Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала з(~) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты с =(я,и), (2.3) Здесь Т- период сигнала. Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала. Рид Фурье. Зададим на отрезке времени ( — Т/2, Т/2'2 рассмотренный в гл. 1 ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами: ив 1/у' Т, и~ = ')/2/Тя(п 2яг/Т, из = ~/2/Тсоз 2кг/Т, из =')/2/Тя1п 4кг/Т, ив — — '(/2/Тсоа 4пг/Т, и, ')/2/Тз|п бт/Т, 39 (2.4) (2 5) осиовиан частота с коэффициентами 2 тл до = — ) в(г)ог, Т вЂ” тл тд а„= — ) в(г) сов ню,гйг, -тд тд Ь„= — ) в(г)в)пто,гаг. — тд гармоники так что А„= ~/а,', + Ь„'вй ~р„= Ь„/а„. Колебании с номе- рами п=2, 3, обычно называют высшнмн гармони- ками (2.7) м решите задачи 1 н 2 2Л, Периодические сигналы н ряды Фурье получим спектральное разложение в (г) =,Г гоно (В), справедливое на всей бесконечности оси времени.
Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье данного сигнала, Введем основную чаппотяу го, = 2я)Т последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами ю„= ню, (я= 1, 2, 3,, .), кратными основной частоте последовательности.
Каждую гармонику можно описать ее' амплитудой А„ и начальной фазой ~р„. Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде а„= А„сов Ф„, Ь„= А„вш ~р„, Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, эквивалентную форму ряла Фурье: и()) = о + 2 А„сов(нго,в — Ф„), 2 которая иногда оказывается удобнее. Спектральная диаврамма периодического сигнала, Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1). Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены нх амплитуды и начальные фазы. Следует обратить внимание иа то, что энергии периоднческогосигиала неограниченно велика.
Поэтому здесь нужно говорить о мощности сигнала, т. е, об энергии в единицу времени Из формул длн коэффициентов рада Фурье следует, что четный сигнал имеет только косниусоидальные, а нечетвый — только синусоидальные слагаемые Глава 2. Спектральные представления сигналов 1 2 3 а 6 Разные сигналы Рис.
2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического различаютса преж- сигнала; дс ВСЕГО СКОРОСТЬЮ в — амплигулиая; 6 — фвэовая убывания амплитудных коэффици- Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая еитов с ростом но- позволяет судить о процентном содержании тех или иных мера гармоник гармоник в спектре периодического сигнала. Изучим несколько конкретных примеров. юггявэ скважность после- довательности А Г Хч вгп(ня/й) в(г) = — ~1+ 2 у сов ныгг~. лл/й 1 (2.8) Пример 2Л. Рлд ФУрьег,лвриодичвской лослвдованмвьнссти нрямоугольных видеоиынульсов э (г) с известными нараыетраыи т„, Т, А, четной относительно нючки 1 = О.
В радиотехнике отношение Е = Т/тч называют сквалсностыо последовательности. По формулам (2.6) находим ао А 2 я 2А 'вд 2А, тлггч а„= — ) сов те,161 — в!и -гчд ял 2 Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде На рнс. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаяк. Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих лруг за другом достаточно редко (я ъ 1), обладает богатым спектральным составом. а 6 Рнс. 2.2.
Амплитудный спектр периолической последовательности прямоугольных видеоимпульсов: а — нри большой скважносги; 6 — при малой скввжносги Периодические по- следовательности импульсов, исполь- зуемые, например, в радиолокации, имеют значения снважности, дости- гаюп(ие несколь- ких тысяч Принято говорнтйч что спектральная диаграмма рассмотренного вида имеет лепестковую структуру 41 2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье.
ь~' — — (У„совы,г — Уь)дг = 2 Т ь,, угол отсечки — ) (У„совы,г — Уе)б(ы,г) = — "(з)п9 — Эсоз9). 1 У„' . 2и и Амплитудный коэффициент первой гармоники 1 в а, — ) (У„соков,г — У,) совы,ге((в(г) — (Э вЂ” йп 9 сов 9). , вьтйь 2я в )з ьс,:я яв Аналогично вычисляют амплитудына„гармонических состав- ляющих при л 2, 3, ...: 2У„яп лЭ соз 9 — л соз л9 ип 9 и л (нз — 1) Полученные результаты обычно записывают так: ае)2 У„т, (3); а„= У„т„(9), Пге ть(3), ть (9), 7,(9)...— так называемые функции Берга: 1 те(9) = — (япЭ вЂ” Эсовй), Аксель Иванович Берг 11892 — 1979)— академик, крупный советский ученый в области радио- техники Функции Берга часто встречаются в инженерных расчетах.
В Приложениях к книге даны их таблицы. 1 7 ь (3) = — (3 — пи 9 сов 9), и (2.9) 2 вшлйсов9 — лсовл9ипЭ прн л= 2, 3, ... н (л' — ) Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3. 0.75 град О 45 90 135 180 Рис. 2.3. Графики нескольких первых фунхций Берга Пример 2.2. Ряд Фурье периодической лоследоеательнослш имлульсое, образованной гармоническим сигналом вида У„совы,г, ограниченным на уровне Уь (нредлолагаеглся, члю ) Уь) < У„).
Введем специальный параметр — угол оньсечки 3, определяемый из соотношения У„сов 9 = Уь, откуда Э акаев(Уь/У ). В соответствии с этим величина 23 равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере: ыгт„= 29. Аналитическая запись импульса, пороидающего рассматриваемую последовательность, имеет вид з(г) У сова,г — Уь, -9<ез,в<Э. Постоянная составляющак последовательности 5 (г) ~ Сье ь е (2.11) гл С„= — ) з(г)е г пс)г. -тл (2.12) Функции из рассматриваемой системы принимают комплексные значения.
Поэтому прм вычислении скалярного произведения яспользуется операция комплексного сопряже- ния Положительной частоте соответствует вектор, вращаннцийся против часовой стрелки, а отрицательной час. тоте — вектор, вращаинцнйся по часовом стрелке Глава 2. Спектральные прелставлепня сигналов Комплексная форма ряда Фурье. Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько по- иному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями: (не) = — к-к — г, /с=0, +1, ~2, ...
Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом Ти ортонормированы на отрезке времени ( — Т)2, ТЯ, так как (1 при ж=л, (и и„)= ( и пес)г= — )с ел" о" с)х=~ 2п „(0 при лс Ф л. Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид 1 з (г) = — ,'>" с„сг' Ть--е -вп, ляг. с коэффициентами гд с„.= — ) з(г) е-з™ 'с)г. )ГТ -тд Обычно используют следующую форму записи: Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем С „= = С„"'.
В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например: С е~ + С е-г л ~С ~~Ф с+е" + + / С„) е >< " ' е' = 2 / С„) соз (лев, г + ср„). Итак, отрицательная частота — понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел. Изображение периодического сипела на комплексной плоскостн.
Структура ряда Фурье (2.11) дает возможность изобразить периодический сигнал посредством бесконечной суммы врыцающихся векторов на комплексной плоскости (рис. 2.4). Построение осуществляется следующим образом. Из начала координат комплексной плоскости (точка 0) строят вещественный вектор Се, который отображает член с номе- 2.2. Преобразование Фурье Рис. 2.4. Графаческое отобрвжеаяе ряда Фурье в комплексной форме ром л = О.
Затем в формуле (2.11) полагают г =О и строят суммы векторов С+ =Сз+Сз+Сз+..., Ов С- — С-з + С-з + С-3 + отвечающие вкладу слагаемых с положительными и отрицательными частотами. Если ряд Фурье сходится, то кажда из сумм отображается вектором конечной длины. Как указывалось, коэффициенты ряда Фурье с положительными и отрицательными частотами комплексно сопряжены, поэтому вектор Св + С всегда вещественный. Будучи сложен с постоянной составляющей Св, он образует вектор, длина которого равна з(О) — значению сигнала в начальный момент времени. В дальнейшем картина трансформируется — векторы С„ Сь ..., соответствующие положительным частотам, вращают- сЯ с Угловыми скоРостЯми во Фь ... в стоРонУ Увеличениа фазового угла, в то время как векторы С з, С з, ...
вращаются в противоположном направлении. Конец результирующего вектора в каждый момент времени определяет текущее значение сигнала; Такая наглядная интерпретация спектрального разложения периодического сигнала будет использована в последующем параграфе. 2.2. Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Среди последних для радиотехники наибольший интерес представляют импульсные сигналы.
Периодическое продолжение импульса. Пусть з (г) — одиночный импульсный сигнал конечной длительности, Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следующими через некоторый интервал времени Т, получим изу- Дли сходимости ряда Фурье необходимо, чтобы длины символических векторов, отвечающих высшим гармоникам, достаточно быстро уменьшалнсь с ростом их номеров Глава 2. Спсктрапьиыс представления сигналов Я ченную ранее периодическую последовательность з„,р (г), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье О 3„, (г) = 2' С„о а Ф с коэффициентами н периодическая последователь- ность гл С„= — ' (.(г)е-" дг.
Т „з (2.14) С „=А„е зв. С„= А„е«ь, Каждой такой паре отвечает гармоническое колебание А егг ''+в'+ А„е д" '"па =2А„сов(то,г+ пг„) с комплексной амплитудой 2А„е'« = 2С„. Рассмотрим малый интервал частот г5со, образующий окрестность некоторого выбранного значения частоты ас. В пределах этого интервала будет содержаться М = йю/юг = = дгюТ((2л) отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых отличаются сколь угодно мало. Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами 2 2С„= — ) з(г)е жыдг.
Т В физике принято говорить, что при этом наблюдается когерентное сложение гармонических колебаний В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала г5ю: 2М . Ью г5А„ь — — — ) з(г)е янга = — ) з(г)е «выг(г. (2,15) Т л Для того чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения Т. При этом, очевидно: 1.
Частоты соседних гармоник пег и (и+ 1)юг окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах (2.13) и (2.14) дискретную переменную позг можно заменить непрерывной псременной ез — текущей частотой. ~'-2. Амплитудные коэффициенты С„станут неограниченными Йй)гыми из-за наличия величины Т в знаменателе формулы (2.14). Йаща задача состоит теперь в нахождении предельного вг())а формулы (2.13) при Т- со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
