Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Так кяк плотность вероятности фазового угла р„= 1/(2л), то математическое ожидание процесса Ги (' й = У соя(воз + ф) = — ~ сов(воз + ф) дф = О. 2я з Аналогично можно найти лпсперспю: оз ~и — й~з = 122 сспз (воз + ф) = ггз/2. Наконец, функция каррепяпяп в решите задачу 9 Я(2„2,) = (з„'соз(возл + ф) соз(возз + ф) = = '/ тг„'(сиз~вы~(2, +2Д) ч-2фф) + ссзво(22 — 2,)) = /2уз савв (22 ц) Итак, данный случайный процесс удовлетворяет всем условиям, которые необходимы для того, чтобы обеспечить стапианарпссгь в шираком смысле. Пример 6.6.
Случайный процесс 11(г) иывега реализации вида и(2) = У„саз(воз+ в), причем во я ф — задаяиые числа, ӄ— случайяая величава с прпизвпльиыль законом распрвделеиия. Математическое ожидание й = 12 сов (ви ф ф) будет не зависимым от времени лишь прп (1„= О. Поэтому в общем случае рассматриваемый случайный процесс будет несгяцяспарпым. Большинство случайных процессов в радиотехнике являются эргодиче- скнми Свойство эргодичнпстн. Стационарный случайный процесс называют эргадическим, если при нахождении его моментных функций усреднение по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени. Операция усреднения выполняется над единственной реализацией х(г), длительность Т которой теоретически может быть сколь угодно велика.
Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запи- 6.3, Случайные нропессы )59 шем математическое ожидание эрголцческого случайного процесса: т т = (х(с)) = )пп — ~ х(с)с)с, т .Т~ о (6.43) которое равно постоянной составляющей выбранной реализации. Дисперсия подобного процесса пс = ([х(с) — ос|а) = )пп — ~ [х(с) — т)~ с)с = (хс(с)) — та. т ю Т ! о (6.44) Поскольку величина (хс) представляет собой среднюю мощность реализации, а величина т' — мощность постоянной составляющей, дисперсия имеет наглядный смысл мощссостм флуквуацссонной составляющей эргодмческого процесса.
Аналогично находят функцию корреляции: й (т) = ([х (с) — т! [х (с + т) — т1) = (х (с) х(с + т)) — т' = физический смысл дисперсии случай- ного процесса )пп — х(с)х(с+ т)с)с — т . с т- Тд' о (6.45) Достаточньсм условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю функции корреляции прн неограниченном росте временнбго сдвига т: условия эргодичности случайного процесса (6.46) т !пп — ~ К(т)с)т = О. т ю Т о (6.47) Так, равенство (6.47) справедливо применительно к гармоническому процессу со случайной начальной фазой (см. пример 6.5).
Измерение характерястнк случайных процессов, Если случайный процесс является эргодическим, то его реализация достаточной длины есть «типичный» представитель статистического ансамбля. Изучая эту реализацию экспериментально, можно получить много сведений, характеризующих данный случайный процесС. )пп К(т) =О. е В математике показано, что зто требование можно несколько ослабить.
Оказывается, что случайный процесс эргодичеи, если выполнено условие Слуцкого [2(): Глава б. Основы теории саучалиых сигналов Измерение плотности вероятности ~х(е) Коррелометр А решите задачу 14 стационарно связанные случайные процессы Прибор для измерения одномерной плотности вероятности случайного процесса может быть выполнен следующим образом.
Одномерная плотность вероятности эргодического случайного процесса есть величина, пропорциональная относительному времени пребывания его реализации на уровне межлу х и х + Ьх. Предположим, что имеется устройство с двумя входами, на один из которых подается исследуемая реализация х(е), а на другой — опорное постоянное напряжение, уровень которого можно регулировать. На выходе устройства возникают прямоугольные видеоимпульсы постоянной амплитуды, начало и конец которых определяются моментами времени, когда текущие значения случайного сигнала совпадают либо с уровнем хо, либо с уровнем хо + Ьх. Если теперь измерить, скажем, с помощью обычного стрелочного прибора среднее значение тока, создаваемого последовательностью видеоимпульсов, то показания этого прибора будут пропорциональны плотности вероятности Р (-'со).
Любой достаточно инерционный стрелочный прибор может быть использован для измерения математического ожидания случайного процесса [см. формулу (6.43)1. Прибор, измеряющий дисперсию случайного процесса, как это следует из (6.44), должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую.
Дальнейшие этапы процесса измерения — возведение в квадрат и усреднение по времени — выполняются инерционным квадратичным вольтметром. Принцип работы измерителя функции корреляции (коррелометра) вытекает из формулы (6.45). Здесь мгновенные значения случайного сигнала после фильтрации постоянной составляющей, разделяясь на два канала, поступают на пере- множитель, причем в одном из каналов сигнал задерживается на время т. Для получения значения функции корреляции сигнал с выхода перемножителя обрабатывается инерционным звеном, которое осуществляет усреднение. Взаимная функция корреляции двух случайных процессов.
Во многих случаях представляет интерес вопрос о том, какова статистическая связь между двумя стационарными случайными процессами Х(е) и У(е). Принято ' вводить взаимные функции корреляции этих процессов по формулам Я„„(е„е,) = [х(е,) — т„1 [у(е,) — м,1, )см(ЕЕ, Ез) = [У(ЕЕ) — ИЕЛ1 [Х(Е2) — ЛЕа1. Случайные процессы называют стационарно связанными, если фУнкции ее„,(е„е,), Я„„(ее, еа) зависЯт не от самих аРгУ- ментов е, и еа, а лишь от разности е = еа — е,. В этом случае, очевидно, ес„„(т) = А,„(-т). (6.49) Предположим, что случайные процессы Х (е) и У(е) статистически независимы в том смысле, что для мгновен- 161 6.3.
Сцучаякые процессы 1 р(Х1,... Ха 1 ' ° ° ти-1) и(2 )М2~ ~1/2 аЬ (6.50) решите задачу 10 и 1 х ехр — 2 ~ Асз(ха — т)(хз — т) . 2!г!оз ~ Результаты ОО Вероятностные закономерности проявляются в физических системах, образованных из большого числа более мелких подсистем. ОО Основными характеристиками случайной величины являются ее функция распределения и плотность вероятности.
ОО Числовыми параметрами, описывающими случайную величину, служат моменты, такие, например, как математическое ожидание и дисперсия. 6 Рааиас анииссанс исаи ных значений х = х(2) и у, = у(2 + т) независимо от величины т двумерная совместная плотность вероятности р (х, у,) = = р,(х)рз(у,). Тогда а ас Яю(т)= ( (х — тн)р1(х)бх ] (у, — ти)рз(ус)бус =О, т.е. из статистической независимости случайных процессов вытекает их некоррелированность. Однако в общем случае обратное утверждение не справедливо.
Стацнонарные гауссовы случайные процессы. Эти математические модели случайных сигналов широко используются в радиотехнике для описания статисгических явлений, обусловленных большим числом независимых слагаемых, т. е. в условиях применимости центральной предельной теоремы. По определению, и-мерная плотность вероятности стационарного гауссова процесса следующим образом зависит от и — 1 временных аргументов тс = 21 — вы 1 = 2, 3,...,п: Здесь приняты те же обозначения, что и в формуле (6.26).
Элементы корреляционной матрицы этого случайного процесса определяются нормированной функцией корреляции: го —— Р(т; — тз). В дальнейшем часто будет использоваться двумерная гауссова плотность 1 р(х,, х,, т) = х 2ко2 ~/1 уз (1) х ехр (х, — т)2 — 2Р(т) (хз — т) (хз — т) + (хз — т)2] (6.51) 2о'2 ~1 — Рз(т)] Стационарный гауссов процесс занимает исключительное место среди прочих случайных процессов — любая его многомерная плотность вероятности определяется двумя характеристиками: математическим ожиданием и функцией корреляции.
Сонременнан радиотехника все шире при мекает цифровые измерители параметров случайных процессов, работа которых основана на дискретизации случайного сигнала и последующих операциях над числами-вы- борками Наибольшее число теоретических результатон в статистической радиотехнике получею нменю прнмеинтелью к стационарным гауссоным процессам 162 Глава 6. Основы теории случайных сигналов Статистические связи между отдельными составляющими многомерной случайной величины принято описывать смешанными моментами второго лорядка, называемыми коэффициентами корреляции.
Некоррелированнь<8 гауссовы величины статистически яезаеисил<ы. Согласно центральной предельной теореме, сумма большого числа «езаеисимых случайных величин в пределе, с ростом числа слагаемых, распределена но нормальному закону. <г<г Случайный процесс задается бесконечным ансамблем свои.т реализаций. Важнейшими моментнымн функциями случайного процесса являются математическое ожидание, дисперсия Ч функция корреляции, Если статистические характеристики случайного процесса неизменны во времени, то такой процесс называется стационарным.
Характеристики стационарных эргодических случай ных процессов можно изучать экспериментально, анализируя единственную реализацию достаточно большой длины. <><"< Любую многомерную плотность вероятности стационарного гауссоеа случайного процесса можно вычислить, зная математическое ожидание и функцию корреляции. Вопросы 11. Экспериментально получена следующая реализация случайного сигнала: Задачи 2. Случайная величина Х имеет плотность вероятности р(х) аехр( — Ь! х ().
1. При передаче текста по некоторому каналу саши в среднем 0.5% символов воспринимаются с ошибкой. Передан текст длиной 120 символов. Какова вероятность правильного воспроизведения данного сообщения? Найдите связь между числами а и Ь, вы- текающую из условия нормировки. 1, Как формулируются аксиомы теории вероятностей? 2. В чем разница между понятиями математической и эмпирической (выборочной) вероятностей? 3. Каковы основные свойства плотности вероятности случайной величины? 4. Как следует находить плотность вероятности функции от случайной величины при однозначной и неолнозиачиой связях? 5. Как связаны между собой плотность вероятности и характеристическая функция случайной величины? б.
Каков смысл понятия корреляции двух случайных величин? 7. Что является более жестким требованием — иекоррелнроваииость или статистическая независимость случайных величии? 8. Каковы отличительные свойства многомерной гауссовой случайной величины? 9. Как формулируется центральная предельная теорема? 10. В чем разница между двумя понятиями — «случайиый процесс» и «случайиая реализация»? Может ли оиа в принципе принадлежать ансамблю реализаций гауссова случайного процесса? Правдоподобно ли такое утверждение? 12.
Дайте определение понятия случайного процесса, стационарного в широком и в узком . смыслах? 13. В чем заключается отличительное свойство эргодичсского случайного процесса? 14. Каков физический смысл дисперсии зргодического случайного процесса? 15. Как определяется понятие взаимной функции корреляции двух случайных процессов? 163 Более сложные задания 3. Случайная велнчина Х равномерно распределена во внутренних точках отрезка [О, 53; вероятности обнаружить эту величину на кондак отрезка одннаковы н равны 0.3. Постройте графики функции распределения и плотности вероятности для данной случайной величины, 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
