Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Наложим некоторые ограничения. Сделаем допущение, что входной сигнал иы(г) = 0 при ! < О. Кроме того, исходя из специфики работы радиотехнических устройств, начальные условия выберем нулевыми: и,„„(0) = и',„„(0) = " " = и',"„„"(0) = О. Наконец, примем, что область допустимых входных сигналов не содержит в себе функций, столь 217 8.5.
Операторный метод (8.72) ('е1п (Р) Р = (~вк (Р) (8.73) передаточная функция системы (8.74) В рамках операторного метода передаточная функция является полной математической моделью си- стемы О свизи метода Хевисайда с теорией преобразования Лапласа см. 114] аналитическое продолжение быстро нарастающих во времени, что для них не существует преобразования Лапласа. Обозначим закон соответствия между оригиналами н изображениями следующим образом: п,„(г) У,„(Р), п,„„(г) (),„„(Р).
Вычислив преобразования Лапласа от обеих частей уравнения (8.71), получим (а„р" + а„, Р" ' + " + а,Р + а ) ()ен„(Р) = = (д.Р" + д.,Р"-' + -+ д,р + де) (),„(Р). Важнейшей характеристикой, на которой основан операторный метод, является отношение изображений выходного и входного сигналов: называемое передаточной функцией или операторным коэффициентом передачи рассматриваемой системы.
В соответствии с формулой (8.72) д.Р. + д.,Р.-'+" + д,Р+ де и Р + "е-1Р + "'+ п1Р+ "е Если эта функция известна, то поиск выходной реакции системы на заданное входное воздействие разбивается на три этапа: Термин «операторный метод» исторически восходит к известным работам Хевисайда, который еше в конце прошлого века предложил символический способ решения дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных электрических цепях. Метод Хевисайда основан на символической замене оператора дифференцирования фй комплексным числом Р. Свойства передаточной функции. Сравнивая формулы (8.74) и (8.41), можно убедиться, что функция К(Р) есть результат аналитического продолжения частотного коэффициента передачи К()сп) с мнимой оси /а на всю плоскость комплексных частот Р = о + )цж Функция К (Р) аналитична на всей плоскости р, за исключением конечного числа точек р,, Р,,..., Р„, явяяюшихся корнями знаменателя в формуяе (8.74).
Данные точки, т. е. корни уравнения аР" + а„,Р" ' +". + а,Р+ае = О называют полюсами передаточной функции К(Р). Математически пулевые начальные условия означают, что до момента возникновения входного сигнала система не содержит запасенной энергия Глава В. Воздействие сигналов ня линейные стационарные системы 218 я Рис. Вл. характер поверхности ~ к(р) ! для передаточной функции, имеющей два комплексно-сопряженных полюса Р,л -и куыя и один нуль г = О 'Точки г„гг,..., г, представляющие собой корни уравнения Ь„г + Ь„,г ' + " + Ь! г + Ьс = О, называют нулями данной передаточной функции.
Вынося общий множитель Кс, возникающий при делении в (8.74) числителя на знаменатель, получаем так называемое луль-полюсное представление передаточной функции: нули и полюсы (8.75) Вещественность коэффициентов дифференциального уравнения (8.72) обусловливает следующее свойство нулей и полюсов: все эти числа либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Часто используют наглядный прием отображения передаточной функции с помощью карты пулей и полюсов, на которой некоторыми условными значками нанесены указанные точки.
Саму функцию К(р), принимающую комплексные значения, нельзя непосредственно представить графически. Поэтому поступают так: над плоскостью с декартовой системой координат изображают трехмерную поверхность функции ! К(р) ! (рис. 8.4). Поверхность имеет характерный вид «горного ландшафта»; бесконечно высокие вершины соответствуют полюсам, а впадины — нулям передаточной функции. Выполнив сечение этой поверхности с помощью плоскости, содержащей как вертикальную ось, так и ось уо, получим профиль АЧХ системы. Полюсы передаточной функции линейной системы являются корнями характеристического уравнения (8.36).
Поэтому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы эти полюсы располагзлись строго в левой полуплоскости комплексной переменной р. Нули передаточной функции В дальнейшем при- нята такая система обозначений: ( )— нуль, йз — полюс 8.5. Операторный метод 219 в общем случае могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскосгях. Формула обращения. Заключительным этапом решения задачи о прохождении сигнала через линейную стационарную систему с помощью операторного метода является поиск оригинала, которому отвечает изображение (/,„„(р) = = К(р)(/-(р) Рассмотрим частный случай, когда функция (/,„„(р) представляет собой отношение двух многочленов по степеням комплексной частоты: причем будем считать, что степень числителя е не превосходит степени знаменателя н н, кроме того„корни знаменателя рн 1=1, 2,...,н — простые.
Способ нахождения оригинала, отвечающего такому изображению, основывается на представлении функции (/,„„(р) в виде суммы элементарных дробей: й решите задачу 1х Коэффициенты С; являются вычетами функции (/ти(р) в точках полюсов, поэтому [14') н формула обращен- иин Как известно, изображению 1/(р — р,) соответствует оригинал ехр(р;г). Таким образом, приходим к известной формуле обращения: (8.76) Примеры нахождения выходных сигналов операторным методом. При практическом использовании операторного метода большую часть формальных вычислений можно исключить, обращаясь к широко распространенным таблицам преобразований Лапласа.
Пример 8.17. Найти яереходную характеристику ВС-Иена. Здесь е(~) 1/р, К(р) = 1/(1+ рт), поэтому У,и„(р)=1/[р(1+рх)]. Разлагая эту функцию на элементарные дроби, имеем и,ю(р) = —— р р+ 1/т Оригинаяы, соответствующие обоим слагаемым я правой части последней формулы, хорошо известны (еы. [5, б, Збз). Искомый Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы результат имеет вид д(с) =(1 — е и')п(с). Пример 8.18. На входе ЯС-цепи действует пряиоугольний видеоимпульс ЭДС с заданными длительностью Т и амплитудой (Со, Выходным сигналом служит напряжение но конденсаторе цепи. Найти функцию, описаваюсцую изменение во времени напряжения ис(с).
Входной сигнал имеет изображение — (/о[1 — е 1' Г)/'1а(с — Т). Для наглядности последнюю формулу целесообразно представить так: (Со(1 — е т) прн Оь,с< Т, ис(с) = Есое и'(ес7' — 1) прн с > Т. Если выходной сигнал снимается с резистора, то при тех же параметрах й и С напряжение на резисторе ия = иги — ис, Пример 8.19. Импульсная хароктериспшка параллельного коле- батасьного контура Параллельный колебательный контур с потерями возбуждается дельта-импульсом тока г неразветвленной части цепи. Выходным сигналом служит напряжение на контуре.
Равенство Ес(р) = = 2(р)7(р) указывает на то, что передаточной функцией в данном случае служит операторное сопротивление контура г(р) = (8.7,7) рз + 2ар + юз где а = 1/(2ВС); юог — — 1/(ЕС). Формулу (8.77) удобно представить в виде р/С ( +а)1+ г' где юо ')/ю~ о— аг — частота собственных колебаний в контуре с по- терями. Изображением дельта-импульса тока служит единипд, поэтому импульсная характеристика данной системы — это оригинал, соот- ветствующий изображению (8.78). По таблицам преобразований Ла- пласа находим е-ы / а )с(с) = — ~ созсо,с — — илюос).
С~, юо Если контур высокодобротный (а ж езо), то формула (8.79) не- сколько упрощается; й(с) — сов ос с, е "' о ' (8.80) (8.78) (8.79) Необходимо помнится что формулы (8.79) и (880) соответствуют возбуждению контура бесконечно коротким импульсом тока, ~о(1 -рг Р Множитель ехр(-рТ) свидетельствует о сдвиге во времени на величину Т. Поэтому, используя результат, полученный в примере 8.17, можно записать ис(с) = (Со[1 — е 'Я2о(с)— 221 8,5. Операторный метод Импульсная характеристика коле:. бательного контура имеет характерный вид гармонического колебания с эксноненциально убывающей во времени огибающей плошадь которого тем не менее составляет 1 А.с.
В реальном масштабе — это очень большая величина: прямоугольный импульс ллительностью 1 мкс должен иметь гигантскую амплитуду 10 А! Неудивительно, что при С = 1000 пФ такой импульс вызовет в начальный момент времени напряжение 1Оз В. Реальный импульс тока с амплитудой 0.01 А н длительностью 1 мкс имеет плошадь 1О ' А с; при С = 1000 пФ начальное напряжение на контуре составит лишь 10 В. Итак, прн г > 0 напряжение на параллельном контуре, который возбуждается коротким импульсом тока произвольной формы с плошалью Пячы имеет внл и (г) П„„„е ( а ссзьзвг з1п Очаг) ' С 1, ы, 18.8 1) А решите задачу 12 Этот ряд примеров можно было бы продолжить и рассмотреть, например, более сложную задачу о включении в колебательный контур источника гармонической ЭДС, Однако получающиеся при этом точные решения довольно громоздки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
