЂ” 1)/(рЯС + 1). (13.б) Данная функция имеет единственный нуль а = 1/(КС), который находится в правой полуплоскости.
Однако мостовая структура не гарантирует автоматически принадлежность цепи к неминимально-фазовому классу. В каждом отдельном случае следует проверять наличие или отсутствие нулей передаточной функции в правой полу- плоскости. Связь между АЧХ и ФЧХ минимально фазового четырехполинзииеа, Передаточная функция К (р) любого устойчивого четырехполюсника в правой полуплоскости переменной р является аналитической функцией. Если к тому же этот четырехполюсник принадлежит к числу цепей минимально- фазового типа, то его передаточная функция в правой полу- плоскости не имеет и нулей.
Это значит, что аналитической оказывается функция !и К (р) !и ! К (р)! + / агй К (р). В соответствии с материалом гл. 5 граничные значения вещественной и мнимой частей функции !пК(р) на мнимой оси, 'т. е. при р /еа, связаны между собой парой преобразований Гильберта: агй К (!со) = — ~ е(г„ Г !п!К(/й)! и ~ г,— оз Ф (13.7) Таким образом, реализуя заданную АЧХ четырехполюсника минимально-фазового типа, невозможно получить при 13.1.
Частотаыс характеристики чстырсхполюсникоо 337 этом любую ФЧХ. Основываясь на свойствах преобразований Гильберта, можно утверждать, например, что если АЧХ минимально-фазового четырехполюсннка на какой-нибудь частоте достигает максимума, то ФЧХ в окрестности этой частоты проходит через нуль. Если же четырехполюсник принадлежит к классу цепей неминимальной фазы, то АЧХ и ФЧХ независимы друг от друга. Среди неминимально-фазовых цепей особо важную роль играют так называемые осеоролускаюи1ие четырехлолюсники, у которых модуль коэффициента передачи постоянен и не зависит от частоты. Примером может служить симметричный мостовой ЯС-четырехполюсник, для которого в соответствии с равенством (13.6) (К((в)! = 1 срк(в) = — 2агс1йвЯС, Подобные четырехполюсники используются для фазовой коррекции сигналов.
Они позволяют частично компенсировать искажения формы сигналов, прошедших через радиотехнические устройства. Коэффициент передачи мопщости. Как известно (вч. гл. 8), так принято называть квадрат модуля частотного коэффициента передачи четырехполюсника; Кр (в) = К (1в) Ка ()в) = К ()в) К ( — /в). (13.9) В отличие от самого коэффициента передачи К (1в) функция Кр(в) вещественна и поэтому особенно удобна для задания исходных данных к синтезу четырехполюсника.
Как видно из формулы (13.9), коэффициент передачи мощности — четная функция частоты, т. е. всегда может быть представлен в виде отношения двух многочленов по степеням ва: Кр (в) М (ва)/М (ва) . (13.10) Если подставить переменную р вместо переменной ув, то функция Кр(в) будет аналитически продолжаться с мнимой оси )со на всю плоскость комплексных частот: Кр(р) = К(р) К( — р). (13.11) Формула (13.11) устанавливает следующий факт: если а + /Ь вЂ” особая точка (нуль или полюс) функции К (р), то Кр(р) будет иметь такую же особую точку как при р = ' а +7Ь, так и при р = — а — )Ь. Принято говорить, что особые точки частотного коэффициента передачи мощности имеют квадраиеиую симмеврию, т. е.
располагаются на комплексной плоскости, имея центр симметрии в начале координат. Это свойство имеет большое значение в теории синтеза четырехполюсников, поскольку оно дает возможность восстанавливать частотный коэффициент передачи по известной функции Кр(р). Этапы синтеза частотно-избирательных четырехполюсников. Синтез частотных фильтров обычно начинают с того, что выбирают некоторую идеализированную функцию, которая применение немн- иимально-фазовых цепей частотные свойства коэффициента передачи мощности Расположение полюсов, находящихся в квадрантиой симметрии 338 Глава 13. Элементы теории синтеза линейных фильтров 13.2.
Фильтры нижних частот В данном параграфе будут рассмотрены некоторые физически реализуемые характеристики фильтров нижних частот (ФНЧ). Основное назначение таких устройств — с минимальным ослаблением передавать на выход колебания, частоты которых не превосходят заданной граничной частоты, называемой частотой среза фильтра в,. В то же время колебания с более высокими частотами должны существенно ослабляться.
Очевидно, для ФНЧ с частотой среза в, идеальная частотная зависимость коэффициента передачи мощности имеет вид Кр(в) = (13.12) (О, в ~вь (нмеются в виду физические частоты в > О). Такая частотная характеристика заведомо нереализуема. Обращение в нуль функции Кр(в), а значит, и передаточной функции К(р) противоречит известному критерию Пэли— Винера (см.
гл. 8). Возникает задача подбора допустимой аппроксимирующей функции. Максимально.плоская аппроксимации. Один из возможных способов аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ построен на использовании коэффициента передачи мощ- ности частота среза О ен В общем случае коэффициент передачи мощности может содержать произвольный масштабный множи- тель (13.13) где в„= в/в, — безразмерная нормированная часнюта. ФНЧ, имеющий такие частотные свойства, называют фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта. Целое число я=1, 2, 3, ... является нарядном фильтра. Сравнение выражений (13.10) и (13.13) показывает, что при любом л такой фильтр реализуем. Ф порцдок фильтра описывает частотную зависимость коэффициента передачи мощности, равную квадрату АЧХ.
Никаких ограничений на вид ФЧХ фильтра не налагают. Поэтому такой подход называют синтеза,ч фильтра но заданной АЧХ. Как правило, идеализированная частотная характеристика является физически нереализуемой. Поэтому второй этап синтеза состоит в анироксимаиии этой характеристики такой функцией, которая может принадлежать физически реализуемой цепи.
Далее по аппроксимированной частотной характеристике передачи мощности находят передаточную функцию К(р) фильтра. Зная координаты нулей н полюсов этой функции, можно провести реализацию цепи, т. е. получить принципиальную схему фильтра вместе с номиналами входящих в него элементов. 339 13.2.
Фильтры нижних частот 0.75 05 0.25 Пример Ш, Найпш порлдок фильтра Баттерворта с частотой среза 10' с ', который при т = 3 10' с ' обеспечивает ослабление сигнала не хуже чем — 2б лБ по отношению к уровню при т = О. Условие задачи определяет порядок п фильтра как целое число, ближайшее (с избытком) к корню уравнения 10101!/(1+ 3™)! = — 26 или 1+ Зз" !Оз в 390. Решая его, иахолим 2п 10 397/10 3 = 5.45, откуда п = 3. Если частота сигнала значительно превышает частоту среза фильтра (ез„~ 1), то из формулы (13.13) получим К ( ) — зв т. е. ослабление, выраженное в децибелах, 13 = 10 1я К р еи — 20л 1и Фн.
А решите задачу 2 Октава — интервал частот, граничные точки которого отличаютси в дна раза Отсюда следует, что прн увеличении частоты вдвое ослабление, вносимое фильтром Баттерворта, возрастает на -20л ° 0.301 -бл дБ. Говорят, что для фильтра этого типа скорость роста ослабления вне полосы пропускания составляет -бл дБ/октава. ин Рис. 135. Частотные характеристики коэффициента передачи мощности лля фильтров Баттериорта нри п 1 и п = 5 В полосе пропускания фильтра, т.
е. при 0 < Ф„ < 1, квадрат 4 модуля коэффициента передачи плавно уменьшается с ростом решите задачу 1 частоты. На частоте среза (при в„1) ослабление, вносимое фильтром, составляет 10!я0.5 ее — 3 дБ независимо от порядка системы. Чем больше и, тем точнее аппроксимируется идеальная форма частотной характеристики. На рис. 13.1 изображены графики, построенные,по формуле (13.13) для максимально-плоских характеристик различных порядков. Порядок фильтра обычно подбирают, исходя из требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами Ф ~ Фв Глаза 13. Элементы теории синтеза линейных фяльтров Передаточная функция фильтра с максимально-плескей частотной характеристикой. Для того чтобы в дальнейшем синтезировать структуру цепи, необходимо от коэффициента передачи мощности, выбранного в форме П3.13), перейти к передаточной функции К (р).
С этой целью введем нормированную комплексную частоту р„= <т„+уеэ» и запишем формулу (13.13) так: К ( ) 1~~1+( 1) 21 (13.14) А решите задачу 3 Отсюда видно, что на плоскости р„функция Кр(р„), отвечающая ФНЧ с характеристикой Баттерворта л-го порядка, имеет 2л полюсов, которые являются корнями уравнения Г::=:Ч 1+( 1).рз.=О. Все эти корни лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат.
Рис. 13.2. Полюсы коэффяцяеита передачи мощности ФНЧ с ха- рактеристикой Баттерворта пря л = 1, л = 2 я я = 3 При л = 1 полюсы коэффициента передачи мощности находят из уравнения рз 1, т. е. Ры=( Ры = (13.16) Если л = 2, то уравнение р'„' = — 1 имеет четыре корня: зы ~зк4 гека р ч ы (13.17) Наконец, для фильтра 3-го порядка необходимо решить УРавнение Рз» = 1, У котоРого имеетсЯ шесть коРней: езчз узкз р 1 р ем /3 е/5 зз (13.18) Расположение корней на комплексной плоскости для приведенных случаев показано на рис. 13.2. Общая закономерность при любом л такова: все полюсы расположены на одинаковом угловом расстоянии друг от друга, равном я/л; если л — нечетное число, то первый корень р„, = 1, если же л четно, то р„, = ехр()я/л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
