Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Спектральная плотность прямоугольного радио- импульса. Для простоты положим начальную фазу нулевой и запишем математическую модель радвоимпульса в виде гр (г) = () '(о (г) — о (à — тн)1 сон ног . Зная спектр соответствующего видеоимпульса [сы. формулу (2.20)1, на основании (250) находим искомый спектр: (т — а~т . (т + а9) т (т + ого) тн 2 2 (2.51) н (т — то) т На рис. 2.9 изображены результаты расчета спектральной плотности по формуле (2.51) для двух харахтервых случаев. В первом случае (рвс.
29,а) импульс огибающей. содержит 1О периодов высокочастотного заполиеивя (тоти = 20х); частота то здесь достаточно высока для того, чтобы избежать «перекрытить Во втором случае (рис. 2.9,6) радионмпульс состоит всего лишь из одного периода заполнения (тот„= 2п). Наложение составляющих, которые соответствуют областям положительных и отрипательных частот, приводит к характерной асимметрии лепестковой структуры графика спектральной плотности радноимпульса. 2.5.
Преобразование Лапласа 61 Рнс. 2тл Графики спектральных плотностей радионмпульса с при- моугольной огибаюгией: а — прн нот„= 20а; а — при нойи 2а 2.5. Преобразование Лапласа Так называется еще один вид интегральных преобразований, который наряду с преобразованием Фурье широко используется в радиотехнике для решения самых разнообразных задач, связанных с изучением сигналов. Понятие комплексией частоты. Спектральные методы, как уже известно, основаны иа том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого 'числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону ехр(~ьзг). Естественное обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплексных экспоиеициальиых сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоиеициальиые сигналы вида ехр(рг), где р — комплексное число: р = о + гго, получившее название комплексной часглогпьь Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал, например, по следующему правилу: х (г) = '/х (ем + ег') (2.52) где р* = а — гго — комплексно-сопряженная величина.
Действительно, при этом :ь~ + -ли х(г) = егн = е" сох ахг. 2 (2.53) В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные веществеииые сигналы. Так, если а =О, ио го ~ О, получаются обычные гармонические колебания вида соа озг. Если же го = О, то в зависимости от знака о получаются либо нарастающие, либо убывающие во времени экспоиеициальиые колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда го М О. Здесь. множитель ехр (сп) описывает огибающую, которая экспоиеициальпо изменяется во времени.
Некоторые типичные сигналы изображены иа рис. 2ЛО. Понятие комплексной частоты оказывается весьма полезным прежде всего потому, что это дает возможность, ие 62 Глава 2. Спектряльные оревстввлення сигналов Рнс. 220. Вещественные сигналы, отвечающие рвзннчным зняченням комплексной частоты прибегая к обобщенным функциям, получать спектральные представления сигналов, математические модели которых неинтегрируемы. Существенно и другое соображение: зкспоненциальные сигналы вида (2.53) служат «естественнымн средством исследования колебаний в разнообразных линейных системах. Эти вопросы будут изучены в гл. 8.
Следует обратить внимание на то, что истинная физическая частота щ служит мнимой частью комплексной частоты. Для вещественной части <з комплексной частоты специального термина не существует. Основные соотношения. Пусть ) (г) — некоторый сигнал, вещественный или комплексный, определенный при г > О и равный нулю при отрицательных значениях времени. Преобразование Лапласа зтого сигнала есть функция комплексной переменной р, задаваемая интегралом: (2.54) Сигнал )(г) называется оригиналом, а функция г (р) — его изображением но Лапласу (для краткости, просто изображением). Условие, которое обеспечивает существование интеграла (2.54), заключается в следующем: сигнал )'(1) должен иметь не более чем экспоненциальную степень роста при г >О, т.
е. должен удовлетворять неравенству КУ'(1) ! < А ехр(аг), где А, а — положительные числа. При выполнении зтого неравенства функция г" (р) существует в том смысле, что интеграл (2.54) абсолютно сходится для всех комплексных чисел р, у которых Кер» а.
Число а называют абсцнссой абсолютной сходимости. Переменная р в основной формуле (2.54) может быть отождествлена с комплексной частотой р = о +уо. Действительно, при чисто мнимой комплексной частоте, когда о = О, формула (2.54) переходит в формулу (2.1б), определяющую Фурье-преобразование сигнала, который равен нулю при г < О. Таким образом, преобразование Лапласа можно рассматрн- 22Ь Преобрвзоввнне Лапласа бз вать как обобщение преобразования Фурье на случай комплексных частот.
Подобно тому как зто делается в теории преобразования Фурье, можно, зная изображение, восстановить оригинал. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье связь между пре- образованиями Ла- пласа я Фурье следует выполнить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной /ш к комплексному аргументу о+уо.
На плоскости комплексной частоты интегрирование' проводят вдоль неограниченно протяженной вертикальной оси, расположенной правее абсциссы абсолютной сходимости. Поскольку при ст= сопя) дифференциал йо =(1)у)с)р, формула обратного преобразования Лапласа приобретает вид с+за у(О -- †, [ Г(р)е"с(р. 2су, (2.55) В теории функций комплексного переменного доказано, что изображения по Лапласу обладают «хорошими» свойствами с точки зрения гладкости: такие изображения во всех точках комплексной плоскости р, за исключением счетного множества так называемых особых точек, являются аналитическими функциями. Особые точки, как правило,— полюсы, однократные или многократные.
Позтому для вычисления интегралов вида (2.5з) можно использовать гибкие методы теории вычетов. На практике широко применяются таблиды преобразований Лапласа, в которых собраны сведения о соответствии между оригиналами и изображениями. Наличие таблиц сделало метод преобразования Лапласа популярным как в теоретических исследованиях, так и в инженерных расчетах радиотехнических устройств и систем. В Приложениях к [6] имеется такая таблица, позволяющая решать достаточно широкий круг задач. Примеры вычисления преобразований Лапласа. В способах вычисления изображений есть много общего с тем, что уже изучалось применительно к преобразованию Фурье.
Рассмотрим наиболее характерные случаи. е -ср-рьк и- Р(р) = ~ е-Сг-кь)сбс Р Рь г ь Пример 2.4. Изображение обобщенного экслоненииильного импульса. Пусть у(с)=ехр(рьс)о(с), спе ре оо+ушь — Фиксированное комплексное число. Наличие о-функцин обусловливает равенство у(с) = О при с < О. Воспользовавшись формулой (2.54), имеем Глава 2. Спектральные представления сигналов Если Йе Р> по, то числитель обратится в нуль прн подстановке верхнего предела.
В результате получаем соответствие ееип (з) 1 (2.56) Р Ро Как частный случай формулы (2.56), можно найти изображение вещественного экспоненциального видеоимпульса: 1 е "а(е) Р+ а (2.57) и комплексного экспоненциального сигнала: е'" 'и (з) (2.56) Р— Дао Наконец, положив в (2.57) а = О, находим изображение функции Хевисайла: е (е) 1 Р (2.59) Пример 2.5. Изображение дельта-функции. Если рассматриваемый импульс возникает в момент времени зо > О, то интеграл (Ь(1 — зо)е "'бз = е "". о Итак, Ь (з го) (2.60) Это изображение определено во всех точках комплексной плоскости Р и нигде не имеет особенностей, кроме бесконечно удаленной точки. Некоторую сложность может представлять вычисление изображения дельта-импульса, сосредоточенного при 1 = О. поскольку неясно, как надо учитывать вклад от обобщенной функции, сосредоточенной на одном из концов области интегрирования.
Дело в том, что в гл. 1 дельта-функция определялась как предел последовательности импульсов, симметричных относительно точки 1= О. Если поступать формально, то в пределах обласпз интегрирования окажется лишь половина такого импульса, что приведет к двукратному уменьшению, интеграла. Для того чтобы этого не произошло, изображение функции Ь(з) определяется как предел !!ш ) Ь(г)е ий= 1, о Оо не зависящий от параметра а.
При таком подходе функция Ь(е) все~да целиком принадлежит области интегрирования, поэтому Ь(з)еь1. (2.61) Дельта-амнульс нрннадлежнт обла- ста 1> О о з г))' Г о))' о — ~ — е не)г ('(г)е " + Р ('(г)е "г)г. бг ~ о)г о о с Изображение производных. Чтобы найти изображение первой производной сигнала, следует выполнить интегрирование по часгям: бз 2.6. Вейвлет-аналвз Легко видеть, что изображение первой производной содержит значение сигнала в начальной точке: — рГ (р) -У(О). бт (2.62) По индукции доказывается формула для изображения производной и-то порядка: бн — )Е~(р) — р" 'Х(О) — рн 'Г(О) — ". " — дР" и (О) - Р" " (О).
(2.63) Возможность учитывать начальное состояние сигнала прп ~ = О позволяет применять метод преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с известными начальными условиями. Основные свойства преобразования Лапласа схожи с описанными свойствами преобразования Фурье [14). 2.6. Вейвлет-йналыз Спектральные методы аыализа, основанные на использовании«тригонометрических базисных систем, вполне адекватны задачам исследования исгналов, близким по характеру некоторым периодическим колебаниям.
Например, отыскивал фурье- представление радиоимпульса, можно заранее утверждать, что частотная зависимость модуля его спектральной плотности будет иметь разко выраженный максимум в окрестности частоты высокочастотного заполнения. Ясли сигнал не имеет четкого периодического характера, то„хотя алгоритм преобразования Фурье и остается полностью в сине, эффективность этого алгоритма в значительной мере падает; не удастся, в частности, сэкономить объем данных за счет перехода от математической модели сигнала во временной области к соответствующей модели в частотной области. Для преодоления этой трудности в последние годы был предложен новый подход, ыа базе которого вознихло целое направление в теории и технихе сигналов, получившее название вейвлет-анализа. Понятие вейвлета. Английское слово »саге(ет можно формально перевести на русский язык словосочетанием «небольшая волна» или «небольшое колебание». Смысл даыного термина — в наглядно-образной форме указать на те требования, которым обязана соответствовать некоторая фушщия гу (г) для того, чтобы приыадлежать к этому классу: график тахой функцви должен осцыллировать вокруг нуля в окрестности некоторой точки на оси О причем сс ) се(г)бг=О; — сс ° норма фувхцнй должна быть конечной: ))гсн) т фл() н 1Л< 3 Рнннс с*нннссннс Нснн нс Глава К Спектральные пралатааланаа сигналов Коикретиый выбор того или иного вейвлета целиком зависвт от характера поставленной задачи и от вида аиализируемого сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
