Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Рассмотрим для простоты сигнал, промодулированный лишь двумя низкими частотами: и(г) = (/мсоз(аог+ т, хгпй,г+ тгх(пйгг) = = (/ сох(тг х(пйгг+ тг Япйгг) с<насе†— (/ яп(т, е(пй,с+ т, япй,г)х(па,г. (4.35) Положим, что парциальные индексы модуляции т, и тг малы настолько, что можно пользоваться приближенными выражениями для косинуса и синуса: созхае 1 — хг/2; япхсих. Выполнив несколько громоздкие, но вполне элементарные тригонометрические преобразования, представим исходный сигнал в виде суммы и(г) = (/ [1 — (тг + тгг)/43 соваог+ г/гтг(/и[сох(ао+Йг) г— — сох(ого — йг) гз з+ ~/гтг(/ [ссн (ао + Йг) г— — сох(соо — Йг) Г) + г/ьтг (/и [сое(ого + 2й,) с + + сое(ао — 2Й)г~ + '/,т$(/ [сох(ао+ 2йг)г+ + сох(ого — 2йг) 11 + ~/гтгтг(/ [сох(ао + йг йг)г + + сох (ао —.
Йг + йг) г — соз (ао + Йг + Йг) г — сох(ао — й, — й,) 11. (4.3б) Спектральная диаграмма такого двухтонального сигнала изображена на рис. 4.9. Следует обратить внимание на то, что в спектре рассматриваемого сигнала, помимо частот асей„ао+ йг, Глава 4. Модулированные сигналы ссс + с йс 1 ! У У сс асс сса сч ~ +еч ~ ++ р я е б се а с + + У У с м ! Рнс.
4гй Сцектрвдьцая диаграмма сигнала с двухтоввдьвой угловой модуляцией црц малых значениях цврцввяьвых индексов модуляции т,итг е>о з.2Йм о>о+ 2Йг присутствуют так называемые комбииоциониые частоты оь> ~ Й, + Й, с четырьмя возможными знаками. Амплитуды этих составляющих зависят от произведения парциальных индексов модуляции. Можно показать, что в общем случае, когда угловая модуляция осуществляется группой низкочастотных колебаний с частотами Й,, Й„...,Йя и парциальными индексами т„т„...,т„соответственно, спектральное представление сигнала таково: и(Г) = У,„„'~„,'~„...
,"~"„Уь,(тг)гц(тг) "гг (тя) х — — гя-- х соя (0>о + Йгйг + Йгйг + ... + Й кйя) г. (4.3')) Таким образом, при прочих равных условиях спектр колебания со сложной угловой модуляцией гораздо богаче спектра аналогичного АМ-сигнала. Подчеркивая взаимодействие отдельных составляющих модулирующего сигнала, угловую модуляцию, в отличие от амплитудной, иногда называют модуляцией нелинейного >дило. т решите задачу 17 Не следует смешявать термины «нелинейная модуляцию> и «нелинейная электрическая цепы> 4.3.
Снгналы с внутрннмпульсной частотной модул яцнсй В настоящем параграфе будут изучаться спектральные и корреляционные свойства особого класса модулированных сигналов, получивших в последнее время широкое распространение в радиолокации. Этн сигналы отличаются от обычных радиоимпульсов тем, что их высокочастотное заполнение имеет переменную частоту. Чаще всего используется внутринмпульсная частотная модуляция с линейным законом изменения мгновенной частоты во времени. Принцип динкиной частотной модуляции (ЛЧМ). Рассмотрим радионмпульс с огибающей прямоугольной формы. Будем полагать, что частота заполнения линейно нарастает от начала импульса к его концу.
Конкретизируя математическую 4.3. Сигналы с внутриимнуяьсноа модудядисй модель сигнала, предположим, что его длительность равна т„, причем точка у = О соответствует середине импульса, а мгновенная частота изменяется во времени по закону (4.38) в(т) = во+ рг. Здесь во — несущая частота; р — параметр с размерностью с ', равный скорости изменения частоты во времени.
Легко видеть, что за время, равное длительности импульса, девиация частоты Ьв = >т„. К полной фазе сигнала можно добавить постоянный фазовын сдвиг тр . Однако наличие этого сдвига несу- щественно (4.39) Полная фаза сигнала Ф(т) = вот + Нг'/2. (4АО) Итак, будем называть раоиоимиульсом с линейной частотной модуляцией, или ЛЧМ-импульсом, сигнал, представляемый следующей математической моделью: О, г< — т„/2, идчм(г) = 0 соа(в т+ ргт/2), -т„Д < г < т„/2, О, е > 'са/2.
(4.41) Сигнал навлодс Замечательное свойство ЛЧМ-сигналов, определяющее их практическую значимость, состоит в следующем. Предполо- жим, что имеется некоторое физическое устройство, осу- ществляющее задержку сигналов, подаваемых на его вход. Если время задержки зависит от частоты сигнйла, причем с ростом частоты это время уменьшается, то при определенных условиях, подавая на вход такого устройства Л ЧМ-импульс большой длительности, можно добиться сущест- венного «сжатия» его во времени. Этот' эффект обусловлен тем, что на выходе устройства задержки одновременно будут появляться составляющие как более низкочастотные, относящиеся х началу импульса, так и более высоко- частотные, наблюдаемые в его конце, Подробный анализ устройств сжатия, позволяющий оце- ' нить количественную сторону явления, а также выяснить, например, форму выходного сигнала„будет проведен в гл.
16 при обсуждении методов оптимального выделения сигналов на фоне помех. Спектр прямоугольного ЛЧМ-импульса. В 8 4,2 при рас- смотрении спектральных характеристик ЧМ-сигнала, промоду- лированного двумя колебаниями низкой частоты, было по- казано, что спектр тако~о сигнала имеет сложную структуру из-за перекрестного влияния отдельных спектральных состав- ляющих. Все это в полной мере относится и к спектру ЛЧМ-импульса. При дальнейшем изложении этого вопроса будем придерживаться в основном обозначений, принятых в (28Д. На основании модели (4.41) запишем выражение спектраль- ной плотности одиночного ЛЧМ-импульса: Устройстао сжатия Си аы Если потери в устройстве сжатия малы, то амплитуда выходного сигнала может значительно превысить уровень шумов.
Это повышает надежность обнаружения радиолокационным приемняком слабых отраженных сигналов Глава 4. Модулированные сигналы 110 'нР 1/(а) = (/ соа(ва/ + )ггз/2) е / 'й = 'ад и. (' Ц )г/ Ч1 — ехрЯ(во — а)г+ — у й+ 2 аид ы/2 + — ~ ехр ~ — / ~(ва + а) г + — ~ бс а 2 )) (4.42) Спектр в области отрицательных частот может быль получен на основании свойств преобразовании Фурье для вещественных сигналов(см,гл. 2); (/'(-в) = с/" (в) (/(а) = — ехр~ — /' ~ х (/а . (в во) 2 ~ 2р аа/2 х ехр / / а й (4.43) Удобно перейти от переменной г к новому аргументу и, выполнив замену переменной: Проводя вычисления, находим х, (/(в) = — — ехр — У а ехр /' — дх, (4.44) -х, где пределы интегрирования определяются следующим образом: 'нР Анализ этого соотношения показывает, что первый интеграл описывает часть спектральной плотности с резко выраженным максимумом в области положительных частот, близхих к ва.
Второй интеграл ссютветствует части спектральной плотности, сосредоточенной в основном при а <О. На практике интересуются исключительно случаем, когда эффект перекрытия спектров, концентрирующихся при положительных и отрицательных частотах, пренебрежимо мап. Это связано с тем, что полная девиация частоты за время длительности импульса очень мала по сравнению с несущей частотой: )ати "~ ва Поэтому в формуле (4.42) следует вычислять только первый интеграл, дающий спектральную плотность при в > О.
С учетом сказанного, дополнив аргумент экспоненциальной функции в формуле (4.42) до полного квадрата, получим (4.45) (4.46) Фт (то) = -(то — тле)а/(2р) (4.48) (4.50) база сигнала 4.3. Сигналы о виутривмцульсиой модуляцией Нтн ртн — + (от — ото) г (то шо) Х,=- Ха )/ир )/ р Интеграл в выражении (4А4) сводится к комбинации хорошо изученных специальных функций — интегралов Френеля (161: н н С(х) = сов — д~; 5(х) = ~ з1п=д6, кя' Г .
ила 2 ' ~ 2 В результате получаем окончательную формулу для спектральной плотности ЛЧМ-сигнала: Представив зту спектральную плотность в показательной форме: У(гл) = ! У(то)!ехр(/Ф(то)2, можно заметить, что модуль (амплитудный спектр) ~ цтл) ~ = ~ — —" (С(Х1) + С(Ха)]'+ (8(Х,) + 8(Х,)1', (442) в то время как фазовый спектр состоит из квадратичного слагаемого и так называемого остаточного фазового члена 8(х )+ 5(х ) 8 с(х,)+с(х ) (4.49) ЛЧМ-сигналы с большой базой. Численный анализ полученных выражений свидетельствует о том, что характер частотной зависимости модуля и фазы спектральной плотности прямоугольного ЛЧМ-импульса полностью зависит от безразмерного числа В = та/тн = ртан/(2л), равного произведению девиации частоты на длительность импульса и называемого базой ЛЧМ-сигнала.
В практически важных случаях выполняется условие В ъ 1. Спектр таких ЛЧМ-сигналов с большой базой имеет ряд специфических особенностей. Во-первых, модуль спектральной плотности здесь практически постоянен в пределах полосы частот шириной Ьто с центром в точке шо. Соответствующиее графики, рассчитанные по форм ул ам (4 4 1) и (4 49), представлены на рис. 4.10. Интегралы Френеля широко используются в физике при решении задач дифракции волн Глава 4.
Молуиироввиныо сигналы 112 20 Ью оч —— 2 (4.5 Ц т решите задачу 13 ! У(а)1т (4.52) (4.53) Пример 4.4. Прямоугольный ЛЧМ-импульс имеет амнлитуду У„= 20 В, несущую частоту А = !О ГГц и длительность т„= 2 мкс. Дгвиаеия' частоты за время имиулоса Ьу" О.1 ГГц. Оиргдглить асноонмг параметры сигктра такого сигнала. В теоретической радиотехнике поня-. тяе базы применяют по отношению к разнообразным сигналам.При В ~ 1 сигнал называют сложным, прн В лв 1 — простым ооо Ью Ьи юг+в юо ыо+ 2 2 Ьы ыо Ьы вы юо Ьи юк —— ио+в ыо ыо +— 2 2 2 2 Рис. 4.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
