Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Без ограничения общности положим, что математическое ожидание исходного процесса [л„= О (если это не так, всегда можно пе(зейти к новому процессу У ([), реализации которого г (т) = х ([) — л[„). Воспользуемся тем, что [!х . х([+ Ь!) — х([) — = 1!т [)[ ас -о Ь[ и представим функцию корреляции производной таким обра- зом: )1.(т) =у([)у([+т) = х([+ [з[) — х([) х(т+ т+ А[) — х(г+ т) = !пп а[ о Лт [з[ 1 = 1пп, (х ([ + Лг) х ([ + т + Лт)— а~ о ([З[) — х([+ [з[) х([+ т) — х(т) х([+ т + Лт) + х(т)х([+ т)]. Требование сходимости в среднеквадратическом смысле является менее жестким по сравнению с классическим критерием сходимости детерминированных последовательностей.
Подобным же образом определяют понятие непрерывности случайного процесса. Счи~ают, что случайный процесс Х([) непрерывен в точке [ = го, если справедливо предельное равенство сходимость в сред- пеквадратическом смысле Заметим, что средние значения произведений зависит только от модуля разности аргументов сомножителей, поскольку процесс стационареи 172 Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Все четыре слагаемых в квадратных скобках представляют собой функции корреляции исходного процесса, вычисленные при различных величинах задержки. Легко видеть, что 1 й (т) = ))ш — (2Я„(т) — Гч„(т — *г) — Я„(т+ Лг)), м е (дг)г Можно заметить, что правая часть последнего равенства представляет собой вторую производную функции Я„(т), взятую с обратным знаком. Таким образом, приходим к фор- муле А решите задачу 7 (7.21) условие 7вафферен- цнруемости случай- ного процесса Простое вычисление показывает, что.
первая производная этой функции ,гогтехр(,т), т>О, й (т) г -еегеугт ехр(т), т < О в нуле непрерывна, поэтому функция корреляции (7.22) отве- чает днфференцируемому процессу. Несомненно, что реализации любых случайных сигналов, с которыми приходится встречаться в технике, всегда доста- точно «гладкие» для того, чтобы быть дифференцируемыми.
Однако в теоретических исследованиях часто возникают ма- тематические модели, соответствующие недифференцируемым процессам. Как правило, это имеет место тогда, когда реализации случайного процесса образуются из очень боль- шого числа малых независимых слагаемых. Несмотря на то что вклад одного такого слагаемого (например, импульса тока от движения отдельно взятого электрона) ничтожен, именно эти слагаемые определяют «тонкую структуру» реа- лизации. Как следствие, реализации такого процесса могут приобрести вид функции, всюду непрерывной, однако ни в одной точке не дифференцнруемой.
А ренате задачу 8 Подобным свойством обладают реализации так называемых непрерывных марковских процессов Дифференцируемые и иеднффереицируемые случайные процессы. По определению, случайный процесс Х(г) является диффереицируемыяе, если его производная имеет конечную дисперсию. В соответствии с (7.21) дисперсия производной оуг = -В„"(О) = — огг" (О). Поэтому для дифференцируемости случайного процесса необходимо, чтобы вторая производная его функции корреляции в нуле была конечной величиной, а значит, первая производная этой функции в нуле — непрерывной.
Недифференцируемым является случайный процесс с функцией корреляции вида пгехр(-ег)т 1), рассмотренный в примере 7.1. Дифференцируя эту функцию один раз, убеждаемся, что производная в нуле изменяется скачком на величину 2пго„ В радиотехнике часто рассматривают случайные процессы с функциями корреляции вида й (г) = а г (1 + а ) с !) ехр ( — а 1 т () . (7.22) 173 7д. дифферевцвровввяе в ввтегряровввие свучваиых процессов (7.23) а„= — ~ а И» (а) с(а с со.
г 2л о'г = — в егг с(а = Иеаг((3л), 2л откуда й„„ (т) = й„' (т) . (7.24) Спектральная плотность мощности производной. Найдем связь между спектрами мощности исходного процесса и его производной. Пусть задано соответствие Х(г)» Ив(а). По теореме Винера — Хинчнна функция корреляции исходного процесса Ю Я„(т) = — ~ И'„(а) ехр ()ат) Йо . 2л 0 На основании формулы (7.21) функция корреляции произ- водной )с„(т) = — ~ а И',(вг)ехр(/ат)с(а„ 2л откуда получается искомая формула связи Иг( ) гИ, ( ) Примечательно, что в спектре мощности производной наблюдается уменьшение низкочастотных и увеличение высокочастотных составляющих. Формула (7.23) позволяет судить о дифференцируемости процесса Х(г), исходя из свойств его спектра мощности: указанный случайный процесс дифференцируем, если О Так, для случайного процесса со спектром мощности низкочастотного вида (см, пример 7.3) дисперсия производной позтому такой процесс дифференцируем. Корреляционная связь между случайным процессом и его производной.
Во многих задачах статистической радиотехники существен вопрос вероятностной связи между мгновенными значениями случайного сигнала и его производной. Для ответа на него вычислим функцию взаимной корреляции й„„(т) случайных процессов Х (г) и У(г) = ЙХ/с(д проведя усреднение: г) г( я„„ (т) = х (г) у (г + т) = х (г) — х (г + т) = — х (г) х (с + т), с17 с(т здесь принято во внимание, что оба рассматриваемых случайных процесса стацнонарны и имеют нулевые средние значения 174 Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Как известно, функция )1„(т) всегда является четной. Если же процесс днфференцируем, то при т = О производная й„'(т) обращается в нуль. На основании (7.24) отсюда следует, что мгновенные значения такого случайного сигнала и его производной, взятые в один и тот же момент времени, являются некорреяироеанными.
Еще более сильное утверждение справедливо применительно к гауссовым случайным процессам: здесь случайный сигнал и его производная статистически незаеисимн. Интеграл от случайного процесса. Будем называть случайнь<й процесс Е(г) определенным интегралом с переменным верхним пределом от случайного процесса Х(е), если между реализациями г(г) и х(г) имеется соответствие вида г (1) = ) х (») Й». о искоррелироввиность случайного процесса и его про- изводной Физически это означает, что сигналы я(е) наблюдаются на выходе идеального интегратора, причем входные сигналы х(г) начинают поступать в нулевой момент времеви.
Если процесс<Х(е) стационарен н имеет постоянное среднее значение т„, то математическое ожидание сигнала на выхоле интегратора т, (<) = ) х (») д» = т„г. о Случайный сигнал нв входе Таким образом, условие т, Ф. О сразу приводит к нестационарности случайного процесса Е(г). Однако даже при нулевом математическом ожидании входного процесса сигнал на выходе интегратора будет представлять собой реализацию нестационарного случайного процесса. Чтобы убедиться в этом, вычислим функцию корреляции интеграла: нн В (с 12) ( 1 х (») х (т)) е(» е( ч оо ни оо оо Если процесс Х(<) стационарен, то аргумент функции корреляции, стоящей под знаком интеграла в последней формуле, будет представлять собой разность т) — », поэтому и ив выходе ин- тегратора й,(П, <,) = ) )й„(<) — ») 6»е(т) . (7.27) оо Поскольку правая часть формулы (7.27) зависит непосредственно от П и вь а не от их Разности, слУчайный пРоцесс на выходе интегратора является нестационарным.
Нестационарность интеграла от случайного процесса имеет глубокий физический смысл, свидетельствуя о безграничном 175 уд. днфференцнроаанне н интегрирование случайных процессов Нестацнонарный случайный процесс, получаемый путем интегрирования белогошума,принято называть случайным процессом Винера Положительный выброс 0 с г+ас ее Р = ) с(х' ) р(х, х')с(х = Лг 1 р(хе, х')х'с(х'. (7.28) а,— а~ То, что зта вероятность пропорциональна длительности интервала Ль указывает на следующее: величина н(ха)— среднее число положительных выбросов на уровне ха, проис- астании флуктуаций на выходе идеального интегратора, что связано с эффектом их накопления.
',Сходные задачи часто встречаются в различных областях физики. В качестве примера можно привести известную проблему одномерного случайного блуждания точки (броуновского движения) (211. Здесь материапьная точка, выходя из начала координат и получая равновероятные толчки в двух противоположных направлениях, в среднем остается на месте, однако величина ее отклонения от среднего положения неограниченно нарастает во времени.
Задача о выбросах случайных процессов. В статистической радиотехнике большой интерес представляет следующая проблема, тесно связанная с дифференциальными свойствами случайных процессов. Предположим, что реализациями случайного процесса Х (г) служат достаточно «гладкие» функции времени. Требуется определить, сколь часто зти реализации пересекают некоторый фиксированный уровень ха. Такая проблема естественно возникает, например, при анализе ломехоустойчивости радиотехнических устройств, находящихся под воздействием случайных флуктуационных или импульсных помех.
Событие, состоящее в том, что реализация х(г) пересекает заданный уровень хс «снизу вверх», называют нонолсительным выбросом процесса Х(с) иа уровне ха. Решим простейшую задачу — найдем среднее число положительных выбросов, происходящих в единицу времени. Для этого мысленно выделим на временной оси с малый интервал длительностью Лг. Считая, что процесс Х(с) стационарен и непрерывен, всегда можно указать столь малое время Лг, что в пределах этого интервала либо не будет ни одного положительного выброса, либо он будет единственным. Найдем вначале вероятность элементарного события, заключающегося в том, что за время Лс происходит один положительный выброс. Для э~ого заметим, что единственный положительный выброс возникает в том случае, если: а) х(г) < хс; б) х(с+ Лг) > хс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
