Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(/ /о,:в.1, то прн (/- (/ можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя с большим аргументом: Г (/(/ 1 ехр11/(/ /о„''1 о„ехр 1Ш/„/о-„') ~* .1 (е/2я(/(/ /о'~ (/2я У в новых переменных имеем (/ ~ У~ + (/~ — 20(/„позер Теперь, чтобы получить одномерную плотность вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы (7.77) по угловой координате: и Р((/) = )Р((/, ЕР)дЕР, о в результате чего находим 187 7.3. Узкополосные случайные пропессы о. 0.4 Тоном выделена криван, отвечающая закону Рэлен Оз 0.2 ол йуо, 3 4 5 б 7 Ряс.
7.2. Графики ипотпостн вероятности случайной величины, рас- пределенной по закону Рейса Подставив это выражение в (7.78), имеем ((7 П )г") р((/) = ехр~— (/2п а„~. 2о„ (7.79) т. е. огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае приближенно нормально с дисперсией а'„н математическим ожиданием (/ . Практически считают, что уже при () /а = 3 огибающая результирующего сигнала нормализуется.
Полезно вспомнить, что огибающая чистого шума, распределенная по закону Рэлея, имеет дисперсию, равную 0.429а'„. Таким образом, наложение достаточно большого гармонического сигнала приводит более чем к двукратному росту дисперсии огибающей. Тем не менее относительные флуктуации огибающей при этом падают. Действительно, дпя чистого шума величина ои/(7, которую удобно принять в качестве числовой оценки флуктуаций, равна 0.523, Прн болыпом детермированном сигнале величина ои/О = а„/(7, стремясь к нулю с ростом амплитуды (/ . Следует обратить внимание на изменение среднего значении и дисперсии под влиянием гармонического сиг- нала Результаты ОО Случайная спектральная плотность отдельных реализаций стационарного случайного процесса дельта-коррелироеана и имеет на всех частотах нулевое математическое ожидание.
ОО Преобразование Фурье от функции корреляции иизыаается спектральной плотностью мощности стационарного глучайного процесса. Чем шире эпют спектр, тем хаотичнее реализации случайного процесса. ОО Для гпого чтобы случайный процегг был дифференцируемыль необходимо существование второй производной функции корреляции ари нулевом значении аргумента. ОО Мгновенные значения реализации случайного процесга и его производной е совпадающие моменты времени некоррелироеаны.
Глава 7. Корреляционная теория случайных проиессов 188 Реа,шзации случайного сигна,ш на выходе идеального интегратора обра- зуют нестационарный случайный процесс даже в том случае, если входной случайный процесс стационарен, Реилизации узкополосного случийного процесса представляют собой квазигар- монические колебания, случийно модулированные ло илнлитуде и по фазовому углу.
Функция корреляции узкополосного случайного процесса представляется в виде произведения быстрого и,медленного солшожителей. Узкополосный случайный процесс и его преобразование Гильберта в совпа- дающие лшменты времени некиррелированы между собой. Огибающая узкополосного нормального случайного процесса распределена ло зикону Рэлея; начальная фази этого процесса имеет равномерное распре- деление. Нормированная функция корреляции огибающей узкополосного сл) чайного процесса приблизительно ривна квадрату огибающей нормированной функции корреляции силюго процесса. Огибаюи)ая суммы гирмонического сигнала и узкинолосного гауссова шума, центральная частота слектри мощности которого совпадает с частотой сигнала, распределена ло закону Ройса.
При больших отношениях сигнал/шум плотность вероятности огибающей близка к нормальной. ОО ОО ОО ОО ОО ОО Вопросы Задачи спектральную плотность мошности И'гы) = И'оехр(-Ьыз). ) оз11 — ~ т ~/го), ~ т) < го, ) О, ) т ) > го. 1. Некоторый сяучайный процесс изучают в рамках корреляпнонной теории. Какой смысл вкладывается в это высказывание? 2. Как формулируется теорема Винера— Хинчина? 3.
Каковы основные свойства спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса? 4. Как определяется понятие одностороннего азектра мошносги? Как, зная спектр мошности, вычислить дисперсию стационарного случайного процесса? 5. Почему случайный процесс типа белого шума называют дельта-коррелированным случайным процессом7 Каковы основные свойства белого шума? В каких случаях реальный случайный процесс можно приближенно заменить белым шумом? 1. Вычислите спектр мошиости стационарного случайного проиесса, описываемого функцией корреляции 2.
Найдите функцию корреляции стационарного случайно~о процесса, имеющего б. Как в теории случайных процессов определяют поюпия сходимосги и непрерьвности? 7. Каковы отличительные свойства недифференцируемых случайных процессов? 8. Как вычисляются дисперсия, функция корреляции и спектр мощности для производной от стационарного случайного процесса? 9. Как определяется понятие положительного выброса случайного процесса? 1й. Что такое квазичастота стационарного случайного процесса? 11. Каков примерный вид реализаций узкополосного случайного процесса? 12. Как выглядит характерная осциллограмма случайного сигнала с рэлеевской плотностью вероятности мгновенных значений? 3. Односторонний спектр мошности стационарного'случайного процесса Х(г) задан формулой М„Я = А)Г/Го) ехр( — ///о), где А, Го — постоянные величины.
Определите функцию корреляции процесса. Более сложные задания ГО й„(т) = агр(т) соз ает. 4. Найдите интервал корреляции стационарного случайного процесса с функцией корреляции й(т) = пгехр(-п)т(). 5. Стационарный случайный процесс имеет эффективную ширину спектра, равную 1,5 МГц.
Максимальное значение одностороннего спектра мощности составляет 3 10 " Вг/Гц. Определите дисперсию данного процесса. б. Полагая, что в течение месяца температура воздуха является реализацией стационарного случайного процесса, предложите оценку для его .интервала корреляции. 7. Найдите дисперсию произволной случайного процесса с функцией корреляции вида й(т) = а'(1+ а(т()ехр( — п(т(). Я.
Стационарный случайный процесс имеет спектр мощности, представляемый графиком: Более сложные задания 13. Исследуйте функцию корреляции процесса вида «случайного телеграфного сигнала». Его реализации являются разрывными функциями, принимающими с равной вероятностью лишь два значения: +а и — а; В случайные моменты времени знак реализации изменяется скачком. Вероятность того, что за время Т произойдет л перемен знака, описывается законом Пуассона: Р г(л) — е И7 -хт п) Докажите, что этот случайный процесс дифференцнруем н найдите дисперсию его производной. 9.
Квазнчастота случайного процесса с дисперсией Я В' равна 0.5 МГц. Определи- те дисперсию производной данного случай- ного процесса. 10. Стационарный случайный процесс Х(г) имеет односторонний спектр мощности ) Рр при а, < а <аг, Р„(а) = ( 0 при а<се,, а>егг. Реализации процесса представлены в виде х(г) = А(г)созаег — В(г)цпаег. где гое = (аг — аг)/2. Найдите функции корреляции Кх(т) н )(в(т), а также взаимную функцию корреляции йлв(т). 11. Найдите среднее значение и диспер- сию огибающей узкополосного нормального случайного процесса с функцией корреля- ции А (т) = 25 ехр ( — 4 1Оет г) соз 10~ т.
12. Узкополосный нормальный случайный процесс Х(г) имеет функцию корреляции К,(т) = пгехр(-Ятг/2)созает. Найдите функцию корреляции и спе«тр мощности огибающей этого процесса. где Л вЂ” параметр, определяющий скорость изменения процесса во времени. 14 Узкополосный нормальный случайный процесс имеет функцию корреляции Докажите, что квалрат огибающей этого процесса имеет функцию корреляции К(т) = = 4пгр'(т), 15. Узкополосный нормальный случайный процесс характеризуется функцией корреляции, приведенной в задаче 14. Найдите одномерную плотность вероятности мгновенной частоты данного процесса.
Глава Я Воздействие детерминированных сигналов на линейные стационарные системы Системы, применяемые для обработки, преобразования и передачи сигналов, весьма разнообразны по принципам внутреннего устройства и внешним характеристикам. Для того чтобы их можно было сравнивать и классифицировать, сформулируем исходные понятия. 8Л. Физические системы и их математические модели Радиотехническое устройство независимо от своего назначения и уровня сложности представляет собой систему, т. е.
совокупность физических объектов, между которыми существуют определенные взаимодействия. В структуре системы можно выделить вход, на который подается исходный сигнал, и выход, откуда снимается преобразованный сигнал. Если интересуются лишь связью между сигналами на входе и выходе и не описывают внутренние процессы в системе, то говорят, что система представляет собой «черный ящик». Системные операторы. В наиболее простом случае как входной сигнал и,„(г), так и выходной сигнал и„„(г), называемый также откликом или выходкой реакцией системы, описываются одиночными функциями времени. В более общем случае входной сигнал представляется в виде тмерного вектора О.„(Г) = (ивп (Г), ияи(Г),..., и,„„(Г)), система о Гйкю Т Система как «черный ящик» а выходной сигнал — в виде и-мерного ведтора Й7,„„(г) = (и,„„,(г), и,ии(г),...,и,„,„(г)).
2.Радио технические цепи, устройства и системы 8Л. Физические системы и ах математические модели 191 Закон связи между сигналами (У„„(Е) и (У„„,(Е) задают системным дператором Т, резуз)ьтатом воздействия которого на сигнал (У, служит сигнал (У„„„: (У~~„(Е) = Т(Ук„(Е). (8.1) системный опера- тор Пример 8.1. Лрсе)полоэнзем, что некоторал система преобразует одномерный входно) сигнал пп закону и,„„(Е) = 15 <$нт(Е)/аг. В лаином случае системный оператор может быть записан так: Тм15 —. е1 дг Из этого выражения непосредственно вытекает структурная схема системы, образованная каскадным соединением масштабного звена (адеальяого усилителя) и диффереицпатора. следует, что (Умы (Е + ЕЬ) = Т(У „(Е Х ЕЬ) (83) при любом значении еь.
Стационарные системы называют также системами с постоянными во времени параметрами Если же свойства системы не инвариантны относится~ но выбора начала отсчета времени, то такую систему называют нестационарной (системой с переменными во времени параметрами или параметрической системой! Чтобы полностью определить задачу, следует указа~в также область У),„ некоторого функционального пространства, которая называется областью допустилеьех вхое)ньех воздействий. Задание этой области описывает характер входных сигналов, которые могут быть непрерывными или дискретными, детерминированными или случайными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
