Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Теперь воспользуемся тем, что полюсы коэффициента передачи мощности имеют квадрантную симметрию, т. е. их число н конфигурация расположения в обеих полуплоскостях одинаковы. Это позволяет считать, что только полюсы, расположенные в левой полуплоскости, отвечают синтези- Кзз принцип отбора полюсов передаточной функции ! 3.2. Фильтры нижних частот руемому фильтру. Их «зеркальные копии» в правой полу- плоскости соотносятся с функцией К (- рп) и не принимаются во внимание. Описанный здесь принцип является главным в процедуре синтеза фильтров, поскольку именно на нем в дальнейшем основана реализация цепи. Пример 13.2.
Определить передаточную фунпцию ФНЧ с харпк<перистикпй Баттерворта 2-го п<>рядки. Передаточная функция определяется двумя полюсами, лежащими в левой попуплоскостн (см. (!3.!7)1: у„=(-1+1)ф'2, у > =( — 1 — у)/)«2. Тогда К (Рп) Е=элж= <ы>> Таким образом, лля реализации ФНЧ прн и 2 требуется динамическая система 2-го порядка (колебательное звено).
Чебышевснаи аппроксимация. Широкое применение находит также другой способ аппроксимации частотной характеристики идеального ФНЧ, получивший название чебьциевской аппроксимации. Коэффициент передачи мощности ФНЧ такого вида задается формулой (13.19) где е < 1 — постоянное число, называемое коз<у>фициентом неравномерности характеристики в полосе пропускания; Т„(ю„) — многочлен Чебышева и-го порядка, определяемый выражением Т„(х) = соз (и агссов х). коэффициент неравномерности ха- рактеристики Функция Т„(х) при любом и может быть найдена из рекуррентного соотношения Т„(х) = 2хТ„, (х) — Тп-з(х), (13.21) причем Тп(х) = 1 и Т, (х) = х. Эти многочлены часто используются во всевозможных задачах аппроксимации благодаря следующему свойству: среди всех многочленов и-й степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента они менее всего отклоняются от нуля на интервале — 1 <х < 1.
В то же время при ~х~ ж 1 абсолютные значения многочленов Чебышева весьма велики. Асимптотическн при !х) ~ 1 Т„(х) м 2" 'х". (13.22) Типичный график многочлена Чебышева свойство многочле- нов Чебышева С помошью таких функций можно удачно аппроксимировать идеальную характеристику ФНЧ: из формулы (13.19) видно, что в пределах полосы пропускания величина Кр колеблется от 1 до 1/(1+ е'), если же ю„~ 1, то фильтр обеспечивает большое ослабление сигнала. Глава 13. Элементы теории синтеза линейных фвпьтров Рис. 13.3. Частотные характеристики ФПЧ чебышевского типа й решцте задачу 4 Пример 13.3.
Фильтр с чебышевской хариктеристикой 3-го порядка на частоте среза (ын = 1) обеспечивает ослабление мощноспш в два рпза, т. е. такое же, как и фильтр с максимально-плоской характеристикой, Определить величину ослабления, вносимого этим фильтром на частоте, в три раза «рееышающей частоту среза. Прежде всего найдем параметр е. Как следует вз выражения (13.20), Т,(!) 1 прн любом и, поэтому Кр(1) = 0.5 в случае, если е 1. Многочнен Чебышева 3-го порядка 1 3 (™н) Сшй зюн откуда ослэбленяе, вносимое чебышевским фильтром с единичным коэффициентом неравномерности на частоте т = 3тп составит Ьч = 10!й(!/(1+ 99'Ц = -39.9 дБ, Отметим, что в аналогичных условиях фильтр Баттерворта 3-го порядка обеспечивает ослабление Ьв = 10!й [!/(! + 3 )] = — 28.6 дБ.
Таким образом, применение фильтра с чебышевской характеристикой позволяет существенно лучше подавлять сигналы, частоты которых лежат вне полосы лролускання. Передаточная функция чебышевского ФНЧ, Как видно иэ (13.19), полюсы коэффициента передачи мощности чебышев- ского фильтра являются корнями уравнения 1+ еэТ,'(р„) = 0 (13.23) 1ср. с формулой (13.15)).
На рис. 13.3 приведены типичные графики частотных характеристик передачи мощности для двух чебышевских фильтров при и =2 и л = 3. Иэ графиков видно, что в полосе пропускания частотные характеристики чебышевских фильтров немонотонны. Величина пульсаций ослабления тем выше, чем больше е.
Как следует вз формулы (13.19), увеличение а ведет к большему ослаблению сигналов вне полосы пропускания. Подбором двух параметров н и а можно добиться выполнения исходных условий, предъявляемых к синтеэируемому фильтру. 343 13.3. Реалцзацвя фцньтрон Метод его решения довольно громоздок и с ним читатель может ознакомиться в [35]. Практические расчеты выполняют так. Прежде всего вычисляют параметр а = — агзп~ — ) = — !п1 — + )!7 —, + 1 (13.24) л 1,е/ л 1,е ~/ез Затем находят полюсы передаточной функции фильтра Баттерворта того же порядка и с той же частотой среза. Чтобы перейти к полнюам передаточной функции чебышев- ского фильтра, абсциссу каждого полюса фильтра Баттерворта умножают на зЬ а, а ординату — на сй и.
В то время как полюсы фильтра Баттерворта располагаются на единичной окружности, полюсы фильтра с чебышевской характеристикой лежат на эллипсе, уравнение которого в плоскости р„о„+ !ш„имеет вид Он Фн Получив координаты полюсов, можно записать выражение передаточной функции чебышевского ФНЧ: Гг(рн) = Щрн Рн!)(рн Рнз)'''(Рн Рю)] рн Полюсы фильтров с макснмяльиоплоской н чебышевской характе- ристиками ь решите задачу 9 Абсциссы полюсов передаточной функция чебышевского фильтра будут равны — 0.707зйа = — 0.322; ордиваты полюсов составят 20.707сй а = 10.777. Из этого примера видно, что переход от максимально-плоской к чебышевской характеристике осуществляется путем приближения полюсов к мнимой оси; перемещение их по вертякаан незначительно, С физической точки зрения это означает, что колебательная система, образующая чебышевсквй фильтр, должва обладать меньшим затуханием.
13.3. Реализация фильтров Окончательный этап синтеза фильтра состоит в нахождении принципиальной схемы устройства. В этом параграфе будет рассмотрен так называемый структурный синтез, когда цепь образуется каскадным включением некоторого числа звеньев, отделенных друг от друга идеальными развязываю- шими элементами (рис. 13.4). Частотный коэффициент передачи такой цепи 2~(ни) = у~г(77о)2~г()ш)" 2сн()ш). структурный синт- езз Пример 13.4. Найти нередаточную функцию чебышгвгкага ФНЧ 2-го наряйка с нараметрам е = 1. Здесь а = '/з1пП + )г2) = 0.4407. Соответствующий фильтр баттерворта имеет передаточную функцию с двумя полюсами: рн1 0707( 1+2) рш 0707(-1 -2).
Глава 13. Элементы теории спптеза линейных фильтр«в Широкое использование элементов развязки характерно дли современного синтеза активных цепей в микроэлектронном исполнении — а о и « я пя А решите задачу б Желательно, чтобы емкость С значительно превосходила входную емкость последующего звена.
При этом сннжаетсн чувствительность частотной характеристики фильтра к не- точномувыборуноминалов элементов Выход Вход Элементы пазхязхп координата полюса р, = — 1/()(С). Отметим, что, задавая ры получаем лишь произведение КС. Один из элементов, Я или С, может быть выбран произвольно. Звено 2-го порядка. Два комплексно-сопряженных полюса передаточной функции можно реализовать с помощью Г-образного четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 13.5. Для этого звена легко вычислить передаточную функцию по напряжению; К(р) = (13.26) рз + 2«р + «з«з где «зр — 1/(/Ы' а = 1/(2)(С).
Передаточная функция имеет полюсы в точках с коорди- натами рьз = а й/у «з«а «уз з (13.27) Ряс. 13.5. Звено 2-го порядка: а — прппапппяяьпая схема; б — расп«хожение полюсов передаточной фуяхдпх Рпс. 1ЗЛ. Структура«я схема фильтра, образ«ванного каскадным включением звеньев (и качестве элемент«в развязки обычно используются змиттерпые плп и«токовые повторители) Коэффициенты передачи К„Кз,..., Кх должны быть такими, чтобы они могли реализовывать те полюсы функции К(р), которые были определены ранее на этапе .аппроксимации.
Для создания ФНЧ требуются звенья двух видов — звено 1-го порядка с единственным вещественным полюсом и звено 2-го порядка, имеющее пару комплексно-сопряженных полюсов. Звено 1-го порядка. Простейшей цепью данного вида является Г-образный четырехполюсник, для которого передаточная функция по напряжению 1 К(р) = —; 1+ РКС1 (13.25) 345 13,3, Реалнзациа фильтров которые в зависимости от соотношения между шв н и могут быть как комплексно-сопряженными, так и вещественными. Рассмотрим койкретные примеры реализации ФНЧ с помощью звеньев, включаемых каскадно. Пример 13.5.
Реализовать ФНЧ с максимально-плоской характеристикой 3-го порядка при частоте среза 1Оз с '. Нагрузкой фильтри служит резистор с сопротивлением Кя = 0.5 кОм. Как было показано ранее, такой фильтр должен иметь три полюса передаточной функции в точках с координатами р, з = — 1О'(соя60'+/зшбО') = — 5 10ь ~/7)бб 10' с Фильтр р — ГО с (здесь выполнен переход от нормированной переменной р„к истинной комплексной частоте р = ю,р„). Пусть синтезируемый фильтр имеет вид каскадного соединения звена 1-го порядка, которому отвечает полюс рз, развязываюшего устройства и звена 2-го порядка с полюсами р, и рз: А решите задачу 7 )кОм 5 мГн МООм Пример 1З.б. Реализовать чебышевский филыпр пижпих частот 2-го порядка, Работаюи!ий на резистивиую нагрузку с сопротивлгпиеи Яь = 1 кОм.
Исходные данные к синтезу: часпшта среза ть = 10' с ', каэффияиепт неравномерности к = 1. Для реализации частотной характеристики фильтра 2-го порядка достаточно иметь одно Г-образное ЕСЯ-звено. В примере 13.4 были получены координаты полюсов передаточной функции чебышевского фильтра 2-го порядка при ам 1: рпь,г = -0322 ~/0777 А решите задачу 8 или после перехода к ненормированной переменной р: рь з 322,10ь+/777 104 с Звено 1-го порядка в соответствии с формулой (13.25) должно иметь постоянную времени ЯС 1/ез, = 10 ь с.
Если выбрать С = 10 иФ, то резистор, образующий это звено, будет иметь сопротивление и = 10 '/С = 1 кОм. Допустим, что роль резистора, входящего в звено 2-го порядка, выполняет нагрузочное сопротивление. На основании соотношения (13.27) пара комплексио-сопряженных корней булет иметь требуемую вешественную часть, если 1/(2((вС) = — Кери з = 5 1Оь с Отсюда С = 1/(10* й ) = 002 мкФ. Наконец, индуктивность (. = = 1/(юьС) = 5 мГн. Принципиальная схема синтезированного фьшьтра имеет вид Глава 13. Элемеяты теории синтеза ляяеяиых фяльтрав Емкость конденсатора С находим цз (13.27), приравняв величину «требуемой хбсцяесе полюсов: « =!/(2Л„С) 3.22 10х с ', откуда С = 15.53 яФ. Индуктивность Еопределяется яз уравнения пля хоординаз полюсов по мнимой оси: )/еф — хх = 7.77 104 с '. Решая его, паходям мох = 1/(СС) = 7.08 101 с х 1. = 1/(ы~«С) = 9.09 мГя.
т решите задачу 9 Итак, задаяная частотная харахтерястнха фильтра реализуется цепью, схема которой имеет вяд йЭмтм м о !кем пз3хе Здесь термин «преобразование частоты» не следует смешивать с тем, который используется в теории нелинейных и параметрических преобразований сигналов Отметим, что на практике, особенно в СВЧ-диапазоне, используются схемы фильтров, в которых развязывающие элементы отсутствуют. С методами расчета таких цепей читатель может познакомиться самостоятельно 1353. Реализация фильтров верхних частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
