Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 55
Текст из файла (страница 55)
гл. 7) случайные спектральные плотности его отдельных реализаций дельта-коррелированы, т. е. 5„(в) 5„*(в') = 2лИл(оз) Ь(в — в'), (10.6) где И'„(в) — спектр мощности стационарного случайного процесса Х(г). Эта особенность спектра входного сигнала позволяет выяснить очень простой смысл формулы (10.5): Я„(т) = — ~ И"л (со) ( К фо) (г е за* г(в, О Формула (10.7), по сути дела, содержит полное решение поставленной задачи в рамках корреляционной теории: спектр мощности выходного случайного сигнала связан с аналогичным спектром сигнала на входе соотношением И'„(в) = И'„(в) ( К Ьо) (г.
В прикладных задачах часто приходится з)меть дело с односторонними спектрами М„Щ и М (Л, которые определены только при положительных частотах 7, измеряемых в герцах. Очевидно, что М (Я = М„О')(К()2лЯ(', (10.9) поэтому дисперсия выходного сигнала г 7( (0) г )9 (7) ( К ()2 Л (г (7. о является результатом суммирования вкладов от спектра мощности входного сигнала, умноженного на зависящий от частоты квадрат модуля коэффициента передачи, т. е.
частотный коэффициент передачи мощности. Техника решения конкретных задач из рассматриваемого здесь круга хорошо известна — это всевозможные приемы Используется фильтрующее свойство дельта- функции Глава 10. Воздействие случайных сигналов на линейные цели вычисления интегралов Фурье.
Поэтому в нижеследующих примерах внимание будет сосредоточено не столько на математической стороне дела, сколько на обсуждении физических особенностей процессов. И,(" д И, Ь тз(ВС)з 2ИС' о (10.1!) решите 1и2 задачи )Но ~ ез" с)со 2к ~ 1 ! тз(ВС)г (10.12) Здесь — =2 ( 1+ з(ВС)з ~) ! + ыз(1(С)з. о Кз(з) = — — --ехр~ — — ). 2ВС (, КС) (! 0.13) кы.л = 1 +22к(г" — зг,) т„ Прньзер 10.1. Динамическая система 1-го порядки, принципиальная схема которой изображается в виде интегрирующей КС-Непа, возбуждена со старины входа источникам !чумовой ЭДС с постоянной на всех частотах спектральной плотности мощности И'о (В' с). Определить дисперсию и йбуззкз)ию корреляции вьтоднога напрлжения у(г).
Вычислим коэффициент передачи мощности для данной цепи: ((С() )~'= !((1+ '(ВС)'). Далее по формуле (10.7), положив з = О, определим дисперсию шума на выходе: Функция корреляции выходного сигнала Последний интеграл является табличным А!51, поэтому, воспользовавшись готовым результатом, получаем Итак, возбуждая интегрирующую КС-цепь белым шумом, получаем на выходе случайный процесс с функцией корреляции экспоненциального типа.
Существенно, что ВС-цепзч обладая инерционностью, выполняет известное «упорядоченне»: если входной сигнал, будучи белым шумом, абсолютно непрогнозируем, то выходной сигнал оказывается сглаженным; его интервал корреляции имеет порядок постоянной времени цепи. Пример 10.2. Воздействие белого и!ума на однаконтурный резонансный усилител~. Предположим, что источник ЭДС вида белого шума с односторонним спектром мощности Р(о (В'ззГц) возбуждает вход резонансного усилителя малых колебаний. Частотный коэффициент передачи лампой системы эиак функции корреляции неизменен.
Это Означает, что выходной сигнал не является квазинериодиче- ским 10.!. Спехтральный метод анализа воздействия случайных сигналов коэффициент передачи мощности )К(/2./)) = 1+4лз(ф — /' )зтз Расчет дисперсии проводится по формуле (10.10): оз — М Кз д/ а Наконец, функция корреляции выходного сигнала <а з«а ь З +( — РЛ ° ! +й*. Р~оК«д„~ ~ созйтдй~ М К' / 1т(«! ~ ехр( — †)созю т. (10.15) Видно, что полученная здесь функция корреляции имет вид йз(т) = оз!«(т)созюзют, (10.16) характерный для узкополосного случайного процесса, поскольку огибающая р(т) = ехр( — ) т )/т„) является медленной функцией по сравнению с высокочастотным заполнением. Любая реализация случайного сигнала на выходе узкополосного усилителя представляет собой квазигармоническое колебание со случайными огибающей и мгновенной частотой; в среднем частота заполнения равна резонансной частоте колебательной системы.
Такое свойство выходного сигнала легко'.объяснить, заметив„ что этот сигнал является результатом суммирования огромного числа элементарных откликов, каждый из которых пропорционален импульсной характеристике системы (принцип интеграла Дюамеля). Для того чтобы получить представление о порядке вс!)ичин, с которыми имеет дело статистическая радиотехника, оценим дисперсию шума на выходе резонансного усилителя при следующих исходных данных: Мь 10 'ь В'/Гц, К, 30, 1.59 10« Гц, (3«« = 60. Постоянная времени контура т„ 2(2««/юсю — — 1.2 мкс, поэтомУ на основании фоРмУлы (10.14) диспеР- сия пзз = 10 'ь 900/(2.4-10 ь) = 3Л5.10 з Вз; эффективное напряжение шума, равное квадратному корню из дисперсии, составит 194 мкВ, Пример 10.3. Цель образована двуми КС-звеньями, между которыми включек идеальиый усилитель с коэффициентом усиления Ко. Значение функцни корреляции в нуле равно дисперсии выходного сигнала Типичная реализация случайного сигнала на выходе резонансного усили- теля З Рьл«от««««««с««« ие«« Введем переменную ч / — /~ и положим колебательный контур усилителя столь добротным, что коэффициент передачи при / = 0 можно считать нулевым.
Тогда дч И,К' (10.14) 1 + 4язз)'т'„2т„ Глава 10. Воздеяствие случайных сигналов на линейные цепи т решите задачу 4 (10.17) ехр Оют) п= дю — ~(! -1- югтгг)(1 + югтгг)3 т, ехр( — т)тг) 27(т*г — тг) — тг ехр (-т/тг) и = и, 2дтг тг) (10.10) И, 1 г 2 (тг — тгг) (10.19) Дисперсия выходного сигнала о„= Я„(0) =— )р Кг 2(тг + тг) т (!0.20) решите задачу б На входе цепи включен гкточник ЭДС вида бегова шума е нм вегтной евектральной плотностью лгогцноспги Нго (Вг ° с). Вычиглить 4ункцию корреляции выходггого напряже~тя. Коэффициент передачи мощности г гггг г Яь (1+ югтг)(1+ со'4) ' В соотьетствии с (10.7) функция корреляции выходного на- пряжения Я„(т) = — ~ Н'вКь' ( ехр(/ют)дю г 2п 1 (1 + югтгн) + югт1) Целесообразно воспользоваться теорией вычетов, повторив этот же путь, который был проделан в гл.
8 при анализе импульсной характеристики ЯС-цепи. Подынтегральная функция в (10.17) имеет четыре простых полюса с координатами го,, = +Дти щэ л = ~йтг. Будем вычислять функцию Я„(т) при т > О, замыкая контур интегрирования в верхней полуплоскости. Вычет подынтегральной функции в точке ю, Аналогично находят вычет в точке ю = юг, лежащей внутри контура интегрирования: Отсюда, применив теорему Коши, без труда находим, что при т>0 Я,(т) = —,— (т,е Ц" — тге Цтг). И'ьКьг 2(тгг — тг) Функция корреляции нри т < 0 получится из этой же формулы при замене т на — т. Это вьпекает из свойства четности функции корреляции, однако результат может быть подтвержден прямым расчетом.
Итак, Прн т < О следует замкнуть путь интегрированнядугой бесконечно большого радиуса в нижней полуялоскости комплексной частоты оз 1О.! . Спектральный метод анализа воздействия случайных сигналов 0,75 0.5 щ /11 0 0.5 г 1.5 Э ад Э Рис, Ю.!. Нормированная функция корреляции случайного процесса на выходе системы из двух НС-цепей: ! — пря гэ = х,/2,' 2 — прп г, тэ поэтому нормированная функция корреляции выходного случайного процесса (10.21) На рис. 10.1 изображены результаты расчетов по формуле (10,21) при двух различных значениях отношения т,/ть На этом же рисунке лля сравнения предсэавлена кривая, отображающая функцию г,(т) на выходе одиночной интегрирующей НС-цепи с постоянной времени т,. Интересно отметить не только рост интервала корреляции, Вызванный добавлением второго инерционного звена, но также изменение характера функции г„(т) двухзвенного фильтра в окрестности точки т = О.
Существование второй производной функции корреляции в этой точке обеспечивает дифференцируемость выходногв случайного процесса (см. гл. 7), Физически дифференцируемость означает гладкость реализаций сигнала, прошедшего две каскадно включенные НС-цепи. Белый шум, преобразованный одной и двумя последовательно включенными тхС-цепямн Прохождение случайных сигналов с широким спектром через узкополосные цепи. Шумовая полоса. Часто приходится рассматривать воздействие на линейные частотно-избирательные цепи широкополосных случайных сигналов, образованных, например, хаотической последовательностью коротких импульсов.
В этом случае если эффективная ширина спектра входного случайного процесса значительно превышает ширину полосы пропускания системы, то реальный случайный процесс можно заменить эквивалентным ему белым шумом с односторонним спектром мощности Мп = Х„(уп), где 1п — некоторая точка в пределах полосы пропускания цепи. Формула (10.10), определяющая дисперсию выходного сигнала, в этом случае упростится: О аг' = Мп ) ) К02яЛ)зг!г. (! 0.22) и замена широкополосного случайного процесса эквивалентным белым шумом Глава 1О.
Воздействие случайных сигналов на лниейиые цепи В инженерных расчетах линейную частотно-избирательную цепь, находящуюся под воздействием широкополосного случайного сигнала, удобно характеризовать шулювой полосой пропускания Пы (Гц). Она определяется как полоса пропускания идеального полосового фильтра с вещественным коэффициентом передачи К„м„, равным максимуму модуля коэффициента передачи реальной цепи; при возбуждении идеальной и реальной систем белым шумом со спектром мощности Фо дисперсии шумовых сигналов на выходах обеих цепей должны совпадать: шумова я полоса цропуска пня )Цо )' ( К (/2Я/) (' й/'= )Ц оК2..П, о (10.23) Отсюда т решите задачу 8 (10.24) Например, для интегрирующей КС-цепи К „= 1, / К(/2лЯ (' = 1/(1 + (2к/'ЯС)~1, поэтому шумовая полоса пропускания о лг 1 г + гг гяог гкг' о (10.25) Заметим, что для данной системы модуль частотного коэффициента передачи падает в 1/2 раз по отношению к максимальному значению при /' = 0 на частоте /'о эоэ —— = 1/(2лЛС).
Поэтому шумовая полоса пропускания оказывается шире полосы По эоэ.. П /Подал ' — — и/2 = 1.571. Аналогично находим шумовую полосу пропускания одно- контурного резонансного усилителя: Ю П г(/' 1 +4 2(/ / )2 2 2 0.707 = — = 1.571По.707 о (10.26) Продемонстрируем использование понятия шумовой полосы пропускания в радиотехнических расчетах. Пример 10.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
