Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2. Энергетическая норма оказывается «нечувствительной» к изменениям формы сигнала, может быть, и значительным, но происходящим на коротких отрезках времени. Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида (1.15) носит название пространства функций с интегрируемым квадратом н кратко обозначается 1.з. Метрическое пространство. Теперь необходимо ввести еше одно фундаментальцое понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.
Говорят, что линейное пространство 1.становится метрическим пространством, если каждой паре элементов и, онЕ, сопоставлено неотрицательное число р(и, о), называемое метрикои, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа ее определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства: 1. Р(и о) = Р(о, и) (рефлексивность метрики) 2. р(и, и) = О при любых инХ.. 27 1.4. Теория ортогопальиьзк сигналов 3.
Каков бы ии был элемент зонг., всегда р(и, с) < < р (и, за) + р (из, с). Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов: (1Л 7) р (и, с) = )) и — с )). Норлзу„в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом: )) и 11 = р (и, О). Зная метрику, можно судить, например, о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует другой. и (г) = У ыо —, 0 < г < Т. кг Т т кг р' (и, и) = ~((зз(п — — А 1 бь Т Е„=и 31 Ып — бг-— зГ зкг (7зТ Т 2 т решите задачу 8 1.4.
Теория ортогональных сигналов Введя в множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и зиетрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами. Это удается сделать, сформу- То, что в точке экстремума действительно достигается минимум, вытекает из положительности второй производной исследуемой функции Прил)ер 1.10. Сигнал и(г) пргдсвавллезп собой отрезок сииусаиды, обращающейся в куль ка концах отрезка [О, Т 3 Высота илтульса 17 известна. Выбрать амплитуду А прямоугольника импульса а(г) вай жг дливельпасти вак, чтобы уасспюяиие между этими двумя сигналами была мипиыальиыль Сигнал и Р) представляется формулой Квадрат расстояния между сигналами о Проведя интегрирование, имеем р'(и, и) = ГузТ7л — 4АУТ)к+ А'Т Исследуя это выражение на экстремум, убеждаемся, что минимум расстояния будет достигнут, если А 217/я т 0.63717.
Пря этом р ь = (7 ТВ72 — 47кз) р и ж 0.3080)ГТ. Заметим, что энергия синусоидаяьного импульса о его норма 1) из = 0,707 ЩГТ Итак, при выбранной метрике минимально достижимое расстояние между рассматриваемыми сигналами составляет 44ллгл .от нормы синусоидального импульса. Глава Е Элементы обшей теории сигналов лировав важное понятие скалярного произведения зле!ментов линейного пространства. Скалирное произведение сипзалов. Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора А и В, то квадрат модуля их суммы )А+ 8)з =) Л ~з+) В)з ч.2(А, И), где (А, В) = ) А ) ) В) сов ф — скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла ф между ними. Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов и и р: В задачах физики скалярное произведение векторов возникает всегда при вычислении работы сил полн при заданном перемещении в простран- стве Е = ) (и+ р)'с)! = Е„ч- Е, + 2 ) нос(!.
э В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны— энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию Е„„= 2 ) иод!, О Сравнивая между собой формулы (1.18) и (1.19), определим скалярное произведение вещественных сигналов и и и: (1.20) Следует отметить, что в соответсзвии с формулой (1.21) угол между двумя сигналами должен лежать в интервале от 0 до 180' а также косинус угла между ними: (и, о) совф =— !! и)~ )) и)! ' Скалярное произведение обладает свойстваыи: 1.
(и, и) > 0; 2. (и, о) = (о, и); 3. ().и, о) = 2. (и, о), где 2. — вещественное число; 4. (и + и, ю) = (и, ю) + (о, зс), Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все пре- дельные точки любых сходящихся последовательностей век- торов из этого пространства, называется веи!естввн!эым гильбер)новы.м пространством Н. Справедливо фундамезпальное неравенство Коши — Буня- ковского ) (и, о) ) < )) и )) ~) р ),'. Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле (1.22) Давид Гнльберт (1862 — 1943) — известный немецкий математик Из, данного неравенства вытекает, в частности, что косинус угла между векторами в пространстве сигналов не превышаетт единицы (и, и) = ) и(!) о*(!)Й, Ю (1.24) такое, что (и, о) = (о, и)*. 29 1як Теория ортогоияпьиых еигняпоя 1 и~ 1 = 1 иг (г 25 ) е г 'о" й 1 25 10-ь В' с о О 2 Скалярное произведение (иь и) = 25) е — !ОМ-ю О" г ьочдг 1023 !О " В' с.
о Отсюда сов О =0.819 н О = 35'. Ортогоиальные сигналы и обобщенные рины Фурье. Два сигнала и и о называются орнюго~альными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю; (и, о) = ) и (г) о (г) й = О. О' принцип ортого- нальности Пусть Н вЂ” гильбертово пространство сигналов с конеч- ным значением энергии.
Эти си~палы определены на отрезке вРемени (гь гг), конечном или бесконечном. ПРелположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функ- ций (ио, и„ ..., и„,,...), ортогональных друг другу и обла- дающих единичными нормами: ~1„если! = ), (иь и!) = (О, если ! и'.71 Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортопормироваппый базис. Разложим произвольный сигнал в(г)еН в ряд: о х(г) = 2 с;и,(г). (1.27) Представление (1.27) называется обобщенным рядом Фурье си~нала в(г) в выбранном базисе.
Коэффициенты данного ряда находят следующим образом, Возьмем базисную функцию и„с произвольным номером )г, умножим на нее обе части равенства (1.27) и затем про- интегрируем результатьг по времени: и и, Два ~аких импульса разнесены во времени и заведомо ортогональны Е::Л г Двв таких импуль- са также ортого- нальны ) х (г) и„(!) г)г =,'! с; ) и!иь й. (1.28) 1=0 и Пример 1Л1. Имеытея два смещенных во времепп экгпопепиаальпых импульса (В): и,(г) = 5ехр( — 10'г)о(г), и,(г] = 5ехр( — 10'(! — 2.10 '))о(г — 2 10 "). Наатп скалярное пропэведепае данных сигналов, а также угол О между ними. Энергии этих сигналов одинаковы; зо Глава 1.
Элементы общей теории сигналов Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (1.28) останется только член суммы с номером с = й, поэтому (1.29) ели На геометрическом языке интерпретация формулы (1.29) такова: коэффициент обобщенного ряда Фурье есть проекция вектора на базисное направление О Т о~~ е. Т (1.30) ! иг, = )сс2/Та!и 2ктЦТ, иг,„= ~/2(Тсоа 2ктс)Т, иг с образует ортонормированный базис. Разложение периодических функций в ряды Фурье по этой системе будет подробно рассмотрено в гл. 2. Ортонорлшрованная система функций Уолсиа. В последнее время под влиянием методов обработки дискретных сигналов большое внимание уделяют ортонормированной систелсе функций Уолша, которые на отрезке своего существования [ — ТС2, ТЯ принима1от лишь значения +!.
Введем безразмерное время Э = с)Т и будем обозначать )с-ю функцию Уолша, как это принято, символом ва!()с,9). Аналитическое описание данных функций довольно сложно (см. Приложения). Однако идею построения этой системы легко усмотреть из рис. !.4, на котором изображены графики нескольких первых функций Уолша.
Очевидна нормированность функций Уолша при любом значении Сс: Сигналы, соответствующие функциям Уолша, легко генерируются с помощью микроэлектронных переключательных схем ссг )Рла! (й, 9) ))г = [ ща!г(/с 9)с)9 = 1 — ссг Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) сне~смой коэффициентов обобщенного ряда Фурье сь Примеры ортенормнрованных базисов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
