Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Но, поскольку х(г+ Лг) са аа х (с) + х'Лг, условие б) означает, что хс — х'Лс < х (с). Таким образом, единственный положительный выброс в пределах интервала времени Лг произойдет, если реализация случайного процесса будет иметь здесь положительную производную (х' > 0), удовлетворяя неравенству ха — х'Лс < х (г) < хе. Вероятность Р этого события легко взнчислить, зная совместную двумерную плотность вероятности р(х, х') процесса и сто производной, относящуюся к одному и тому же моменту времени: 176 Глава 7. Корреляционная теория случайных пропсссов ходящих в 1 с, выражается формулой (7.29) (7.30) (7.3 1) (7.32) (7.33) квазичастота Пронзводнаи, полу чаемаи путем линейных операций над исходным процессом, также нор- мальна Квазичастота мо- жет быль определе- на только дли днф- ференцируемого случайного процес- са Выбросы гауссовых процессов.
Вычисления по формуле (7.29) значительно упрощаются, если процесс Х(г) является гауссовым. При этом мгновенные значения реализации и ее производной в совпадающие моменты времени статистически независимы, поэтому р(хо, х') = р, (хо)рг(х'). Объединив формулы (7.29) и (7.30), находим Ю л(хо) = рг (хо) гг рг (х) х с(х . о Будем полагать, что функция корреляции исходного процесса л„(т) = огг„(т) известна. Тогда дисперсия производной о'„= — о„'г" (0), откуда следует формула для плотности вероятности производной: Сг Г ° (О 1 2 .'(-Ссг~' Элементарные выкладки приводят к результату Г 1 рг(х)х ((х О г/ г (О) )/2я подстановка которого в (7.31) дает окончательную формулу для вычисления среднего числа положительных выбросов стационарного гауссова процесса: Квазичастота стационарного случайного процесса.
В б 7,1 отмечалось, что реализации некоторых случайных процессов изменяются во времени квазипериодически. Числовой характеристикой, отражающей темп колебаний, может служить квпгпчпстотп, определяемая как среднее число пересечений нулевого уровня. Согласно (7.33), квазичастота гауссова процесса п(0) = - — — * 1/-.ДО) целиком определяется поведением функции корреляции в нуле. Поскольку -г,",(0) =ог7аг, а дисперсия производной выражается через односторонний спектр мощности процесса Х(г): Ю пг ) с гР (го)с(со о (7.35) Пример 7.4. Кеазичастота стационарного гауесоеа процесса с ограниченным низкочастотным гнектром (см. пример 7.3). Здесь ) в'Е„(в) <$в = Р'ев',/3, о„= )г К~о~,. е Подставляя зтп выражения в формулу (7.35), получаем н(0) = пи гв 2л )ггЗ )ггЗ Этот интересный результат нельзя усмотреть непосредственно.
9 7.3. Узкополосные случайные процессы В радиотехнических приложениях исключительную роль играет особый класс случайных процессов, спектральная плотность мощности которых имеет резко аыралсенный максимум вблизи некоторой частоты ве, отличной от нуля. Ниже исследуются статистические свойства подобных узкополосных случайных процессов. Рассмотрение ограничено случаем гауссовых процессов, часто встречающихся на практике. К тому же именно для гауссовых процессов удается получить ряд важных результатов, не выходя за рамки корреляционной ~сории. Функция корреляции узкополосного случайного процесса.
Рассмотрим стационарный случайный процесс Х(г), односторонний спектр мощности которого Г(в) концентрируется в окрестности некоторой частоты в, > О. По теореме Винера — Хинчина функция корреляции данного процесса й(т) = ) Р(в) соввтбв. е Мысленно сместим спектр процесса из окрестности частоты ве в окрестность нулевой частоты, выполнив замену переменной аз = ва + й.
Тогда формула (7.36) приобретает вид Спектр мощности узкополосного случаиного процесса В(т) = )г Р(ве + ())сов Е(ве + Й) 7ч 3г((). (7.37) В соответствии с исходным предположением об узкополосности процесса Х(г) его спектр мощности Г(в) исчезаю- | 7.3. Узкополосные случайные процессы 177 формула для квазичастоты может быть записана в виде, эквивалентном (7.34): решите задачу 9 п(0) Ц ги ( 2ко„Ц е 178 Глава 7, Корреяяпнонная теория спучааных процессов Заметим, что функции и(т) четна, а функции Ь (т) не- четна шс мал на насестах, близких к нулю. Поэтому в выражении (737) можно заменить нижний предел интегрирования нн —.с.
ис внося ощутимой погрешности, и записать функцию корреляции в виде !е~а~-о~у, -Яе=,Я (7.38) !де х н(т) =- ) К(соя+ Й)соа12тс(12, Ыт) -" )" Ь(<~о+О)ппПтбП вЂ” медленно меняющиеся функции аргумента т. Особенно простой функция корреляции узкополосного случайно~ о процесса получается в случае, когда спектр мощное~и К(о>) симмсщрнчен относительно центральной частоты соа. Прп пом Ь(т) =-О, так что К (т) =- и (т) соа ео„т . (7.39) Здесь коэффициент а(т) играет роль огибающей, которая изменяесся медленно но сравнению с множителем сояозот. Часео бынаез удобным ввести нормированную огнбаюшуиу р (т) функции коррелнции узкополосного случайного процесса, определив ее с помощью равенства и(т) = ы„'р(т).
1 ос да (еп-!ееЯп з (7.40) Типнчнаи функции корреляции узкополосного случайного процесса Опсбающая и начальная фаза. Характерный вид функции корреляции (7АО) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармоническис колебания: х (» = (у (т) соя ( тост + ср (т)], (7.41) у которых как огибающая У(т), так и начальная фаза ср(т) являются случайными функциями, медленно (в масштабе гоо) изменяющимися во времени.
Представим реализацию (7.41) как сумму синфазной и кнадралурной составляющих (см. гл. 5): х(~! = А (ц)соя шоу — В(т) япоуат. Обе алеплитуды А(т) и В(т) являются низкочастотными сигналами, тем более медленными, чем меньше эффективная ширина спектра Лез,е ао сравнению с центральной частотой ио. Введем в рассмогрение случайный процесс У(т), сопряженный с исходным процессом Х(т). Его реализацией является преобразование Гнльберта: Типичпаи реализации узкополосного случайного процес- са 1 ) .х(т)с(т у(х) = к 779 7.3. Узкополосные случайные проаессы Предположение о медленности синфазной А(~) и квадратурной В(г) амплитуд позволяет весьма просто записать выражение для реализации сопряженного процесса, вынеся медленные множители за знак преобразования Гильберта: у (г) = А (г) ейп гссг + В (г) сок геег. (7.43) Отсюда получаем формулы для мгновенных значений реализации огибающей (7.44) и начальной фазы р(г) = ага(А(г)+7В(г)).
(7.45) Свойство нормальности сохраняется при любом линейном преобразовании случайного про- цесса и о стационарности процесса у(г). Вычислим, наконец, функцию взаимной корреляции: Я„„(т) = х (г) у (г + г) = — ~, пС = 1 ( х(г)х(Ц Г+ г — ~ч 1 ( Вк(~ — г) 1 1 В„(ц) к ) т — (г,— с) к )) т — у) которая оказывается равной преобразованию Гильберта от функции корреляции продесса Х(г). Аналогично можно доказать (вывод представляется читателю в качестве упражнения), что Ям (т) = — В„„(т). Статистические свойства сопряженного процесса.
Для дальнейшего анализа свойств огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса необходимо изучить связь между статистическими характерисгиками процессов Х (г) и у(~). Прежде всего отметим, что если х = О, то у также равно нулю. Далее, поскольку процесс Х(г) гауссов, а преобразование Гильберта есть линейное интегральное преобразование, то гауссовым будет и сопряженный процесс У(г).
Как известно, если бк(гс) — спектральная плотность конкретной реализации х(г), то спектр сопряженной реализацлн 5„(го) = -15„(го) зкп (ез). Модули спектральных плотностей 5„(гс) и Яг (ге) совпадают поэтому спектры мощности процессов Х(г) и У(г) одинаковы: И'„(гс) = )г',(ге). Отсюда следует вывод о тождественности функций корреляции: Вк (г) = Вк (т) = ) Р„(ге) сох гет г(ге о 180 Глава 7.Корреляционная теория случайных процессов Итак, В„„(т) = Н1йя(т)] = ] Г„(в) ыпвтс(в. е (7.46) Интересно заметить, что функция й„„(т) нечетна и обращается в нуль при т = О. Поэтому процессы Х (1) и У(г) в совпадающие моменты времени статистически независимы. Формуле (7А6) можно придать удобный вид, выполнив замену переменной в = в, + й.
Тогда Процессы А(г), В(г) линейно связаны с гауссов ыми процессами Х (1), У(г). Поэтому они также являются гауссоными и, если х= =у=О, то А= =В=О х (х(1 + т) сов сне (1+ т) + У(е + т) в1п ве (г + т)] = = Вя(т) сов ват + Я„„(т) в(п вет. (7.49) Подставив сюда выражения функций Ва(т) н В„„(т) из (7.38) и (7.47), приходим к очень простому результату: Вя (т) = а (т). (7.50) Аналогично доказывается, что кв(т) = а(т) (7.5 1) Вяв (т) Ь (т).
(7.52) Положив в (7.50) и (7.51) т = О, имеем ал — — ов —— )" Г„(в) Йв = а„'. О (7.53) Таким образом, дисперсии синфазной и квадратурной амплитуд оказываются равными дисперсии исходного узкополосного процесса. и решите задачу 10 В„„(т) = ] г„(вс+й)в(п(в, +й)таей= = а (т) в(п вет + Ь (т) сов еоет, (7.47) где функции а(т) и Ь(т) определяются в соответствии с формулой (7.38). Коррелювноиные свойства сннфазной н квадратурной амплитуд. Наша конечная цель — найти и изучить статистические характеристики огибающей У(г) и начальной фазы ср(г).
Для этого удобно перейти от реализаций х(г), у(1) к медленно меняющимся во времени реализациям А (г), В(г), которые на основании (7.42) и (7.43) выражаются следующим образом: А (г) = х (г) сов все + у (г) в(п вес В(г) = -х(е) яп все+ у(е) сов вес. Возьмем первую формулу из системы (7,48) и вычислим функцию корреляции процесса А (1). Выполнив элементарные тригонометрические преобразования, находим Вл(т) = (х(е) совв,г+ у(1) в(п все] х 7.3. Узкополосные случайные лронсссы )81 Совместная плотность вероятности огибаиицей я начальной фазьь Достоинства метода, основанного на переходе от узкополосного случайного процесса к его сннфазной н квадратурной составляющим, становятся очевидными, когда требуется вычислить двумерную плотность вероятности р((т, »р).
Эта характеристика, в свою очередь, дает возможность найти одномерную плотность вероятности огибающей г» р%) = ) р ((7, гр) с)оо о н плотность вероятности начальной фазы р(р) = ) р(((. р)б(7 о Используется предположение о том, что спектр мощности симметричен и функция Ь(т) обращается в нуль (7.55) Мгновенные значения амплитуд А(г) и В(г) двумерный гауссов вектор, обе составляющие независимы и имеют одинаковые дисперсии ог.
двумерная плотность вероятности образуют которого Поэтому г Г А'+ В'1 р (А, В) = р (А) р (В) = —,ехр ~— 2ястг ~ 2ог (7,56) Р (ег) = — ~ — гехР ~ — — г~ с)(У. 2я ~ ог ~ 2ог~ о Физически равномерное распределение означает отсутствие какого-либо преимущественногоо значения начальной фазы у отдельно взятых реалц- заций Замена переменной г = (7(о» приводит к следующему результату: »» Р (ср) = — г ехр (- го(2) <)г =— 2я ~ 2я ' о (7.60) Теперь, чтобы получить искомую плотность вероятности р((»', »р), следует выполнить функциональное преобразование, переводящее случайный вектор (А,В) в новую случайную совокупность ((7 гр): А = (7 соз тг, В = (7 гйп»р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
