Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пример 8.8. Найэпи дифференциальное уравнение параллельного ,) колебательного контура с потерями, считая, что входным сигналом служит ток 1(г), а выходным сигналом является напряжение и(г) на контуре. Суммируя токи ! «о ди, 1 Г . и ;,=С „,= ~" и,ц„к=, бг' 2 ~ ' В' получаем уравнение би 1 Г и С вЂ” + — ~ ад~+ — =, бе 83 В которое путем однократного дифференцирования по времени при- водится к виду 6~и Йи з 1 д! — + 2а — + тои = — — * бгэ дг С бе * где а =!/(2ЯС) — коэффициент затухания контура, ыо 1)/хк,— частота собственных колебаний в контуре без потерь. А решнте задачу 4 Глава 8.
Воздействие сигналов на линейные стационарные системы Собственные колебании динамических систем. Чтобы полностью определить поведение динамической системы, описываемой уравнением (8.31), требуешься учесть начальные условия, которые характеризуют внутреннее состояние системы в некоторый фиксированный момент времени. Обычно принято задавать искомую функцию и ее и — 1 производную при г = 0: и,„„(0), и'„„,(0),...,и',",„"(0). Из теории дифференциальных уравнений известно (9], что решением уравнения (8.31), удовлетворяющим любым начальным условиям, является сумма некоторого частного решения неоднородного уравнения, у которого правая часть /'(г) отлична от нуля, и общего решения однородного урав- нения 6г" Проблема решения однородного дифференциального уравнения связана с нахождением корней характеристического уравнения системы а„у" + а„зу" '+ "+ агу+ ао =О.
(8.3б) свойство корней характеристического уравнения и,„„(г) = Сье"о+ Слези+ "+ С„е", (837) где С„Сг,...,ф— постоянные числа, определяемые из начальных условий. Если же некоторые из корней оказываются кратными, то составляющие общего решения однородного уравнения несколько усложняются за счет появления секулярных /вековзнх) множителей.
Так, если у, представляет собой /с-кратный корень, то ему отвечает совокупность собственных колебаний вида ехр(уьг), гетр(уьг),...,гь ' ехр(уьг). Рассмотрим примеры собственных колебаний в линейных стационарных цепях. Данный термин возник в астроно- мии Пример 8.9, Апериодичесхая разрядка конденсатора емкостью С, предварительно заряженного до напряжения 1/ь и в момент времени з = О замыхаеиого на резистор сопротивлением Я. Цепь описывается следующим дифференциальным уравнением относительно переменной ис — напряжения нх конденсаторе: бис т — + ис = О бг Постоянная време- ни т ив г(С при единственном начальном условии ис(О) = Г/ь.
Характеристическое уравнение ту + ! = О имеет корень т = — 1/т. Отсюда находим общее решение уравнения свободных колебаний: ис(г) = А ехр( — г/з). Данное уравнение имеет ровно и корней. Поскольку коэффициенты уравнения вещественны, корни у„у„...,у„ могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными. Если все корни различны, то общее решение однородного уравнения (8.35), которое описывает собственные колебания системы, имеет вцц 203 8.3. Линейные динамические системы Для того чтобы удовлетворить начальному условию, следует положить А = ио.
Окончательно имеем ис(с) = иьехр(-с/т). и, иа/е Итак, отрицательному вещественному корню хара«терисгического уравнения отвечает собственное колебание, экспоненциально убы- вающее во времени. Постоянная времени т данной цепи есть промежуток времени, в течение которого свободный процесс затухает в е = 2.71828...
раз. Пример 8.10. Колебвнельная разрядка конденсатора. Пусть предыдущий пример усложнен тем, что в цепи имеется также индуктивный элемент 1 Дифференциальное уравнение цепи относительно тока с(с), составленное на основании второго закона Кирхгофа, имеет внд — + 2а — Е вь) = О, ба С й( (8.38) с)с где а = й/(21), вс = 1/)/сл.. Первое начальное условие С(0) = О обусловлено наличием в контуре индуктивного элемента. В начальный момент времени напряжение на конденсаторе уравновешивается ЭДС самоиндукции: В контуре с индук- тивным элементом ток не может изме- виться скачком дс! иь+ь — 1 =о, с(с ~ о Напряжение на резисторе в начальный момент времени равно нулю в силу первого условия откуда следует второе начальное условие: бс~ ис/с- Характеристическое уравнение данной цепи у' + 2ау+ озз = О Имеет комплексно-сопряженные корни ткл = -аЫ'усво — а = — ч./в„ где в, — частота собственных колебаний системы.
Если потери в контуре достаточно малы, то вс ъ. а, поэтому со, ке вс. Общее решение однородного уравнения с(с) = С,е" н + Слези (8.39) содержит коэффициенты С, и С„удовлетворяющие системе ал- гебраических уравнений (см, начальные условия): С,+Сз О, у,с, + у,с, - - и,//„ откуда -и.
и, С, —, С /2влЕ /2в,1. с(с) — — е " мп со,с. и, в,Х. (8.40) Подставив эти коэффициенты в выражение (8.39), получим окончательно 204 Глава 8. Возлействне сигналов на линейные стационарные системы (8.41) Пример. 8.11. Частотный каэффицивнт передачи напряжвния КС-цепи, гквма которой приведена в примере 8.7.
Здесь Кйв) = 1/(/еС) 1 Я + 1/(гвС) 1 + 7ег гле т = ЛС-постоянная времени. Уравнение АЧХ принимает вил (8.42) 1 !К0в)! 1 ~/1+ егтз ФЧХ определяется следующим образом: Ок (в) ° -агстй (вт). Вгщ АЧХ указывает на то, что такая цепь может использоваться в качестве фильтра нижних частот (ФНЧ). Пример 8.12.
Частотный коэффициент передачи напряжения Г-абразнага четырекпалюгника, собранного из элементов 7„С, Л: Здесь !/ВвС) 1 д+/вЬ+ 1/0еС) (Г-езйС) +/еЛС' откуда следует уравнение АЧХ ! К(/е) ! 1 (гг(! — ез(С)з+ езйзС* о 1/вЕс А решите задачу 5 Частотный коэффициент передачи распределенной системы свободен от этого ограничения и может описываться более сложными функциямн Частотный коэффвцнент передачи.
Если на вход линейной динамической системы поступает сигнал, имеющий комплексную математическую модель вида и,„(г) = ехр(/ег), то сигнал на выходе и,„„(г) = К(/в) ехр(!вг). Подставляя эти выражения в (8.30), после сокращения на общий множитель находим Итак, частотный коэффициент передачи любой динамической системы„описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональную функцию переменной /в; коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения. В инженерных расчетах частотный коэффициент передачи линейных систем часто находят методами теории цепей на основании принципиальных схем, не прибегая к составлению дифференциальных уравнений. Рассмотрим некоторые примеры.
205 8.3. Линейные динамические системы и уравнение ФЧХ Чзя(ы) = -агс18 [ыАС/(1 — азу)1. Если сопротивление потерь Я достаточно мало, так что добротность системы (2 )/х.уС/й ъ 1, то данная цепь может с успехом выполнять роль полосового фильтра. Усилитель малых сигналов с апернодической нагрузкой. Типичным примером линейной динамической системы является электронный усилитель напряжения (рнс. 8.1,а, 6). Для ойределенности в качестве управляемого элемента здесь взят' биполярный транзистор типа п-р-п, включенный по схеме с общим эмиттером. Паразитная емкость включает в себя выходную емкость электронного прибора, а также емкость соединительных проводни- ков Е„вт Рис.
8.!. Усилитель напряжения; а — упрощенная нрннннннальнав схема; Š— эквивалентная схема (я„ — ре. знстор нагрузки, С„ — наразнтная емкость) В усилителях применяются также разнообразные полевые транзисторы и электронные лам- пы При Т=ЗОО К (стаидартная температура) температурный потенциал перехода равен 26 мВ Чтобы любые такие устройства можно было анализировать единообразно, принято использовать схемы замещения электронных приборов, Метод эквивалентных схем применим тогда, когда амплитуды переменных напряжений малы настолько, что можно пренебречь нелинейностью внешних характеристик электронных приборов. Например, биполярный транзистор достаточно точно описывается линейной схемой замещения, если амплитуда переменной составляющей входного напряжения мала по сравнению с так называемым температурным потенциалом Р-и-перехода иг = )гТ)е, где lг — постоянная Больцмана; Т- абсолютная температура перехода; е— заряд электрона.
Как известно из теории цепей, схема замещения активного электронного прибора (рис. 8.1,б) содержит управляемый источник тока, создающий в выходной цепи ток — Яи,„ (5 — крутизна характеристики прибора в рабочей точке), а также выходное (внутреннее) сопротивление прибора Иь включенное параллельно источнику тока. Нагрузкой усилителя является параллельное соединение сопротивления Я„ и емкости С„; такую нагрузку принято называть апериодической в отличие от колебательной нагрузки (1.С-контура). Глава 8. Воздействие сигиклов иа линейные стационарные системы (8.43) граничная частота усиления гагр = 1/(аэвСп). Пример 8.13. Усилитель, собранный но схеме рис.
8.1, имеет следующие параметры: Вп = !.6 кОм, 5 = 20 мА/В, Сп = 30 пФ, Д, = 15 кОм. Вычислит~ коз1бфициент усиления на нулевой частоте и полосу яронускания усилителя. Прежде всего находим зквивклеитиое сопротивлеиие нагрузки Я, = 1.6 15/(1.6 Е 15) = 1.45 кОм. т решите задачу 1О Модуль коэффициенте усиления лк нулевой частоте Кп = 20,10-в ! 45 10' 29 Граничная частота усилителя Г ы„= 1/(145.10' 3.10 ") = 23 10з с или/р — — 3.66 М1ц. устойчивость динамцческой систе- мы Отрицательный знак указывает на то, что при увеличении напряжения на базе коллекторный ток возрастает н выходное напряжение уменьшается Полная проводимость, включенная параллельно источнику тока, 1 1 У = — + — +/гоС .
х )1 д п. Если на вход усилителя подан гармонический сигнал с частотой «з и комплексной амплитудой (у,„, то комплексная амплитуда выходного напряжения (/ви» = 8(/вв/Ух откуда частотный коэффициент передачи напряжения где И„= Кйь/(Я„+ И,) = К„)) Ко Таким образом, рассмотренный усилитель напряжения с резисгивно-емкосгной нагрузкой имеет частотный коэффициент передачи такого же вида, как и КС-цепь. На нулевой частоте значение АЧХ максимально; модуль коэффициента усиления Ко = 8Ам. С ростом частоты усиление падает из-за шунтируюшего действия паразнтной емкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
