Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Подобные сигналы называют фазоманинулированными колебаниями. Изучая прохождение таких сигналов через частотно- избирательные цепи, рассмотрим модельную задачу об одно- контурном резонансном усилителе, на входе которого действует сигнал со скачкообразным изменением фазы на сро радиан при з = О: Глава 9. Воздействие сигналов па частотно-избирательные системы и,„„(К„, и.) 1.0 0.75 0.5 0.25 Берется положительное значение квадратного корня (9.66) откуда го = 0.693т„.
(9.67) Если гро = 180', то амплитуда выходного колебания вначале плавно уменьшается до нуля, а затем вновь возрастает до пер- воначальногоуровня за интервал по-, рядка нескольких постоянных времени контура В момент времени 10 входной сигнал окончательно «гасит» колебания, существовавшие в контуре до скачка фазы отп 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Рис. 9.9. Огибающая сщ ната па яыходе резонансного усилителя, возбуждаемого фазоманипуяпровапиым сигналом; 1 — при Еа 150'; 2 — прп Чо = 90' Отметим, что при 1= 0 выражения (9.63) н (9.64) дают одинаковый результат: О,„„(0) = — К „У . Если 1/т„~ 1, то О,„„(1) м — К,У ехр(про), т.
е. по окончании переходного процесса система переходит в новое стационарное состояние, которое отличается от исходного фазовым сдвигом на 95о Радиан. Вычисляя модуль комплексной огибающей, находим выражение для физической огибающей выходного сигнала при с>0: Уп „(1) = К „(У ((е сч + (1 — е он) соя 9оо1' + 1 (! е-кд„)2 я;и 2,~ )ц2 (9.65) На практике часто используют сигналы с фазовой манипуляцией на 180'. В этом частном случае и...(1) =К и.(2 р(- /т,) — 1~. Здесь амплитуда выходного сигнала становится равной нулю в момент вРемени го ЯвлЯющийсЯ коРнем УРавнениЯ 2 ехр ( — го/т.) — 1 = О, Рис. 9.9 иллюстрирует зависимость физической огибаюгцей выходного сигнала от безразмерного параметра 1/т„ при двух значениях фазового сдвига ~ро.
180 и 90'. Для проектирования приемников фазоманипулированных сигналов первостепенный интерес представляет закон изменения мгновенной фазы на выходе усилителя. Записывая выходную комплексную огибающую в форме (/,„„(1) = = У,„„(1)ехр1/гр,„„(1)], из формулы (9.64) имеем следующее выражение мгновенной фазы (рад): ГРын(1) = Я+ атй [(! — Е РЧ) СОЗ 95О+ Е ЕЬ+ +/(1 — е гч) сйп ~ро1. (9.68) 243 9.3. Цепи при узкополосных входных иозлеаотаихх ф,„„— 183, Фаза колебаний на выходе усилителя устанавливается за отрезок времеви порядка постоянной времени конту- ра 1/т, 0 1 2 3 4 5 Рис. 9.10. Зависимость мгновенной фазы си~ нала на выходе усилителя от безразмерного параметра г/т„ частотнаи манипу- ляция (/ (г) Ртт и е-Е-ткзхбт Г~ ~ еУаи1е — Е гдгхт)т К тт(/в ( К Пм т„ цтх = — К,(/ е И". 1+ еьи+гасЦ о (9.б9) П ервое слагаемое в правой части дает постоянный фазовый сдвиг, не играющий принципиальной роли. На рнс.
9.10 изображены кривые, описывающие зависимость переменной части мгновенной фазы от безразмерного времени 1/т,. Случай гро = 180' является вырожденным: злесь фаза выходного сигнала изменяется скачком в момент времени г = г, (см. формулу (9,б7)1, При прочих значениях зро фаза сигнала на выходе изменяется во времени непрерывно. Воздействие колебания со скачком часготы на резоиаиснуто систему.
В ряде случаев для передачи сообщений используют сигналы, представляющие собой гармонические колебания с различными частотами, Если частота заполнения изменяется скачком, говорят о частотной манипуляции сигнала. Рассмотрим однокоитурный резонансный усилитель, на вход которого подан сигнал вила (/„соа ответ, с<0, (/ь соа (тоттт + бто) г т )~ 0 Если считать, что опорная частота равна то У с<0, 1/„ехр(/бозу), с > О.
Ясно, что при г < 0 усилитель находится в стационарном режиме и (/,„„(г) = -Ка,(/ (см. формулу (9.63)3. Исследуя процесс на выходе при г > О, в интеграле Дюамеля (9.47) следует по отдельности учесть вклады от полубесконечного интервала времени ( — оз, 0) и от ограниченного отрезка (О, 13: о Е Глава 9. Воздействие сигналов иа чпсготяп-избирательные системы гг« „1(к и„) 0,0 0А 0,2 (У,„„(Г) =((3',п„(Г) ~ = — Вр — "— Х К ,У„ «/1 + Ьз (9.72) Следует обратить внимание на то, что огибающая выходного сигнала нзменнетсн во времени в общем случае немонотонно е 1 2 рг„ Ряс. 9.! 1.
Проаесс установления физической огибающей сиз нала яь выходе усилителя после скачка частоты при различных параметрах Ь = Ьп«г«: ! — прп Ь= 1; 3 — прп Ь = 3; 3 — прп 5=5 1де 9 — формальная переменная интегрирования; Ь = Ьют„— безразмерный параметр, характеризующий отношение частотной расстройки бю к полосе пропускания контура.
Интегрируя по г„ находим, что У««п(Г) = Г" ~ [Егьц«„+1ЬЕ 0'«] 1+УЬ Отсюда физическая огибающая выходного сигнала при г>0 х (соь'(Ьг)г„') + [бп(Ьг)х„) + Ьехр( — г/т„)]')пз. (9 71) Соответствующие графики изображены на рис. 9.11. Определенный практический интерес представляет характер изменения мгновенной частоты ю„„,„(1) колебаний на выходе резонансного усилителя во время переходного процесса. Здесь следует воспользоваться общей формулой (5.35), которая выражает мгновенную частоту узкополосного сигнала через синфазную и квадратурную амплитуды. В рассматриваемом слУчае (х'„п„(г) = А„„„(г) +7В, „(г)«гле, как это следУет из (9.70), А.„, (г) = — — '-' — ' —; [соь(Ь1/т«) + Ь ип (Ьг/т„) + Ьзе-0 «], к и„ В,„,(г) = — ' " [ип(Ьг/г«) — Ьсоь(ЬЬ/г„) + Ье Проделав несколько громоздкие, но вполне элементарные выкладки, получаем 9.3.
11епя пря узкопплпепых входных воздействиях зlт„ Рис. 9.12. Процесс установления мгвовеиной частоты пв выходе резонансного усилителя: З вЂ” прп Ь = И 2 — при Ь = 3; 3 — прп Ь 5 А',„„+ Вз„„ 1 — е 'Ь соз(Ьз/тз) + Ье 'Ьзз(п(бз(т) х 1 + 2Ье юмйп(Ьз/т„) + Ьзе мч В некоторые моменты времени частота изменяется весьма резко. Частотное отклонение может даже изменять свой знак, как это видно на примере кривой, соответствующей значению Ь=5 (9.73) На рис. 9.12 представлены три кривые, рассчитанные по этой формуле при различных параметрах Ь =бозт„.
По оси ординат отложена относительная величина мгновенного частотного отклонения. Если Ь = 1, то рассматриваемая величина с течением времени стремится к установившемуся значению, равному единице, вполне монотонно. При увеличении параметра Ь переходный процесс приобретает более сложный характер.
Воздействие сапзала с однотональиой угловой модуляцией иа одиокоитурную резонансную систему. Предположим, что последовательный ЕСй-контур находится под воздействием источника ЭДС, создающего входной сигнал и,„(1) = = У„соз (пзпг + пз з)п йз) с однотональной ЧМ- или ФМ-модуляцией. Будем считать, что резонансная частота контура пз, и частота несущего колебания пзп совпадают. Выходным сйгналом служит напряжение на конденсаторе ис (г). Требуется найти законы изменения во времени физической огибающей У „(1) и мгновенной частоты пз,„„(з) выходного сигнала. Развитый выше метод НЧ-эквивалента не позволяет решить поставленную задачу. Дело в том, что подстановка комплексной огибающей У,„(г) = 11 ехр()тпззпйз) в формулу (9.47) приводит к интегралу с переменным верхним пределом. Вычислить такой интеграл не представляется возможным. Поэтому обратимся непосредственно к дифференциальному уравнению данной цепи, которое, будучи записанным Глава В, воздействие сигналов иа частотяо-избирательные системы относительно неизвестного ис(г), принимает вид с) ис с(ис — + 2сс — + соозис = соо(У соз(соог+ глав йг), с(гз о ю (9.74) где а = В/(2Б) — коэффициент затухания контура.
Перейдем к безразмерному времени» = соог, такому, что с)г = д»/яо, бгз = с(»з/сооз. Тогда уравнение (9.74) преобразуется следующим образом: дзис 2а бис — т — + — — + ис = У„сов (» + кляп(12»/озо)) . яо и» Введем два безразмерных параметра: в = 2а/яо, р = 11/озо. (9.7б)- Тогда дзис с)ис — т-+ е — + ис = У„сов(» + гл яп р») = д» о» = (/„соз» сов(гл яп рЕ) — У„яп» яп(тяп ВЕ) . (9.77) (9.78) где А(Е) и В(») — неизвестные пока синфазная и квадратурная амплитуды, изменяюшиеся гораздо медленнее, чем созЕ, или в)пЕ,. Более точно условие медленного изменения амплитуд означает, что А' вА; В' — вВ. (9.79) Подставляя выражение (9,78) в уравнение (9.77) и при- равнивая коэффициенты при япЕ и совЕ в обеих частях, получаем систему двух дифференциальных уравнений отно- сительно неизвестных А(Е) и В(Е): А" — 2В' + вА' — вВ = У,„сов (лз яп рЕ), (9.80) В" + 2А' — еА — аВ' = У яп (гл яп р») .
Обратим внимание на то, что здесь слагаемые в левых частях имеют разные порядки малости. Так, например, вели- чины А" и вА' в первом уравнении имеют порядок к', в то время как В' и в — порядок в. Пренебрегая в (9.80) всеми Для того чтобы найти интересующие нас характеристики выходного колебания, необходимо получить частное решение этого неоднородного дифференциального уравнения в бесконечном интервале — со <» < оэ.
Метод медленно меняницихся амплитуд. С точки зрения радиотехнических приложений основной интерес представляет случай, когда затухание контура мало, т. е. добротность Д ъ 1, а значит, параметр в = 1/Д к 1. Из физических соображений ясно, что любые колебания в такой системе„ как свободные, так и вынужденные, должны быть квазигармоническими. Поэтому будем искать решение уравнения (9.77) в виде (ср. с формулой (5.25)1 ис(») = А(») соз» вЂ” В(») яп», 247 9З, 1Аепи при узкополосных входных воздействиях укороченные дифф- еренциальныее ураннення метод медленно меняющихся ам- плитуд В = — Уиггс = — ДУ,„. (9.83) Второе уравнение (9.82) можно решить элементарной подстановкой А(г) = аз)п Н~+ Ьсозрг,.
Найдя неизвестные постоянные а и Ь, получаем А(г) = т(1,„(ез(п Не —. 2рсозНЦ/(4Н'-ь е'). (9.84) Огибающая н мгновенная частота выходного сигнала. На основании формулы (9.78) находим физическую огибающую выходного сигнала как функцию времени: и,и„() =)/Аг+ В' = = — и)/1+ тгсг(ев)пйг 2Нсовйг)г/(4Нг+ ег)г е Данное выражение можно существенно упростить, приняв во внимание, что по предположению т ~ 1. Тогда, ограничившись двумя членами разложения радикала в степенной ряд, получим приближенное выражение огибающей х соз 2йг — 4ер вгп 2йг (9.85) Из этой формулы следует, что при воздействии на колебательный контур сигнала с угловой модуляцией выходное колебание оказывается промодулированным по амплитуде; низкая частота модуляции амплитуды в два раза превышает частоту однотональной угловой модуляции на входе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
