Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Спгчаяпые пропессы сии которых конечны, а распределения вероятности произволь- ны, при некоторых ограничениях, как правило, выполняемых в физических задачах, стремится к гауссову с ростом числа слагаемых. 6.3. Случайные процессы определение поня- тия случайного процесса х, Ансамбль реализа- ций одномерная плотность вероятяостн Теория случайных величин изучает вероятностные явления «в статике», рассматривая их как некоторые зафиксированные результаты'экспериментов. Для описания сигналов, которые отображают развивающиеся во времени случайные явления, методы классической теории вероятностей оказываются недостаточными.
Подобные задачи изучает особая ветвь математики, получившая название ныории случайных процессов. По определению, случайный процесс Х(г) — зто особого вида функция, характеризующаяся тем, что в любой момент времени г принимаемые ею значения являются случайными величинами. Ансамбли реализация. Имея дело с детерминированными сигналами, мы отображаем их функциональными зависимостями или осциллограммами. Если же речь идет о случайных процессах, то ситуация оказывается сложнее.
Фиксируя на определенном промежутке времени мгновенные значения случайного сигнала, получаем лишь единственную реализацию случайного процесса. Случайный процесс представляет собой бесконечную совокупность таких реализаций, образующих саагнисаический ансамбль. Например, ансамблем является набор сигналов (х, (г), х, (г),...), которые можно одновременно наблюдать на выходах совершенно одинаковых генераторов шумового напряжения. Совсем необязательно, чтобы реализации случайного процесса представлялись функциями со сложным, нерегулярным во времени поведением. Часто приходится рассматривать случайные процессы, образованные, например, всевозможными гармоническими сигналами (Гсов(пзг + ср), у которых один из трех параметров ьГ, гп, ср — случайная величина, принимающая определенное значение в каждой реализации. Случайный характер такого сигнала заключен в невозможности заранее, до опыта знать значение этого параметра.
Случайные процессы, образованные реализациями, зависящими от конечного числа параметров, принято называть квазидетерминированными случайными процессами. Плотности вероятности случайных процессов. Пусть Х(г)— случайный процесс, заданный ансамблем реализаций, а г, —. некоторый произвольный момент времени. Фиксируя величины (х1 (11), хз (г,),..., хь (г,),...), получаемые в отдельных реализациях, осуществляем одномерное сечение данного случайного процесса и наблюдаем случайную величину Х(г,). Ее плотность вероятности р(х, г,) называют одномерной плотностью вероятности процесса Х(г) в момент времени г,.
Согласно определению, величина др = р(х, г,) дх есть вероятность того, Глава 6. Основы теории случайных сигналов 156 многомерные плотности вероятности + озх2 + '''+ вехе)1г)хгс)хз. с)хе. (6.35) Описание свойств случайных процессов с помощью многомерных плотностей вероятности высокой размерности может быть весьма подробным.
Однако на этом пути часто встречаются серьезные математические трудности. Момеитиые функции случайных процессов. Менее детальные, но, как правило, вполне удовлетворительные в практическом смысле характеристики случайных процессов можно получить, вычисляя моменты тех случайных величин, которые наблюдаются в сечениях этих процессов. Поскольку в общем случае эти моменты зависят от временных аргументов, они получили название момеиьчных 4уикций.
Для статистической радиотехники наибольшее значение имеют три моментные функции низших порядков, называемые математическим ожиданием, дисперсией и функцией корреляции. Математическое ожидание математическое ожидание случайного процесса иг (г) = х (г) = ) хр (х, г) с)х (6.36) что Реализации слУчайного пРоцесса в момент вРемени гг примут значения, лежащие в интервале (х, х+ дх).
Информация, которую можно извлечь из одномерной плотности, недостаточна для того, чтобы судить о характере развития реализаций случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений можно получить, располагая двумя сечениями случайного процесса в несовпадающие моменты времени г, и г,.
Возникающая при таком мысленном эксперименте двумерная случайная величина (Х(г,), Х(г,)) описывается двумерной плотностью вероятности р(хг, х„г,, 1,). Эта характеристика случайного процесса позволяет вычислить вероятность события, заключающегося в том, что реализация случайного процесса при г = г, проходит в малой окрестности точки х„ а при с = г, — в малой окрестности точки х,. Естественным обобщением является и-мерное сечение случайного процесса (и > 2), приводящее к и-мерной плотности вероятности р(х„х„.,х„, гг, г„...,г„). Многомерная плотность вероятности случайного процесса должна удовлетворять обычным условиям, налагаемым на плотность вероятности совокупности случайных величин (см. З 6,2).
Помимо этого, величина р(х„хп...,х„,г„гз, „г„) не должна зависеть от того, в каком порядке располагаются ее аргументы (условие симметрии). Иногда вместо л-мерной плотности вероятности удобно пользоваться и-мерной характеристической функцией, которая связана с соответствующей плотностью преобразованием Фурье: О (о , о , " , о., г , гз,..., 1.) = )" р(х„хц,х„, гы г,,...,г„)ехр[у(о,х, + 6.3.
Случайные пропеееы 157 дисперсия случай- ного процесса Ф функция корреля- ции стационарность в широком н узком смыслах ( Я(т) ) < и (О) = аг. (6.41) [(х(с) — т) — (х(с + т) — т)3 ) О есть среднее значение процесса Х(с) в текущий момент времени с; усреднение проводится по всему ансамблю реализаций процесса. Дисперсия о'(с) = [х(с) — т(с)3г = [ [х(с) — т(с) 3гр(х, с) дх (6 37) позволяет судить о степени разброса мгновенных значенийс, принимаемых отдельными реализациями в фиксированном сечении с, относительно среднего значения.
Двумерный центральный момент Я (с|. |г) = [х(сс) — т(сг)Д [х(сг) — т(сг)3 = = Ц [х(с,) — т(С~)3[х(сг) — т(Сг)3Р(хо ха,с|,гг)с)ха с(хг (638) называется функцией корреляции случайного процесса Х(с). Эта моыентная функция характеризует степень статистической связи тех случайных величин, которые наблюдаются при с = с, и с = с,. Сравнивая формулы (6.37), (6.38), заметим, что при совмещении сечений функция корреляции численно равна дисперсии: я(с, с )/ — |гг(с) Стацаонарные случааиые процессы. Так принято называть случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях. Говорят, что случайный процесс стационареп а узком смысле, если любая его и-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временнбго сдвига т: р(х„...,х„, с„...,с„) = р(х„...,хы с| + т,...,с„+ т). (6АО) Если же ограничить требования тем, чтобы математическое .
ожидание т н дисперсия а~ процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности т = ) с, — с| ), т. е. сч(с„с,) = Я (т), то подобный случайный процесс будет стассионареп в широком смысле. Понятно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. Как следует из определения, функция корреляции стационарного случайного процесса является четной: г((т) = Я(-т). Кроме того, абсолютные значения этой функции при любых т не превышают ее значения при т = О: Метод доказательства таков: из очевидного неравенства Случайные сигналы, являющиеся типичными реализациями стационарныхх случайных процессов, составляют широко распространенный класс случайных колебаний, важный для радиотехники Глава б. Основы теории случайных сигналов следует, что [х(г) — ш22 — 2 (х(г) — ш1 (х(г + т) — ш1 + (х(г + т) — ш12 = = 2оз — 2Я(т) ) О, откуда непосредственно вытекает неравенство (6.41).
Часто удобно использовать нормированную функцию кор- реляции г(т) = К (т)/оз, нормированная функция корреля- ции (6.42) для которой г(0) = 1. Чтобы проиллзострировать понятие стационарного случайного процесса, рассмотрим два примера. пример 6.5. случайный процесс 11(г) абразпвая реализациями вида и(2) = У„саз(воз+ ф), гле 11 и во извегтяы заранее, в пю врвлья яах фазовый угол ф — случайная величина, равномерно распределвяиая на пврвзяв — к < ф < я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
