Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(7.57) Якобиан такого преобразования [см. формулу (6.24)) (7.58) ) ага»р (У соз ср ~ Поскольку в новых переменных А'+ В' =- (тг, искомая двумерная плотность вероятности (7 ( (уг р(((, ог) = — гетр~ — — т.~. 2ко„~ 2а ~ (7.59) Одномерная плотность вероятности начальной фазы.
Воспользовавшись формулами (7.55) и (7.59), найдем плотность вероятности начальной фазы: 102 Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Таким образом, начальная фаза узкополосного случайного процесса распределена равномерно на отрезке 10,2л). Одномерная плотность вероитносги огибающей. Поскольку функция р((7, гр) не зависит от угла гр, на основании выражений (7.54) и (7.59) плотность вероятности огибающей Подчеркнем, что здесь н в дальнейгием р(чр) н р(Ц— разные функции (7.6 Ц Здесь также целесообразно перейти к безразмерной переменной т = Пг/о„, огносительно которой Р(г) = сехр( — яг!2). (7.62) Плотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выражением (7.61) или (7.62), известна под названием закона Рзяея.
Соответствующий график (рис. 7.1) наглядно показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка о„) значения огибаго~цей. В то же в(гемя маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень о„узкополосного процесса. закон Рэлеа ОЯ 0.2 г ! 2 3 Ряс. 7.1. График плотности вероятяссти случайной величины, рас- пределенной цо закону Рэлея (по ося абсцнсс отложен беэразмер- цый аргумент г = (//о„) Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (7.61), находим среднее значение огибающей глц = (гг = '(г' ягг2 о„= 1.253о„ (7.63) и ее дисперсию огц = (г'г — ((7)г = (2 — я/2) а„' = 0.429о„'. А решите задачу 11 (7.64) Располагая одномерной плотностью вероятности огибающей„можно решить ряд задач теории узкополосных случайных процессов, в частности, найти вероятность превышения очибающей некоторого заданного уровня.
1аз 7.3. Узкополосные случайные процессы Пример 7.5. Уэкаяалаеннй нормальный нраяеее имеет явстаяянае значение спектра мищиасти еь = 1.5 ° 10 э Вг ° с в яределах яалаем частит агн еа ь = гпь с ' да т „= 1.02 1О' с '. Натгти вероятность гиага, ита огибающая этого гграяеееа превосходит уровень Гв=5 В. По условию задачи„эффсктиннан ширина спектра процесса Лтщ = 2 1О' с '. Поэтому дисперсия ог = Гв асо,ь = 3 В'. Согласно определению понятна плотности вероятности, искомая величина Событие, рассматрнваемое в этом примере, явлнетсн достаточно редкнм р(В н 17 1 = ~р(1г) ь((г = ехр~ — — ~ = ехр(-25/6) = 0.0155. ов 2ог ~ и.
Случайные величины. распределенные по закону Рзлея, встречаются во многих физическнх н радиотехнических задачах. Изящный вывод формулы (7.6!), полученный Рзлеем из совсем иных предпосылок, читатель может найти в классической книге [253. Двумерная плотность вероятносгн огнбаннцей. Для того чтобы исследовать динамику изменения огибающей во времени, необходимо располагать более подробной информацией по сравнению с той, которая может быть почерпнута из закона Рзлея. Так, для вычнсления функции корреляции огибающей требуется знать двумерную плотность вероятности р((7, (7,). Воспользуемся тем, что синфазные и квадратурные амплитуды узкополосного нормального случайного процесса являются низкочастотными гауссовымн процессами с одинаковыми функциями корреляции Ял (т) = Кя (т) = о„'р (т) Здесь н далее принято сокращенное обозначение (7, = = (г'(1 + т) н двумерными плотностями вероятности [см, формулу (6.28)): 1 А' А,' — 2рАА, ~ 2 - )/1 — г 1 2овг (1 — рг) Вг+В, -2рВВ, р(В, В,) = — - ехр — г Если спектральная плотность мощности процесса симметрична относнтельно центральной частоты шв, то процессы А (1), В (г) статистически независимы, так что совместная четырехмерная плотность вероятности р(А, А„В, В,) = р(А, А,)р(В, В,).
(7.65) Перейдем от синфазной и квадратурной амплитуд к огибающей н начальной фазе, вычисленным в различные моменты времени: А = ()сок ьр, А, = (у,созьр„ В = (7 пп гр, В, = (7, сйп фн Глава 7. Коррсляциоииая теория слтчааиых процессов Якобиан данного преобразования соз ср 0 гйп»р 0 0 соз»р, 0 ып~р, — 051псо 0 Усоз»р 0 0 — с»» з(п ср, 0 П, соя»р» = УУ,. (7.67) Используя этот результат, запишем плотносгь вероятности (7.65) в новых переменных: У(l, ( Уа+ Уа — 2р(У(У,соз(ср — <р,) 1 4яао„"(1 — ра) ~ 2а„'(1 — ра) (7.68) Теперь, чтобы получить искомую двумерную плотность вероятности огибающей, следует дважды проинтегрировать правую часть формы (7.68) по угловым координатам: 2» 2» р ((7, 11.) = ) с) р ) р((7, (7, 95, ЧЬ) М' о о 5 3 2 1 Применяя известную в математике формулу ! 2» — ) е*"" с)ср = 1,( ), 2л о Функции 1о(х) где 1о — модифицированная функция Бесселя нулевого индек- са, из (7.68) и (7.69) получаем окончательно: двумерный Рэлеи Р((7, У,) ае — ехр~ — — ~ — 'ехр аа ~ 2а'~ оа ~ 2па~' (7.71) т.
е. функция р (У, (7,) приближенно равна произведению двух одномерных рэлеевских плотностей. Функции корреляции огибаиицей. По определению, функция корреляции огибаюпзей )(п(т) = (Л~, — (О)а. (7.72) Квадрат среднего значения огибающей находим на основании равенства (7,63): (О)а =(л72)аа Теперь необходимо вычислить среднее значение произведения Л~, = ) 0() ) ии,р(и, и,) бе,. (7.73) о о (7.70) Плотность вероятности, определяемую формулой (7.70), закон иногда называют двумерным локоном Рэлея.
Отметим, что если сдвиг т значительно превышает интервал корреляции т„, свойственный функции р(т), то р- О. Отсюда, поскольху lо(0) = 1, получаем 185 Ь решите задачу 12 (7.74) (7.75) Пример 7.6. Известии, что фуикцця корреляции некоторого случайного процесса (Вз) Я„(т) =05ехр( — 10'(т!)соз(2п 10'т). Здесь высокочастотный сомножитель имеет период 10 л с, амплитудный сомножитель изменяется за это время лишь в ехр( — 10 г) = 0.99 раза. Поэтому рассматриваемый случайный процесс можно считать узкополосным с центральной частотой уе - -1 Мгц. Ограничиваясь первым членом ряда в формуле (7.75) и заменяя приближенно коэффициент 0.915 на единицу, находим нормированную функцию корреляции огибающей: гп (т) и ехр (-2 1О" ~ т !).
Дисперсия огибающей огп = 0.429аз = 0.2145 В', откуда функция корреляции Ки (т) т 0.2! ехр ( — 2 104 ! т ~). составляет 50 периодов гармонического колебания с частотой Ге. Наконец, односторонний спектр мощности огибающей (см, пример 7.1) 2 73 ° 10э рц(ы) = — '— 4 !О" +из имеет низкочастотный характер. 7.3.
Узкополосные случайные процессы Нахождение интеграла (7.73) сопряжено с весьма громоздкими вычислениями, основанными на том, что двумерную плотность вероятности (7.70) разлагают в бесконечный ряд по многочленам Лагерра (22). Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат: з) Р' ГН2 — 3)!!)* .. п(т) 2 о ~ 4 + ~ 2з" ~п)~з Р з Представляя функцию корреляции в виде Яи(т) = = озпгп(т), из (7.74) находим выражение для нормированной функции корреляции огибающей: Интервал корреляции огибающей т, = (~ сп(т)(дт = 5 10 ' с е Опсбаюшаа суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума.
В радиотехнике часто интересуются статистическими свойствами сигнала, наблюдаемого на выходе некоторого частотно-избирательного устройства, например, резонансного усилителя. Будем считать, что помимо флуктуационного гауссова шума с центральной частотой юе, равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует Можно приближенно считать, что коэффициент корреляции огибающей просто равен квадрату огибающейнормироваиной функции коррелнции узкополосного сигнала Глава 7. Корреляпаонлел теория случайных пропессов Ткпичнаи реализации огибающей узкополосного шу- ма и огибающей процесса вида «гармонический сигнал + + узкополосный шум» также ДетеРминиРованный гаРмонический сигнал 0 соьвог с известной амплитудой (/„.
Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. СчитаЯ, что полезный сигнал ь(Е) = (/ соьвоЕ, в то вРемл как шум п(е) = А(е)соьвое — В(е)япвое, запишем выражение реализации суммарного процесса Х(Е): х(е) = ь(е) + а(е) = ((/ + А(е)2соьвее — В(е)ьеп в,е. Данный случайный процесс узкополосен, поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающей с/(е) и начальной фазы ер(е): х (е) = (/(е) соь )"все + еР (еЦ. Очевидно, между парами (А, В), (У, ер) имеется связь: А(Е) = (/(Е)соь~р(Е) — (/, В(Е) = 1/(Е)ьеп ср(Е). (7.76) Легко проверить, что якобиан 0 этого преобразования равен 1/.
Тогда, поскольку двумерная плотность вероят- ности 1Г А+В) р(А, В) = ь ехр~— (7.77) (7.78) Данная формула выражает закон, получивший в радиотехнике название закона Рапса. Отметим, что при У = О, т. е. в отсутствие детерминированного сигнала, закон Райса переходит в закон Рэлея. На рис. 7,2 представлены графики плотности вероятности случайной величины, распределенной по закону Райса при различных отношениях и = 1/ /о'„. Отметим, что если амплитуда детерминипованного сигнала значительно превышает среднеквадратическнй уровень шума, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
