Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 27
Текст из файла (страница 27)
делъта-импульсом. Идеальный паласовой сигнал. Исследуем математическую модель сигнала, спектр которого ограничен полосами частот шириной ив каждая с центрами на частотах +во. Если в пределах этих полос спектральная плотность сигнала постоянна: 5о* -во — Лв < в < — во + гав 5()= во — гкв < в < во + ов. О, вне указанных полос, то по аналогии с предыдущим данный сигнал будем называть идеальным налоговым сигналом (ИПС).
Мгновенные значения ИПС найдем, используя обратное преобразование Фурье: 5о * 25обв зшбвг л(г) = — ) сок онйо = — сон вог. (5.6) н я пвг Строя график ИПС, обнаруживаем, что здесь наряду с высокочастотными осцилляциями на частоте во наблюдается изменение во времени мгновенного значения нх амплитуды. Функция з(п(бвг)/(Лвг) с точностью до масштабного коэффициента 25оЬв/н играет роль медленной огибающей ИПС. 121 5.1 Модели сигналов с ограниченным спектром А решите задачу 2 (5.7) Минимально возможный сдвиг, приводящий к ортогонализации, получается при )с = +1: (5.8) Принципиально важно, что удалось не просто добиться ортогональности двух сигналов, Указан путь построения бесконечного ортогонального базиса, который может служить координатной системой для разложения произвольного сигнала со спектром, ограниченным частотой в,.
Графики рассматриваемых сигналов при двух значениях параметра го изображены на рис. 5.1,а,б. 2ерь В момент времени, когда один из сигналов достигает максимума, другие сигналы нз данного семейства проходят через нуль Рнс. 5.1. График двух идеальных низкочастотных сигналов: е — прн ге е!еь,' б — прн [е 2е/ов Теоретически возможный способ получения ИПС очевиден: на вход идеального полосового фильтра, пропускающего лишь колебания с частотами в пределах полосы [ве — Ьв, во + 2гв2, должно быть подано шиРокополосное воздействие вида дельта-импульса. Ортогональные сигналы с ограниченным спектром, Свойство ограниченности спектра позволяет находить интересные и важные классы ортогональных сигналов.
Простейший пример — два ортогональных полосовых сигнала, области существования спектра которых не пересекаются. Равенство нулю скалярного произведения этих сигналов непосредственно следует из обобщенной формулы Рэлея. Менее очевидный способ ортогонализации сигналов с ограниченным спектром заключается в их временном сдвиге. Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала н(г) и о(г). Оба зти сигнала имеют одинаковые параметры 5, и в, (см.
формулу (5.2)], однако сигнал о(г) запаздывает по отношению к сигналу н(г) на время го, так что его спектральная плотность Р(в) = (7 (в) ехр ( — )оно) . Скалярное произведение этих сигналов, вычисленное через спектральные плотности, 5оз е 5озв е)п в го (н, о) = — ) ег г)в= 2л н в,го Скалярное произведение обращаешься в нуль и два одинаковых по форме ИНС оказываются ортогональными, если временной сдвиг между ними удовлетворяет условию говго )сн ()с + 1' ж 2' ' ' ')' Глава 5.
Сигналы с ограниченным спектром 5.2. Теорема Котельникова Владимир Александрович Котельинков— академик, извест- ный советский уче- ный в области ра- диотехники и ра- диофизики вь! так как норма любого сигнала и„одинакова независимо от сдвига во времени. Поскольку Аа Г япз а,г лА~ вв Ю функции и„будут ортонормированными, если А = 1/в,/и. (5.1!) (5.12) Бесконечная совокупность функций ) ае а~в ав (Г )сн/ве) (5.13) н в, (! — )сн/в,) образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением со,. Отдельная функция Бсь (с; а,) называется /с-й отсчетной функь)ией.
Рнд Котельникова. Если з(!) — произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот — в, < в < в„то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова: Ю з(г) = 2, сьЯсь(г; а,). (5.14) ь=- с Коэффициентами ряда служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и /с-й отсчетной функции: сь =(з(!), Ясь(П в,)). (5.15) базис Котельникова т решите задачу 4 В !933 г. В.
А. Котельников доказал теорему, которая является одним из фундаментальных положений теоретической радиотехники. Эта теорема устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.
Построение ортонормированнего базиса. Как бьшо показано, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству в,(г — (сн/а,) являются ортогональнымн. Путем соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормнрованный базис, позволявший разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщенный ряд Фурье. Достаточно рассмотреть лишь функцию 123 5.2. Теорема Котельникова Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении обобщенной формулы Рэлея.
Легко проверить, что /г-я отсчетиая функция в пределах отрезка — в, с ш < ш, имеет спектральную плотность, равную )/и/ш,ехр( — /ойк/ш,). Это видно из сравнения формул (5.3) и (5.13). Тогда, если 5 (ш) — спектр изучаемого сигнала з(г), то 1/я(1 Ъ со = 1/ — 1 — ) 5(ш)ехрЦИяю/ш,Дйо . шв (5.16) Величина в фигурных скобках есть ие что иное, как хо = = в(г„), т. е.
мгновенное значение сигнала в(г) в /с-й отсчетной точке П вЂ” — Йя/шо = /о/(2/о) Таким образом, с„= )/л/ю, з„, (5.17) откуда следует выражение ряда Котельникова: (5.18) И формулировки теоремы Котельникова Теорему Котельникова на основании последнего равенства принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше /и Гп, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2/;) с. соо Фяы~~ыо Л.
но). В предельном случае, когда частота ооо стремится к оз, слева, т. е. Однозначное восстановление сигнала возможно ооо = 1пп(ы — е), о О на кажлый период гармонического сигнала должно приходиться ровно две выборки. Ясли же условия теоремы Котельникова нарушаются и отсчеты во времени берутся недостаточно часто, то однозначное восстановление исходного сигнала принципиально невозможно. Через отсчетные точки можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы -ыо4со4ыо.
Пример 5.1. Дан сигнал з(о) соо(соог+ ио) Выбрав некоторый фиксированный интервал между отсчетами оо, получаем возможность однозначно восстановить по отсчетам любой сигнал, спектр которого не содержит составляющих на частотах выше граничной частоты ыо = я/оо, Ясли ооо < ы„то к рассматриваемому гармоническому сигналу применима теорема Котельникова; отсчетные значения (выборки) данного сигнала 124 Глава 5. Сигнапы с ограниченным спектром Рис. 5.2.
Аппвратурная реализация синтеза сигнала по ряду Котель- никова Однозначное восстановление сигналя невозможно А решите задачу 5 Пример 5.2. Прямоугольный видеоимпульс с единичной амплитудой и длительностью т„не принадлежит к числу сигналов с ограниченным спектром. Тем не менее моду зь его спектральной плотности достаточно быстро (по закону 1/ю) уменьшаетсл с ростом частоты.
Описание такого свтналв двумя отсчетами в начале и в конце импульса будет означать замену исходного колебания сигналом со СПЕКТРОМ, ОГРаНИЧЕННЫМ СВЕРХУ ЧаСтОтОй Юь = и/1„. МатЕМатИЧЕСКал модель этого сигнала такова; всй (ш/1„) в)п [и (с — тн)/ск) пс/т„к (с — т„)/с„ Если же описать импульс тремя рввноотстояшнмн отсчетами, то приходим к аппроксимирующему сигналу, содержащему частоты вплоть до ы, = 2к/т„: 21сс . 2п (с — с„/2) . 2к (с — т„) $1П вЂ” В!П в!и с„ т„ с„ (5.20) 2лс 21с (с — т„/2) 2и (с — с„) с» св си Естественно, что с ростом числа учитываемых членов, т.
е. с уменьшением временпбго интервала между выборками, точность аппроксимации будет повышаться. Аппаратурная реализация синтеза сигнала, представленного рядом Котельникова. Важная особенность теоремы Котельникова состоит в ее конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчетными значениями (рис. 5.2). Пусть имеется совокупность генераторов, создающих на выходных зажимах отсчетные функции Бсь (с; а,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
