Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для этого следует принять во внимание, что пробные функции гр (г) являются финитныьги, т. е, обращаются в нуль вне конечного отрезка г, < г < гз. Тогда производная )' = г1//й обобщенной функции Дг) задаемся функционалом ( /', гр) = Я) гр (г) )" — ( )'(г) гр' (г) й = В качестве примера найдем производную функции Хевисайда а(г), расслгатривая последнюю как обобщенную функцию. Здесь (а', гр) = — (а, гр') = — ( гр' (г) й = гр (О) = (5, гр).
о Позтому йт — = б(г), й (!.14) причем это равенство необходимо понимать именно в смысле теории обобщенных функций, поскольку в классическом слгысле производная а'(г) при г = 0 просто не существует. Таким же образом можно определить и производную дельта-функции: Хотя явная формула для 5'(г) отсутствует, такой математический объект существует и действует по правилу— каждой классической функции гр(г) он сопоставляет числовое значение ее производной в нуле с точностью до знака. В настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения.
На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классическо~о анализа оказываются недостаточными. Пример 1.4. Мнажегтва М абраэавана вгеваэмажними ангыагавычи сигналами, атличнмми ат НуЛн иа интервале врвивни (О, 15 мкс) и равными нулнэ вне этого интервала. Пример 1.5. Мнажегтва М састаит иэ сигналов вида э„(г) = А„сов(со„г+ чэ„) — гарл~аничвгких колебаний, атличатвихсл своими амгмитудами, чагтатами и начальными фазами. структура линейно- го пространства 1.3.
Геометрические методы в теории сигналов 1.3. Геометрические методы в теории сигиялов При решении многих теоретических и прикладных'задач радиотехники возникают такие вопросы: 1) в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, -что один сигнал значительно превосходит другой; 2) можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых си~нала «похожи» друг на друга? В ХХ в.
был создан функциональный анализ — раздел математики, обобщающий наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства. Оказалось, что идеи функционально~о анализа дают возможность создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве. Линейное пространство сигналов. Пусть М = (в,(г), вэ(г), ...)— множество сигналов.
Причина объединения этих'объектов— наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества М. Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, стчйовится особенно плодотворным тогда, ко~да удается выра)кать одни элементы множества через другие эле,и менты. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной' структуры должен быть продиктован физическими соображениями.
Так, применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного ирастранстви. Множество сигналов М образует веи)вственнов линейное пространства, если справедЛивы следующие аксиомы: 1. Любой сигнал иоМ при любых г принимает лишь вещественные значения. 2.
Для любых и аМ и деМ существует их сумма зв = и + р, причем зи также содержится в М. Операция суммирования коммутативна: и + р = р+ и и ассоциативна: и + (р + х) = (и + и) + х. 3. Для любого сигнала веМ и любого вещественного числа а определен сигнал )"= цваМ. 4. Множество М содержит особый нулевой элемент 8, такой, что и+ 8 = и для всех иеМ. В этой книге при изложении методов функционального анализа мы будем вынуждены прибегать в ряде случаев к качественным представлениям. Читателю, интересующемуся экими методамя более глубоко, можно рекомендовать 17, 8( Приведенная здесь система аксиом линейного пространства не является исчерпывающе полной.
В математике, исходя из требований логической строгости, эту систему допол няют рядом вспомогательных ут.- верждений 24 Пример 1.6. Мноясество М состоит из всевозлюяснмх прямоугольных вндеоимпульсов напряжения, существующих на интервиле времени (О, 20 мкс), причем амплитуды импулыов не превышают 1О В. Сложив, например, импульсы с амплитудами 6 н 8 В, получаем импульс, ие принадлежащий множесзву М. Поэтому М ие есть линейное пространство. нейе; =8 в(!) = ,) с;е;, Правило сложения напряжений па элементах цепи, включенных последовательно, есть следствие второго закона Кирхгофа Какой-либо элемент координатного базиса не может быть выражен в виде линейной комбинации оставшихся элементов Глава 1.
Эяементы обшей теории сигналов Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства. Введение структуры линейного пространства является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов. Ограничения, налагаемые аксиомами линейного пространства, весьгва жестки.
Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством. Понятие координатного базиса. Как и в обычном трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей. Говорят, что совокупность векторов (е„ ег, еэ, ...), принадлежащих М, является линейно независимой, если равенство возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых 'коэффициентов оо Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве.
Если дано разложение некоторого сигнала з(г) в виде то числа (с„сг, с„...) являются проекииял~и сигнала в(г) относительно выбранного базиса. В задачах теории сигналов число базисных векторов, как правило, неограниченно велико. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. Естественно, что теория, этих пространств не может быть вложена в формальную схему линейной алгебры, где число базисных векторов всегда конечно. 1.3. Геометрические методы н теории сигналов Пример 1Л.
Линейное пространство ооразовано г игнаяазззз, которые описываются .чногочвенами неогртшченно высокого порядкаг з(з) = Ь р„з" ,=е Нормированное линейное пространство. Энергии сигнала. Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только прида~ь точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», но и указать, на сколько он больше.
Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов Ь является нормированным, если каждому вектору з (г) в Ь однозначно сопоставлено число '1 з)) — норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства: 1. Норма неотрипательна, т. е. 14 > О. Норма 1в '1 = О тогда и только тогда, если з = 8. 2. Для любого числа а справелливо равенство )) пз'1 = =)а) 1'д)). 3. Если в(г) и р(г) — два вектора из Ь, то выполняется неравенство треугольника: )~ д + р 1 < 1 д)~ + )) Р ~Ь Можно предложить разные способы введения нормы сигналов. В радиотехнике чаше всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму Данная аксиомаз дна в равной мере отиоситси как и аналог.овмм, т ян и н дискрет нь1м сипзалам !! !) = 1 ) '(г) (1Л 5) (из двух возможных значений корня выбирается положитель- ное).
Для комплексных сигналов норма норма сигнала )) д ~) = ) д (1) в* (Г) с11, Если сн1.нал,1нснретеи, то операпии интегрирования должна быть заменена суммированием по веем отсчетам сш нала где * — символ комплексно-сопряженной величины. Квадрат нормы носит название энергии сигнала (1.1б) Именно такая энергия выделяешься в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение д(г). энергия сигнала (такие функции называются олааипчзческззмид Координатным базисом в этом пространстве служит система одночленов (ев = 1; е, = г; ез = з;,.и. 26 Глава !. Элементы обшей теории сигналов Пример 1.8.
Сигнал л(с) представляет собой треугольный импульс напрялсения с амплитудой У и длительностью т„. Вычислить энергию и норму Нэаяого сигнала. На интервале времени (О, с„) сигнал описывается функцией л(с) = Уг/т„. Энергия сигнала сп е, =(Уэ)с'„) )го де = гугт„уз о О с. Норма сигнала )(ь) = )ггеэ = гг)гты')гз Пример 1.9. Вычислить энергию радиоимпульса с прямоугольной формой огибающей. Импулос существуегп на интервале времени (О, т„) и описывается функцией л(с) = Уо соэ(юос + <ро).
В соответствии с формулой (!.16) и ивэи ь О г Гэо " г э Е,=Ровсов (юг+О)бс= — ~ соо хбх. соо о о Выполнив интегрирование, получаем Е, = — (2 (тоти Ь Оо) + ип 2 (оэотп + гйо)) 11'о дюо Если внутри импульса содержится много периодов высокочастотного заполнения, так что ю,ти ж 1, зо Е, т Г4снС2 независимо от выбора парамегрон юо н но. Энергии этих сиг- налон отличаются незначительно метрика Определять норму сигнала с помощью формулы (!.15) целесообразно цо следующим причинам: 1. В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энергетического эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
