Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(7.13) (7.14) Пример 7.1. Спектр мощности случайного прическа с экслоненНиальной функиией кпррелянык Пусть процесс Х(0 имеет функцию корреляции вида ))„(х) = ох ехр( — и ) х О с некоторым положительным параметром и. На основания (7.10) ега спектральная плотность мощности И„"(ы) = 2о ~ е "сохыхдх = 2 ух их +их ' о ности прннпипиально невозможно восстановить какую-либо отдельно взятую реализацию случайного процесса.
Олносторонннн спектр мощности. Поскольку К (т) — четная функция аргумента т, то соответствующий спектр мощности И'(ю) представляет собой четную функцию частоты пх Отсюда следует, что пару преобразований Фурье (7.6), (7.7) можно записать, используя лишь интегралы в полубесконечных пределах: И (ю) = 2 ) Я (т) сох Озт от. (7.10) о Целесообразно ввести так называемый односторонний слектр мощности г(ю) случайного процесса, определив его следующим образом: О, ге<0, И'(ю)/п, щ > О. Функция Р(га) позволяет вычислить дисперсию стационарного случайного процесса путем интегрирования по положительным (физическим) частотам: о =)Г(О) = ) г' (щ)д (7.12) о В технических расчетах часто вводят односторонний спектр мощности МЩ, представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц: Г!ри этом, как легко видеть ох = ) )))(Г)х)Г.
о Теорема Винера — Хинчина является важнейшим инстру ментом прикладной теории случайных процессов. Если реализации случайного процесса имеют размерность напряженна (В), то односторонний спектр мощности Л) имеет размерность Вз/Гц Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Односторонний спектр мощности 2 ааг Р„(т) =— я а'+ы График данной функции указывает на то, что спектр мощности рассматриваемого процесса имеет выраженный низкочастотный характер — его максимум наблюдается на нулевой частоте. Пример 7.2. Функция корреляции стационарного сяучайного процесса со спектром мощности гауссова вида. Здесь И»(ы) Иоехр( — ()ыг). Для нахождения функции корреляции применим формулу (7.9): «„(т) — ~ е совет с3ы = — ехр [-т /(40)). ;[ „* Ио г я 2 )/скб о Итак, гауссов характер спектра мощности приводит к функции корреяяции также гауссова вида.
Дисперсия данного случайного процесса ог = Ио/(2)/л~3). Пример 7.3. Функция корреляцин стационарного случайного процесса с ограниченным спектром мощности низкочастотного вида. Пусть процесс Х(г) характеризуется спектром мощности при -со <ы<ыв, И»(оз) 0 вне полосы [ — ти ы,). 0 По формуле (7.9) находим функцию корреляции: ов И»ом» в(им,т «» (т) = — со в сот дев к и ы»т о Дисперсия этого случайного процесса ог = «(0) Игооэ»/к.
Если воспользоваться односторонним спектром мощности р„(ы) Ро Ио/Я пРи Опт<аз„ 0 вне полосы [О, ы»), то формула для дисперсии приобретает легко запоминающийся вид произведения спектра мощности иа полосу частот, занимаемую сигналом: о„' роы,. Интересно и важно отметить, что функция корреляции данного случайного процесса знакопервменна, причем знак изменяется при сленгах т, кратных величине н/со,. Среднее значение произведения х(г)х(г+ с) будет вначале положительным, затем с увеличением т отрицательным, вновь положительным и т. д, Такое свойство функции корреляции говорит о квазипериоднчноапи любой реализации этога случайного процесса, понимаемой, конечно, не в абсолютном, а в вероятностном смысле.
Кввзипериодичеекви реализвции 7.1. Спектральные представления ствпнонврных случайных лронессов 169 (7.15) 0 ь Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка т,. Однако попытка прогнозирования на время, существенно превышающее интервал корреляции, окажется безрезультатной — мгновенные значения, столь далеко отстоящие во времени, практически некоррелнрованы, т.
е. среднее значение произведения х(1) х(г+ т) стремится к нулю. Эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией Е (сл) — односторонним спектром мощности, причем Г„.„— экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна н равна г" „в пределах эффективной полосы частот Ьсл,е, выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов: Ю Е Лсл,е = ) Е(в)дсл.
о Площади обеих фи- гур равновелики А решите задачу 4 Вне пределов ука- занной полосы спектральнаяплот- ность мощности случайного процес- са считается рав- ной нулю Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра: А решите задачу 5 (7.16) Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчета дисперсии шумового сигнала: ох = = Рв,„деу,е. Например, если известно, что Р „= 5 10 в В' ° с, Лю,ф = 3 105 с-1, ос = 1.5 10-3 В2 от уда сред еквадра тическое значение напряжения шума о = 39 мВ.
Эффективную ширину спектра случайного процесса можно определить множеством способов, например, исходя из условия уменьшения значений спектра мощности на границе этого частотного интервала до уровня 0.1г" ы. В любом случае величины т„и Ью,е должны быть связаны соотношением Чем шире спектр случайного сигнала, тем хаотичнее пзменяются во времени его реализа- ции Интервал корреляцнн. Случайные процессы, изучаемые статистической радиотехникой, как правило, обладают следующим свойством: их функция корреляции стремится к нулю "с увеличением временного сдвига т.
Чем быстрее убывает функция Я (т), тем меньшей оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени. Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса, является ! интервал корреляции т„, определяемый выражением 17О Глава 7. Корр«леннона«в теория случайных пропессов неопределенности Лоу,ет„= О (1), вытекающим из свойств преобразования Фурье (см. гл. 2). Белье шум. В радиотехнике так принято называть стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности: И'(оу) = Ио =.сопвГ. (7.17) Термин «белый шум» образно подчеркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих приблизительно одинакова.
По теореме Винера — Хинчина функция корреляции белого шума Ф белый шум )((с) = — ~ е'"'осо = И'об(т) ИО " е 2я равна нулю всюду, кроме точки с =О. Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограничено велика. Белый шум является дельта-коррелированным случайным процессом.
Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени — как бы мал ни был интервал т, сигнал за это время может измениться на любую наперед заданную величину. Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающйй ему физический процесс в природе, безусловно, не существует. Однако это не мешает приближенно заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума. Часто вводят также односторонний спектр мощности белого шума ухе, тйкойх что И' О = Х)р/2 [см. фор вуду (7.13)1 7.2. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов В этом параграфе изучаются свойства реализаций случайных процессов, подвергнутых операциям дифференцирования и интегрирования.
Показано, что дифференциальные свойства случайного процесса определяются видом его функции корреляции. Вероятностная трактовка сходнмости и непрерывности. В теории случайных процессов приходится несколько расширить обычное понятие сходимости последовательности чисел к своему пределу. Так, если (х„) — случайная последовательность, пронумерованная числами натурального ряда, то для ее сходимости не обязательно,'чтобы при т, н- оо величина ) х — х„) всегда была меньше любого наперед заданного малого числа.
7.2. Двфференцяровавво в интегрирование олучаявых процессов 171 Говорят, что случайная последовательность (х„) сходится к некоторому числу х в среднеквадратичесхом смысле, если (7.18) ° [*[О,! — [.О -Г Производная от случайного процесса. Предположим, что реализация х([) случайно~о процесса Х([) подается на дифференцирующее устройство, создаюшее на выходе новую реализацию у(т) =[(х/[
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
