Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 16
Текст из файла (страница 16)
10. График импульсного сигнала, образованного огрезказси гармонического колебания, приведен на рисунке; Покажите, что спектральная плотность этого сигнала равна нулю как на нулевой частоте, так и на частоте высокочастотного заполнения, Как изменится спектр этого сигнала, если ан приобретет такую форму: 11. Найдите сигнал, изображение которос а (со Г(р) = — —— (у+ х)(р+()) ' Более сложные задания 71 "и Более сложные задания 12. Пусть периодический сигнал описывается функцией времени, которая содержит скачкообразные изменения уровня (разрывы 1-го рода). Покажизе, что коэффициенты ряда Фурье такого сигнала с ростом их номера имеют асимптотику О (1/л) независимо от вила функции.
13. В условиях предыдущей задачи рассмотрите сигнал, у которого разрывы испытывает первая производная, а значение функции непрерывно. Покажите, что в этом случае асимптотика коэффициентов ряда Фурье имеет вид 0(1/л~). 14. Обсудите следующий «паралоксгп если на некоторое время замкнуть коммутатор в цепи то иа нагрузке будет наблюдаться прямоугольный импульс ия(г). Этот импульс складывается из гармонических составляющих, существующик во все моменты времени, в том числе и до начала импульса. Как это согласуется с предположением, что импульс может и не быть создан, хотя гармонические составляющие уже существуют? 15.
Покажите, что спектральная плотность о-фуикции, будучи подставленной в обратное преобразование Фурье, обеспечивает при г = 0 значение сигнала о (0), равное '/з. Указание. Считая частоту ы комплексной переменной, вычислите интеграл — ~ ~яб(е) + — ~без мегоцами теории вычетов. Глава 3 Энергетические спектры сигналов. Принципы корреляционного анализа Представление сигналов посредством их спектральных плотностей позволяет значительно упростить вычисление энергии сигналов, а также создать ряд новых представлений, полезных в самых разнообразных областях радиотехники. 3.1, Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр В гл.
1 была введена фундаментальная характеристика системы двух вещественных сигналов и(г) и о(~) — их скалярное произведение (и, о) = ~ и (г) о (г) й , й Скалярное произведение сигналов и(г) и о(г) можно выразить через их спектральные плотности 0(а) и У(го) с помощью обобщенной формулы Рэлея (2.42): С (и, о) = — — ) () (а) У" (со) да. 2я В равной мере справедливо равенство й — — ()*( ) У( )б 2я поскольку скалярное произведение вещественных сигналов является вещественным числом.
Назовем взаимным энергетическим слекглром вещественных сигналов и(г) и о(г) функцию И„„(а) = и(а) У" (.), (3 3) такую, что О (и, о) = — ) И'„„(а) Йо, 2н (3.4) причем Иг„(а) = )Уо,(а). (3.5) пропорциональное взаимной энергии этих сигналов. Если сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии Е„=(и, и) = ) их(г)й. (3.2) О 73 3.!. Взаимная спектральная плотность Представив спектральные плотности сигналов и(с) и с(с) в виде суммы вещественных и мнимых частей: У (са) = А„(са) + гВ„(ю), Р(ю) = А„(ю) + уВ„(ю), убеждаемся, что взаимный энергетический спектр И:„— функция, принимающая, в общем случае, комплексные значения: Илл(ю) = АкАл+ ВкВл+1(ВкАл АиВе) = = йе Иг„(со) + г'1ш Ит (ю) .
(З.б) Нетрудно заметить, что йе Ит — четная, а 1гп Ит — нечетная функция частоты. Вклад в интеграл (3.4) дает только вещественная часть, поэтому .т решите задачу 1 Наибольший вклад во взаимную энергию дают те частотные области, в которых имеется «перекрытие» спектров сигналов (3.7) Последняя формула дает возможность проанализировать «тонкую структуру» взаимосвязи сигналов.
Более того, обобщенная формула Рэлея, представленная в виде (3.7), указывает на принципиальный путь, позволяющий уменьшить степень связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов необходимо подвергнуть обработке в особой физической системе, называемой частотным фильтрам.
К этому фильтру предьявляется требование: не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся Й пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость коэффициента передачи такого ортаганалиэирующега фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот. Изложенный подход к вычислению скалярного произведения, основанный на понятии взаимного энергетического спектра, имеет прямое отношение к результатам, которые были получены в гл. 1 при вычислении скалярного произведения сигналов, разложенных по элементам ортогонального базиса. Разница, однако, состоит в том, что здесь используется не дискретное, а непрерывное Фурье-представление.
о ! ! Частотная зависимость коэффициента передачи ортогонализирующего фильтра Пример 3.1. Взаимный энергетический спектр двух экепаненЧиальных видеаимпульеав иди»иковой !дорны, следующих друг эа другам с интервалам врелтни св. Положив, что оба импульса имеют единичную амплитуду, эапислем выражения их спектральных плотностей: и(с) =е та(г) сс(т) ! а "!")т е '"" в(г) = е 'С' "со(г — св) ' у(т) = «ь/03 Отсюда нахалам взаимный энергетический спектр ссг ( ) ьи 1( э+ г) (3.8) Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ 74 имеющий вещественную часть йе И'„„(а) соз оно)(аз + аз).
Вели зафиксировать параметр и, опрелеляющий форму сигналов, то частотные свойства взаимного энергетического спектра будут целиком зависеть от времешюго сдвига между сигналами. На рис. 3.! нзображены два характерных графика функции йе И'„„(а). Особый интерес представляет случай, когда произведение що мало, т. е, импульсы существенно перекрываются во времени. Формула (3.8) и график рис. 3.1,б свидетельствуют о том, что взаимный энергетический спектр имеет при этом выраженный низкочастотный характер. Отсюда следует вывод: для того чтобы уменьшить скалярное пронзведение таких сигналов и сделать их лучше различимыми, следует воспользоваться фильтром верхних частот (ФВЧ), который подавляет все колебания с частотами, меньшими некоторой граничной частоты. Быстро изменяющийся фронт импульса образуется за счет сложения высокочастотных составляющих спектра, которые беспрепатственно проходят на выход ФВЧ.
В то же время за счет фнльтрацни низкочастотных составляющих длительность импульса на выходе будет существенно сокращена. Как следствие этого, эффект перекрытия импульсов может быть доведен до приемлемо малой велнчнны, так что импульсы на выходе ФВЧ оказываются блнзкнм к ортогональным. О со Ортогоналиэапин импульсов Энергетический спектр снпщла. Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы и(!) и с(!) считать одинаковыми. Формула (3.3), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид )Р„(а) = (7 (а) У* (а) = ~ У (а) ~ ~.
(3.9) Величина И„'(а) носит название слеюиральиой плон!нос>пи энергии сигнала и(г), или, короче, его энергетического слекглра. Формула (3.2) при этом запишется так: (3.10) эиергетпческпй спектр Рнс. 3.!. Взаимный энергетический спектр двух экспоненциальных вндеонмпульсов: о — ппн ого 'л'1; б — пРи ого «1 формула Рэлея 4 решите задачи 3 и 4 Пример 3.2. Энергетический спектр прямоугольного видео- импульса. Здесь результат получается путем возведения в квадрат спектральной плотности вида (2.20): г г в!и (опв/2) ( „/2)' Соответствующий график приведен на рис. 3.2. Рисунок наглядно показывает, что энергетический спектр данного сигнала имеет наибольшую величину в области низких частот. С ростом частоты вклад от соответствующих спектральных составляющих имеет вемонотонный, колеблющийся характер, однако общая тенденция — уменьшение энергетического спектра по закону обратного квадрата: Ь'„(еэ) гэ (1/вьг) прн оь -ь сс (а яе обратно пропорционально первой степени частоты, как для обычной спектральной плотности рассматриваемого сигнала).
Выражение (3.1!) позволяет проверить формулу Рэлея прямым вычислением. Прежде всего во временной области без труда находим энергию данного видеонмпульса [см. гл. 1): Е„= игт„. (3.12) 3.1. Взаимная спектральная плотность Соотношение (3.10) известно в различных областях физики как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый инт.ервал положительных частот гьсо обеспечивает вклад в общую энергию сигнала, равный гьЕ„= — Иг„(ш') гьш, 1 я где ш' — некоторая внутренняя точка данного интервала.
Подход, основанный на спектральном представлении энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Действительно, энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. В то же время метод преобразования Фурье применительно к самим сигналам основан на том, что комплексные амплитуды, описывающие вклады малых частотных участков, складываются как комплексные числа, характеризующиеся модулями и фазами. Изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию„которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (3.9) энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее фазы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
