Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. допускает изменение порядка следования преобразуемых функций: у(в) яг (т(в) = У (в) «г У(в). Доказанная выше теорема о свертке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения Я(в) = 5,(в)Ях(в), причем Я,(в)~л,(г) н ах(в)~+пи(г), то сигнал х(г)~-+Я(в) является сверткой сигналов з,(г) и хх(г), но уже не в частотной, а во временной области: б (в) 1 х, (г — 1) зх (с) <(г,, А решите задачи 7 и8 (2.41) Элементарное доказательство атой формулы читатель может провести самостоятельно.
2.4. Спектральные плотности неивтегрируемых сигналов Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, позтому метод преобразований Фурье в обычном вице к ним неприменим.
Однако, как указывалось, можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями. Обобшеннан формула Рзлея. Докажем важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов. Пусть два сигнала и (г) и п (г), в общем случае комплекснозначные, определены своими обратными преобразованиями 56 Глава 2. Спектральные лрелстввленнв снгнвлов Фурье: Дж. В. Стретт, л рдР лей(1842— 1919) — крупнейший английский физик, известный своимн работами в области теории колебаний н волн и и(г) = — ( у(оэ)еь" йо, 2к и в(г) = — ) $'(в) е""'йо. 2н Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например е(Г), через его спектральную плотность: (и, в) = ) и (г) р* (г) дг = 0 е = — ) и (Г) 1 ) рв (оэ) е ян йо1 й = 2к Ю = — ( йорв(ю) ( и(г)е ' 'й.
2к (2.42) В математике обобщенную формулу Рэлея называют также равенством Парсеваля нлн теоремой Плаишереля у р собой обобщенную формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.
Обобщение понятия спектральной плотности. Будем считать, что сигнал в(г) представляет собой абсолютно интегрируемую функцию. Тогда его преобразование Фурье Цоэ)— обычная классическая функция частоты. Пусть наряду с этим сигнал и(г) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и в обычном классическом смысле преобразование Фурье У(оэ) не существует.
Однако можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что У (ю) является обобщенной функцией в том смысле, который был установлен в 6 1.2. Для этого в соответствии с обобщенной формулой Рэлея достаточно положить„что У(оэ)— функционал, который, действуя на известную функцию р(ю), дает следующий результат: (У, )г) = 2н (и, в).
(2.43) Приемы вычисления спектров неинтегрируемых сигналов целесообразно рассмотреть на конкретных примерах. Спектральная плотность постоянного во времени сигнала. Простейший неинтегрируемый сигнал — это постоянная величина и(г) = А = сопзк Предположим, что в(г) — произвольный вещественный абсолютно интегрируемый сигнал с известной Здесь внутренний интеграл представляет собой, очевидно, спектральную плотность У(оэ) сигнала и(г).
Поэтому 57 2.4. Спектральные плотности неннтегрируемык сигналов спектральной плотностью Р(а). Раскрывая формулу (2.43) имеем А ((/, Р) =2кА ) о(г)бг. Но, как легко заметить, о(г)г)г = )г о(г)е зо'г)г= )г(0). 12 г О Отсюда на основании фнльтрующего свойства дельта- функции приходим к выводу, что равенство (2.43) возможно лишь при условии, что У(а) = 2нА6(а). (2.44) Физический смысл гюлученного результата нагляден— неизменный во времени сигнал имеет спектральную составляющую только на нулевой частоте. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала. Пусть з (г) = ехр (/аог) — комплексный экспоненциальный сигнал с заданной вещественной частотой ао.
Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, поскольку при г- +со функция з(г) не стремится ни к какому пределу. Преобразование Фурье Я(а).этого сигнала, рассматриваемое в обобщенном смысле, должно удовлетворять соот- ношению Более того, при любых 1 имеет место равенство ~4 = 1 (5, )г) =2и ) о(г)е '""с)г = 2пР(ао). О а, При а,> О Отсюда искомая спектральная плотность У(а) выражается таким образом: (2,45) ао Отметим следующее: 1. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки а =а„где она имеет дельта-особенность. 2. Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки а =О и сосредоточивается в области либо положительных, либо отрицательных частот. Спектральная плотность гармонических колебаний.
Пусть з(г) = сов аог. По формуле Эйлера з (г) = (о " + е л ы)/2. При соо <О Найденный выше спектр комплексного экспоненциального сигнала, а также свойство линейности преобразования Фурье позволяют сразу записать выражение спектральной плот- Ш (2.46) Глава 2. Спектральные прелстввленвя снгнвлов Читатель может легко проверить самостоятельно, что для синусоидального сигнала справедливо соотношение (2.47) Следует заметить, что выражение (2.46) представляет собой четную, а выражение (2.47) — нечетную функцию частоты. Спектральная плотность произвольного периодического сигнала. Ранее периодические сигналы исследовались методами теории рядов Фурье.
Теперь можно расширить представления об их спектральных свойствах, описав периодические сигналы с помощью преобразования Фурье. Пусть з (г) =,'Г С„е~ — периодический сигнал, заданный своим рядом Фурье в комплексной форме. На основании формулы (2.45), принимая во внимание свойство линейности преобразования Фурье, сразу получаем выражение спектральной плотности такого сигнала: (2.48) Соответствующий график спектральной плотности своей конфигурацией повторяет обычную спектральную диаграмму периодического сигнала, График образован дельта-импульсами в частотной области, которые распола~аются в точках с координатами ~пгеы Спектральная плотность функции включения. Вычислим спектральную плотность функции включения о(г), которую для простоты определим во всех точках, кроме точки е =О (ср.
с (1.2)): О, ссО, Заметим прежде всего, что функция включения получается путем предельного перехода из экспоненциального видео- импульса: О , есО, о (е) = 1ппехр(-пе), е > О. и е Поэтому можно попытаться получить спектральную плотность функции включения, выполнив предельный переход при а- О в формуле спектральной плотности экспоненциального колебания: а (г) 1пп 1 е-о а+7гв 2Л. Спектральные плотности неинтегрируеыых сигналов 59 Непосредственный переход к пределу, согласно которому а(1) 1/(/тв), справедлив при всех частотах, кроме значения го = О, когда необходимо более тщательное рассмотрение.
Прежде всего выделим в спектральной плотности экспоненциального сигнала вещественную и мнимую части: 1 а /Ов а+/ОО а +го а +го Можно убедиться в том, что 1пп, = нб(го). а и-0 а +го' Действительно, предельное значение этой дроби при любых го Ф О обращается в нуль, и в то же время | х г(го 1 д (го/а) а + го ~ 1 + (в/и) В литературе иногда встречается неточная запись формулы вида (2.49), состоящая лишь из второго слагаемо- го независимо от величины а, откуда и- следует сделанное утверждение.
Итак, получено взаимно однозначное соответствие функции включения и ее спектральной плотности: а (1) Нб (го) + —. 1 (2.49) /то ' Дельта-особенность при го = О свидетельствует о том, что функция включения имеет постоянную составляющую, равную 1/2. Спектральная плотность радипнмпульса. Как известно, радиоимпульс 1«(1) задается в виде произведения некоторого вндеоимпульса 1, (1), играющего роль огибающей, и неинтегрируемого гармонического колебания; эр(1) 1«(1) поз (гоо1 + гро).
Чтобы найти спектральную плотность радиоимпульса, будем полагать известной функцию 8,(го) — спектр его огибающей. Спектр кпсинусоидального сигнала с произвольной начальной фазой получается путем элементарного обобщения формулы (2А6): соо(гоог+ во)~н [8(10 — гоо) е«е + 8 (го+ гоо) е «««). А решите задачу 15 Спектр радиоимпульса есть свертка Ф Яо (гл) = — |5«(гл — Ь) [б (Р, — гоо) е 1е«+ Ь (г, + гоо) е ««'5 г)Ь. 2 (2.50) Рис.
2.8 иллюстрирует трансформацию спектра видеоимпульса при умножении его на высокочастотный гармонический си~пал. Приняв во внимание фильтрующее свойство дельта- функции, получаем важный результат: Глава 2. Спектральные представления сигналов О б Рис. 2.8. Частотные зависимости модуля спектральной плотности: а — нндеоимпуяьсн; 6 — рндвопыпульсн А решите задачу 10 Видно, что переход от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видеоимлульса в область высоких частот — вместо единственного максимума спектральной плотности при го = 0 наблюдаются два максимума при ш= +то; абсолютные значения максимумов сокращаются вдвое.
Отметим, что графики на рис. 2.8 отвечают ситуации, когда частота шо значительно превышает эффективную ширину спектра видеоимпульса (именно такой случай обычно н реализуется на практике). При этом не наблюдается ощутимого «перекрытия» спектров, отвечающих положительным и отрицательным частотам. Однако может оказаться, что ширина спектра видеоимпульса велика настолько (при коротком импульсе), что выбранное значение частоты гоо не устраняет эффект «перекрытия». Как следствие, профили спектров видеоимпульса и радиоимпульса перестают быть подобными. Пример 2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
