Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ниже будет показано, что вейвлет-аиализ дает мощное и весьма гибкое средство для пострепия ортоиормировавиых базисов в пространстве сигналов. Двскретвый вейвлет.ввалив. Так называют представление сигналов в виде обобщенного ряда фурье по системе базисных функций, возвиказоппах из некоторого исходисго (порождающего) вейвлета р(з) за счет операции едвиео во времени и изменения временного масиоладо. Бели изучаемый сигнал существует иа отреэхе (О, 7] времевиой оси, то удобно, как зто делалось раньше, перейти к безразмерному времени д з/Т; при такой замене аргумент сигнала будет лежать а пределах отрезка (О, 1].
Для наглядности рассмотрим очень простой, случай, когда порождающим элементом базиса служит вейвяезн Хаора. Это функция существует ва' отрезке (О, Ц и приивмает здесь одно из двух возможных зиачевий: 1, 0<д~1/2; ф(д) = -1, 1/2<д<1. (2. ) Создадвм систему функций согласно следующему правилу: ~Ьд=АФ(~д-/г), (2.65) где А — иекоторая постояииая; /, я — положительвые и отрицательные целые числа, ввпочая нуль.
Можно убедиться в том, что фувкцви рза взаимно ортогоиальвы, т.е. (2.66) Аз ] фа(29-/е)бд=Аа2 З ] да(4)64 Аз2 З 1. Значит 2ез (2.67) Постровв ортоиормироваииую базисиую систему вейвлетов Хаара, можно осуществить представление произвольного сигнала е(г) в виде обобщенного ряда Фурье: если равенства /=зн и й=я ие выполиаются одиовремевио.
Действительно, если /занз, хотя /г-н, то один из вейвлетов целиком размещается иа том отрезке оси 0 где другой вейвлет постояиеи. Это иепосредствевио ведет к обращению в пуль интеграла (2.66). Если /=зн, ио /гзан, то хотя бы одни из сомиожителей, входящих в подыитегральиое выражение (2.66), равен пулю.
Постоявиое число А в формуле (2.65) можно подобрать такам образом, чтобы базисны система вейвлетов стала ортоиормировавиой. Для этого следует воспользоваться определевием энергии сигнала и потребовать, чтобы 2.б. Вейвлег-аввлвз 67 еу,= в(1), 27д1у 27 — -й (2.69) Формально обобщенный ряд Фурье вида (2.68) отличается от изучавшнхся ранее тем, что суммирование проводится не по одному, а по двум нндексам.
Это обстоательство несущественно, так как и однонндексная и двухиндексная системы в равной мере принадлежат одному и тому же классу бесконечных счетных, т.е. перечислнмых множеств. Вейвлст-спектр сигнала, прннвмающего вещественные значения, можно образно представить себе как некоторый «лес» нз вертикальных отрезков, размещенных на /Ьплоскостью в точках с целочисленными коордвнатами. При этом координата / указывает на скоросп* изменения сигнала, а координата К вЂ” на положение вдоль оси времеви. Вейвлет-преобразование. Наряду с разрывными фующиями, подобными рассмотренным выше вейвлстам Хаара, можно пользоватьсв и непрерывными вейвлетами, построив на вх основе полные аналоги преобразований Фурье нли Лапласа.
Примером такой фувхцин может служить хорошо изученный вейвлег ф (х) =(х'-1) ехр (-х'/2), (2.70) Явлкюшв1гйса втоРой пРоизвоДной гаУссова импУльса ехр(-х /2). Из-за характерного вида графика этой функции (рис. 2.11) ее в литературе образно называют «сомбреро» (мексюсанская шляпа).
0,5 о.з ~Щ 1 Рвс. 2.11. Вейвлет «сомбреро» Подобно дискретным вейвлетам Хаара, непрерывные вейвлеты можно масштабировать по длительности (т.е. сжимать и растягивать), а также перемещать вдоль оси времени. В результате приходим к вейвлегам, которые зависят от двух числовых параметров а и Ь: гаь (Г) — т /~д~ а ' (2.71) СО СО с в(Г)= ~ ); ~дсдф(27 — — й).
(2.68) 7-- Е--м т На основании формулы (1.29) коэффициент с7« являются скалярными произведениями исходного сигнала и соответствующей базисной функции: 68 Глава 2. Спектральные пренстввпення снгнвпев Множитель 1/,/Яа~ обеспечивает независимость нормы этвх сигналов от выбора масштабирующего числа а. По определению, вейвлет-преобразованием сигнала в(г) является функция двух переменных 1 ю уг Ь\ 1~я(а, Ь) = ) л(Г)Р~ — )бг. (2.72) ч/!ай -ю По своему смыслу аейвлет-преобразование полностью соответствует преобразованию фурье.
Однако здесь ядром интегрального преобразования вместо фушсцни ехр(-згог) служит вейвлет 81 ((г-Ь)/а). Вейвлет локализован как ао временной, так и в частотной областях, что делает рассматриваемый метод весьма подходящим для описания всевозможных импульсных сигнаов, хоторые не обладают четко выраженной периодичностью. Вейвлет-преобразование В;(а, Ь) является фушщией двух аргументов, первый из которых аналогичен периоду осцилляцви (т.е.
обратной частоте), а второй — смещению сигнала вдоль оси времеви. Ясно, что если изучаемый сигнал з(г) представляет собой некоторый одиночный импульс, сосредоточенный в окрестности точки г гв и имеющий длительность т„то его вейвлет-преобразование будет принимать наибольшее значение в окрестности точки с координатами а= с„Ь= г.
Равенство (2.72) при заданной левой части может рассматриватьсв как интегральное уравнение относительного сигнала в(г), Решение этого уравнения дается формулой обратного вейвлет-преобразования 14б): 1 " 1 в (г) — Ц вЂ” 1К (а, Ь) /г,ь Я ба ЙЬ. 1гз,ь1 а' (2.73) Эта формула окончательно устанаалнвает сходство непрерывного вейвлет-анализа и метода преобразования Фурье. В последние годы техника вейвлет-анализа стала с успехом использоваться для решения многнх акгуапьных задач, прежде всего для сжатия и распознавания снгналов. Косвевиым подтверждением ценности этого метода являетси то, что алгоритмы вейалет-анализа достаточно полно представлены в составе шираха растпространенного прикладного пакета МагЫаЬ. Результаты ««Спектральное предппавление сигнала представляет собой разложение его на сумму (конечную или бесконечную) зленентарных гармонических сигналов с различными частотами.
Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье, которые образуются сум.нированием, вообще говоря, бесконечного числа гармоник с частотами, кратными основной частоте повторения последовательности. ««Спектральное представление непериодических, в частности импульсных, сигналов осуществляется путем разложения их в интеграл Фурье. В частотной области непериодический сигнал характеризуется своей спектральной плотностью. Сигнал и его спектральная плотность взаимно связаны парой преобразований Фурье. Вопросы 69 Для существования спектральной плотности в классическом сиысле необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем. <>Ф Спектральная плотность неинтегрируемого сигнала содержит особенность тило дельта-функции.
ФФ Переход к комплексной частоте е преобразовании Фурье приводит к новому виду линейных интегральных преобразований — преобразованию Лапласа. Сигналы, преобразуемые ло Лапласу, должны обращаться в нуль лри г ( Р. СУ(У Вейвлет-анализ даегл возможность э(б(ректиено исследовать сигналы. ие обладающие четко выраженной периодичностью. Вопросы Задачи 1. Покажите, чта ряд Фурье пилообразного колебания 2. Найдите амплитудный коэффициент 25-8 гармоники пилообразного сигнала, если А=30 В. 3.
Покажите, что если периодическая последовательность образована повторением импульса зо(г) с известной спектральной плотностью бо (ы), то комплексная амплитуда л-га члена ряда Фурье О 2я 4я С„= (2/Т) 5о (лоч), имеет вид ' з (г) = (А/2) — (А/я) [я) и оз, г + (пи 2оз, г)(2 + ч- (з(п Зы, г)/3 + .
) . где Т вЂ” период последовательности; ы,— основная частота. 4. Дан двусторонний экспоненциальный видеоимлульс 1. Почему простое гармоническое колебание соя(мог 4 фо) играет особо важную роль в радиотехнике? 2, Дайте определение понятия периодического сигнала. Назовите несколько физических процессов, для которых модель периодического сигнала является достаточно точным способам описания. 3, Как определяется понятие угла отсечки гармонического колебания? 4.
Как возникает понятие отрицательной частоты? 5. В чем заключается эффект когерентнаго сложения гармонических колебаний? 6. Какими свойствами обладает спектральная платность вещественного сигнала? 7. Как принято определять длительность импульсных сигналов? 8. В чем состоит характерная особенность спектра дельта-импульса? 9. Как по известным спектральным плотностям двух сигналов вычислить их скалярное произведение? 10. Какова связь между длительностью импульса и шириной его спектра? 11. Как в частотной области отображаются операции дифференцирования н интегрирования сигнала? 12. Как связаны между собой спектральные плотности видеоимпульса и ралиоимпульса? 13. Какай эффект оказывает оперекрьпие» частотных областей в спектре радиаимпульса? 14.
В чем смысл понятия комплексной частоты? 15. К каким сигналам можно применять метод преобразования Лапласа? 16. Какимв характерныьт свойствами должен обладать сигнал длл того, чтобы его можно было вспольэовать н качестве вейв17. Почему суммирование в обобщенном ряде Фурье с ваполгаовавипм вейвлет-базиса проводвтсв не по одному, а по двум вндексам? Глава 2.
Спектральные представления сигналов 70 х(с) = Есо ехр(-и) с ~). Найдите его спектральную плотность. Определите длительность сигнала и ширину спектра. Оценив их, проверьте соотношение неопределенности. б. Вычислите спектральную плотность экспоненциального видеоимпульса [см. (2.21)! с амплитудой 20 В и параметром и = !Оо с ' на частоте ио = 2.10' с 6. На какой частоте спектральная плотность импульса, рассмотренного в задаче 5, будет иметь фазовый угол -45'7 7.
Убедитесь, что спектральная плотность олиночнаго косинусоилального импульса 0 -я(2ИО и/2ИО выражается формулой .с(во+ в) . к(во — и) пп пп 2ио 2ио + И„+ ОС во 5(в) = А 8. Имеется группа (пачка), сосгаяшая из и одинаковых видеоимпульсов; 0 Т Покажите, что спектральная плотность этой группы -слет бх(в) =бо(в) 1 — е тат где Яо(в) — спектр одиночного импульса. У к а з а н и е. Воспользуйтесь формулой суммирования геометрической прогрессии: 1 — г"'' 2, г' ,.О 1- г О„с сс„ О(с) = .4 саа озос, с, ~ с ~ сс, О, с>с, 9. Группа образована тремя одинаковыми дельта-импульсами: — Т 0 Т Покажите, что частотная зависимость модуля спектральной плотности группы такова; ) Бх(в)( = [(! + ОохиТ.с-сО52иТ) С+ (з)п ИТ+ нл 2иТ)')пз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
