Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Обшепринято оценивать вероятность события относительной частотой благоприятных исходов. Если проведено )Ч независимых испытаний, причем в л из них наблюдалось событие А, то эмпирическая (выборочная) оценка вероятности Р(А), которую можно получить нз этой серии, такова: Р „(А) = л/)Ч. Обычно полагают, что Р„п- Р, если число испытаний Аг-» со Пример бд. Сигнал и па выходе некоторого эяептраппага устройства может принимать лит» два зли«гния» и, = 4.5 В («высокий пате«виляя, сабь»тие А,) и иг = 0.5 В («низкий патепЧиая», событие Аг).
Через равпыг промежутки времепи Т с»»учайным абризам может происходить смена состояний аигпымь». Эксперимент гастаит в мпагакратпам изл»ерепии мгновенного зпа«епия сигнала па выхпде. 1»!пмепты изл»ерепий произвол»пы, однако интергаз пре»»епи между ними зиачип»ел»па превасхадит Т, Предположим, что, проведя 100 независимых опытов, мы 43 раза наблюдали событие А, н 57 раз — событие А,. В соответствии с (6.1) эмпирические оценки вероятностей Р,„„(А,) = 0.43 н Рж„(А,) =0.57. Из данных опыта не следует, что именно такими должны бьжь н теоретические вероятности згнх событий. Скорее всего, экспериментатор выскажет гипотезу о том, что этл события равновероятны: Р(А,) Р(А,) = 0.5.
Однако если такие же эмпирические оденки получаются в серии лз !00000 опытов, то эта гипотеза, ло-внднмому, должна быть отвергнута. ! 234567 А» решите задачу 1 Вероятность. Современная теория вероятностей представляет собой аксноматизированную ветвь математики, обобщившую обширный эмпирический материал, накопленный наукой прн изучении разнообразных случайных явлений. В основе теории вероятностей лежит понятие полного множества «элементарных исходовп или случайных событий й =(А,, Аг,...,А„,...). Символы А, означают всевозможные исходы некоторого случайного эксперимента. Каждому собы- тиюА,ей сопоставлено вещественное число Р(А;), которое называется вероятностью этого события.
Принимаются следующие аксиомы; 1) вероятность неотрнцательна и не превышает единицы: 0 < Р(А») < 1; 2) если А; и Аг — несовместимые собьпия, то Р(А»+ А)) = Р(А,) + Р(Аг); 3) сумма всех событий, содержащихся в й, есть достоверное событие: Р(А,)+ Р(Аг) + ...
+ Р(А„)+... = 1. Глава 6. Основы теории случайных сигналов Фуюгцня распределения н плотность вероятяостн. Пусть Х вЂ” случайная величина„т. е. совокупность всевозможных вещественных чисел х, принимающих случайные значения. Исчерпывающее описание статистических свойств Х можно получить, располагая неслучайной функцией Р(х) вещественного аргумента х, которая равна вероятности того, что случайное число из Х примет значение, равное или меньшее конкретного х: Р(х) = Р (Х «х). случайная величи- на функцию распреде- ления Функция Р(х) называется функцией распределения случайной величины Х.
Если Х может принимать любые значения, то Р(х) является гладкой неубывающей функцией, значения которой лежат на отрезке О < Р(х) < 1. Имеют место следующие предельные равенства: Р( — оз) = О, Р(со) = 1. Производная от функции распределения р(х) = г(Р/ох есть плотность распределения вероятности (или, короче, плотность вероятности) данной случайной величины. Очевидно, что р(х) г(х = Р (х < Х < х + г)х), плотность вероят- ности т.е. величина р(х)г(х есть вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал (х, х + г(х).
Для непрерывной случайной величины Х плотность вероятности р(х) представляет собой гладкую функцию. Если же Х— дискретная случайная величина, принимающая фиксированные значения (х„х,,..., х„,...) с вероятностями (Р „Р,,..., Р„, ...) соответственно, то для нее плотность вероятности выражается как сумма дельта-функций: р(х) = 2 Р;Ь(х — х;). А решите задачу 2 Черта сверху означает операцию усреднения по множеству исходов случайных испытаний (6.2) Следует заметить следующее: наибольший вклад в среднее значение дают те участки оси х, где одновременно велики как усредняемая функция гр(х), так и плотность вероятности р(х). В статистической радиотехнике широко применяются особые числовые характеристики случайных величин, называемые их моментами.
Момент и-го царапка случайной ве- В обоих случаях плотность вероятности должна быть неотрицательной: р(х) > О и удовлетворять условию нормировки в ) р(х)бх = 1. Усреднение. Моменты случайной величины. Результатами экспериментов над случайными величинами, как правило, служат средние значения тех нли иных функций от этих величин.
Если гр(х) — известная функция от х (исхода случайного испытания), то, по определению, ее среднее значение 6.1. Случайные величиаы и их характеристики 145 момент случайной величины (6.3) Математическое ожидание обобщает в вероятностном смысле понятие среднего арифме- тического Простейшим является момент первого порядка, так называемое математическое олсидание т, = х = ) хр(х)бх, (6А) которое служит теоретической оценкой среднего значения случайной величины, получаемого в достаточно обширных сериях испытаний. Момент второго порядка тг =х = 1 х Р(х)йх (6.5) с является средним квадратом случайной величины.
Используются также центральные моменты случайных величин, задаваемые следующей общей формулой: р„= (х — х)" = ) (х — х)"р(х) бх. (6.6) дисперсии Важнейший центральный момент — так называемая диспер- сия ог = рг =(х — х) . -г (6.7) Очевидно, что сгг = хг — 2хх + х' = хг — (х)г.
(6.8) Величина о„, т. е. квадратный корень из дисперсии, называется средним квадратическим отклонением, которое служит для количественного описания меры разброса результатов отдельных случайных испытаний относительно математического ожидания. Равномерное распределение. Пусть некоторая случайная величина Х может принимать значения, принадлежащие лишь отрезку х, < х < хг, причем вероятности попадания в любые внутренние интервалы одинаковой ширины Ьх равны. Тогда плотность вероятности среднеквадратиче- ское отклонение г О, х<х„ р(х) = 1/(»г — х,), х, < х » (хг, О, х>хг.
Функцию распределения находят путем интегрированир: О, х<х„ г (х) = ) р(Ч) с)ч =, х, < х < х„ Э х,— х,' 1, х>хг. А решите задачи 3 и4 личины Х есть среднее значение н-й степени случайной переменной: т„= х" = ) х"р(х) бх. 146 Глава б. Оеяоеы теории случайных сигналов ))математическое ожидание 1 ( х+хг х = — — хс)х = х,— х,2' ' 2 \ естественно, совпадает с центром отрезка [х„хД. Как легко проверить, дисперсия случайной величины, имеющей равномерное распределение вероятности, стг = (хт — х,)'/12. (6.9) Следует обратить внимание на то, что при уменьшении ст график все более локализуется в окрестности точки х=т х-т — !.5 — !.Π— 0.5 О 0.5 !.О !.5 Ряс.
6.!. График сяуссоеой плотности вероятности прн различных значениях параметра а Гауссово (нормальное) распределение. В ~сории случайных си! палов фундаментальное значение имеет гауссова тмоаностль верояаногаи 1 Г (х — а)21 р(х) = — — — ехр~— )/2 ко 2ст содержащая два числовых параметра а и ст. График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке х = а (рис.
6.1). Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: х = а; ст2 = ст2 Функция распределения гауссовой случайной величины 1 Г Г (т — а)21 г (х) = — ! ехр ~ — — — -- ~ с)~. )/ы. 1 Замена переменной г =(9 — тл)/о дает с*- х / х — а 'с г (х) = ехр( — 22/2)с)! = Ф~ ).
(6.10) )/2я Здесь Ф вЂ” хорошо изученная неэлементарная функция, так называемый интеграл вероятностей [151: 1 Ф(х) = ехр(-!'/2)Й. '(/2я 147 (6.11) дх; р (у) = рг(х;) У ! ! (6.! 2) Пример 6.2. Линейное преобразование гиуееовой случайной величины. Пусть у = ах е Ь, причем плотность вероятности Г ( — )') р„(х) — — ех )/2к о 1 2о Так хак )бх/бу) = 1/)а), то на основании (бл]) 1 Г (у — Ь вЂ” гва]! 1 р,(у) = — — хр~-- )/2х о ! а) 'Ь 2аго! Итак, гауссов характер случайной величины прн линейном преобразовании сохраняется.
Величина, полученная в результате такого преобразования, имеет математическое ожидание у = Ь+ гна и дисперсию о! = ага!. решите задачу б 6.1. Случайные величины н их характеристики Рис. 6.2. График функции распределения гауссовой случайной вели- чины График функции г"(х) (рис. 6.2) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от нуля до единицы. Плотность вероятности функции от случайной величины. Пусть У вЂ” случайная величина, связанная с Х однозначной функциональной зависимостью вида у = / (х). Попадание случайной точки х в интервал шириной е)х и попадание случайной точки у в отвечающий ему интервал шириной )е)у) =)/'(х))г)х являются эквивалентными событиями, поэтому вероятности их совпадают: р„(х) дх = р,()') ) е)у ~. Отсюда р„(у) = р„(х) — = р„~Х (уД Дх 1Ф~ йу " 1ф где х =я(у) — функция, обратная по отношению к у=/(х). Если функциональная связь между Х и У неоднозначна, так что имеется несколько обратных функций х, =я!(у), хх кх(у) " хн =Кн(у), то формула (6.11) обобщается следующим образом: ех Используется то, что вероятности несовместимых событий складыва- ются Глава 6.
Основы теории случайных сигналов Характеристическая функция, В теории вероятностей большую роль играет статистическое среднее вида ь О(о) = ехр(/ех) = ) р(х)ен*ь(х, называемое характеристической функцией случайной вели- чины Х. С точностью до коэффициента функции О(о) есть преобразование Фурье от плотности вероятности, поэтому Ю р(х) = — О(о)е И*г(о.
2л (6.14) Опуская элементарные выкладки, приведем некоторые результаты: для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке О < х ( а, О(о) = [ехр(/ао) — 11/(/ао); (6.15) для гауссовой случайной величины с заданными параметрами т, о О(о) = ехр(/то — о~о~/2). (6.16) Располагая характеристической функцией, легко найти моменты случайной величины.
Действительно, так как 60 ( — =/" ~ х р(х)еу*ь)х, ба" то, полагая здесь о = О и сравнивая результат с (6.3), нахо- дим т„= / "Оив(О). (6.17) С помощью характеристической функции удобно также находить плотность вероятности случайной величины, подвергнутой функциональному преобразованию. Так, если у = /(х), то Оз(о) = ехр(/оу) =ехр[/о/'(х)1. Если удастся вычислить преобразование Фурье вида (6.14), то поставленная задача будет решена. а решите задачу 7 Г О„(о) = — ~ ехРОоУосовх)йх = хо(оГУ ), 2я э' где л'о — функция Бесселя первого рода с нулевым индексом. Пример 6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
