Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 19
Текст из файла (страница 19)
... 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 ... ... 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 ... ... О О О О О О 1 1 1 1 0 ... Дискретная автокорреляционная фунлцяя. Постараемся так обобщить формулу (3.15), чтобы можно было вычислять дискретный аналог АКФ применительно к многопозиционным сигналам. Ясно, что операцию ин~егрирования здесь следует заменить суммированием, а вместо переменной т использовать целое число и (положительное или отрицательное),, 85 З.З.
АЬФ дискретного сигнала указываюшее, на сколько позиций сдвинута копия относи- тельно исходного сигнала, Так как в «пустых» позициях математическая модель сигнала содержит нули, запишем дискретную АКФ в виде (3.29) Данная функция представляетсобой скалярное произведение дискретного сигнала и сгокопии Эта функция целочисленного аргумента и, естественно, обладает многими уже известными свойствами обычной авто- корреляционной функции.
Так, легко видеть, что дискретная АКФ четна: В„(л) = В„( — л). (3.30) При нулевом сдвиге эта АКФ определяет энергию дискретного сигнала: В, (0) = ,'Г ига —— Е„. (3.31) Некоторые примеры. Для иллюстрации сказанного вычислим дискретную АКФ трехпозиционного сигнала с одинаковыми значениями на кажцой позиции: и = (1, 1, Ц. Выпишем этот сигнал вместе с копиями, сдвинутыми иа 1, 2 и 3 позиции: ...00011(000... ...0000111 00... 000001110... ...
0 0 0 0 0 0 1 1 1 Боковые лепестки автокорреляционной функции линейно спадают с ростом номера л, подобно тому, как в случае автокорреляционной функции трех аналоговых видеоимпульсов. Рассмотрим дискретный сигнал, отличаюшийся от предыдущего знаком отсчета на второй позиции: и = (1, — 1, 1). Поступая аналогичным образом, вычислим для этого сигнала значения дискретной автокорреляционной функции: В„(0) = 1 + 1 + 1 = 3, В,(1) = — 1 — 1 = — 2, В„(2) = 1. — 2 — 2 Видно, что уже при и = 3 сигнал и копия перестают накладываться друг на друга, так что произведения, входя- щие в формулу (3.29), становятся равными нулю при л > 3. Вычисляя суммы, получаем В„(0) = 1 + 1 + 1 = 3, В„(1) = 1 + 1 = 2, В„(2) = 1. Глава 3. Эиергетичесяие спектры.
Корреляциоииый яиапиз йб Можно обнаружить, что первый боковой лепесток изменяет свой знак, оставаясь неизменным по абсолютному значению. Наконец, рассмотрим трехпозиционный дискретный сигнал с математической моделью вида и = (1, 1, — Ц. Его автокорреляционная функция такова: В„(0) = 1 + 1 + 1 = 3. В„(1) = 1 — 1 = О, .
В„(2) = — 1. Из трех изученных здесь дискретных сигналов именно третий наиболее совершенен с точки зрения корреляционных свойств, поскольку при этом реализуется наименьший уровень боковых лепестков автокорреляционной функции. Сигналы Баркера. Дискретные сигналы с наилучшей структурой автокорреляционной функции явились в 50-60-е годы объектом интенсивных исследований специалистов в области теоретической радиотехники и прикладной математики. Были найдены целые классы сигналов с совершенными корреляционными свойствами. Среди них большую известность получили так называемые сигналы ('коды) Баркера, Эти сигналы обладают уникальным свойством: независимо от числа позиции М значения их автокорреляционных функций, вычисляемые по формуле (3.29), при всех л М 0 ие превышают единицы.
В то же время энергия этих сигналов, т. е. величина В„(0), численно равна М. Сигналы Баркера удается реализовать лишь при числе позиций М = 2, 3, 4, 5, 7, 11 и !3. Случай М = 2 является тривиальным. Сигнал Баркера при М = 3 был исследован нами в конце предыдущего пункта. Математические модели сигналов Баркера и отвечающие им автокорреляционные функции приведены в табл. 3.2.
Исследовании показали, что не существует сигналов Баркера с нечетным числом позиций, большим 13. Однако до сил пор неизвестно, можно ли построить сигнал Баркера с четним М> 4 Таблица 3.2 Молели сигналов Баркера 3, О, — ! 4, 1, О, — ! 4, — 1, О, 1 5, О, 1, О, ! 7, О, — 1, О, — 1, О, — 1 — 1, О, — 1 !3, О, 1, О, 1, О, 1, О, 1, О, 1, О, 1 5 7 1! 13 Для иллюстрации на рис.
3.7 приведен вид наиболее часто используемого 13-позиционного сигнала Баркера при двух способах кодирования, а также графическое представление его АКФ. 87 3.4. Взаимокорредяционнвя фунвцня 13 -12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 1012 Рнс. 3.7. Снгназ Баркера при М = 13: а — амплитудное впднрпввнне; й — фвзпвое кодирование,' в — ввтпяпрредя- цнонивя фунвпвя Отметим в заключение, что исследование некоторых свойств дискретных сигналов и их автокорреляционных функций, проведенное в данной главе, имеет предварительный, вводный характер. Систематическое изучение этого круга вопросов будет предпринято в гл.
)5. А решите задачу 9 3.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов В ряде теоретических и прикладных разделов радиотехники бывает удобным ввести особую характеристику совокупности двух сигналов — их взаи,иокорредлз)ванную функз)цю (ВКФ), которая единым образом описывает как различие в форме спгналокз так и их взаимное расположение на оси времени. Принцип определения взаимокорреляционцой функции. Обобщая формулу (ЗЛ 5). назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов и(1) и р(г) скалярное произведение вида (3.32) Целесообразность подобной интегральной характеристики сигналов видна из следующего примера.
Пусть, например, сигналы ц(1) и р(О н исходном состоянии ортогональны, так что ) и (1) г (1) ду = О. При прохождении этих сигналов через различные устройства возможно, что сигнал р(1) будет сдвинут оз'носитечьно сипуала п(г) на некоторое время т. Ясно„что ВКФ служит мерой «устойчивостни ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени. Некоторые свойства взаимокорреляциониой функции. Если в формуле (3.32) заменить переменную интегрирования, введя 88 Глава 3. Энергетические спектры, Корреляционный анализ В„„(г) = ) и(х+ т)с(х)с)х. (3.33) Поэтому В„.(с)=В ( — т). (3.34) откуда ! В„„(т) ) < г' и!) ~) с ), (3.35) Прныер 3.7.
Вычислить функцию В„„(с) для случал, когди сигнал и(с) — прямоугольный, а п(с) — треугольный видеоизтульс. Их амилитуды Г) и длительноспю Т одинаковы; в, исходном соспюянии (в опссутствие задержки) сигналы существуют на общем опсрезке времени (О, Т). При О < с < Т рассматриваемые сигналы описываются так: и(с) = Г), п(с) = Г)с)т. Если с > О, т.
е. сигнал п(с) задержан во времени относительно и(с), то Из т В„„(с) = — ) (с — с) дс. Т (И Определив безразмерный параметр Ч = с)Тн проведя элементарные выкладки, приходим к результату: В„,(Ч) =(Г)зт)2)(С вЂ” 2Ч Ч- Чз). (3.3б) Если жр с < О, т. е.
эреугояьный импульс опережает прямоугольный, то (Сз т-Сз~ В„„(с) = — )" (с — ) с)) дс, 0 0 с Т о т — рот откуда В„„(Ч) = (Г)зт)2) (С вЂ” цз). (3.37) функция, вычисленная по формулам (3.3б) н (337), изображена на рис. 3.8. Результаты расчета по формулам (3.32), (3.33) совпадают, поскольку одно н то же взаимное положение сигналов будет достигнуто как прн сдвиге о(1) в сторону запаздывания, так и при сдвиге и(с) в сторону опережения х = г — т, так что с)С = с)х, то, очевилно, возможна и такая запись: В отличие от автокорреляционной функции одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента т: В„, (т) ~ В„, (- т) .
Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их взаимокорреляционная функция ограничена. Это утвержпеняе следует из неравенства Коши — Буняковского: ~ В„,(т) ~ = ) (и, с,)! < )) и )) ~) с, 'г, так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы. Следует обратить внимание на то, что при т = О значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума. 3.4. Взаныокорреляцнонная функлнн 89 о 1 Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью. Выразим ВКФ двух сигналов через их спектральные характеристики.
Методика рассуждений полностью повторяет ту, которая применялась ранее при спектральном представлении автокорреляционной функции одиночного сигнала. На основании обобщенной формулы Рэлея О В„„(т) = (и, о,) = — ) У (оз) )г; (оз) з)оз 2п и, поскольку спектр смещенного во времени сигнала р;(оз) = = 'г'(оз) ехр ( — угот), то В„„(т) = — ) У(из) г'"(оз)е~"'йо. 2к (3.38) Имея в виду, что величина Иг„(оз) = У (оз) 1" (оз) есть взаимный энергетический спектр сигналов и(г) и о(г), определенный в бесконечном интервале частот — хз < оз < со, приходим к выводу: взаииокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парей преобразований Фурье. Обобщение на случай дискретных сигналов. Пусть сигналы и(г) и о(г) заданы в дискретной форме как совокупности отсчетов: (''' и — 1 ио из из н = (.- о- 1 оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
