Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Широкое применение нашли два способа динамического представления. Со~ласно первому из них в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени Л (рис. 1.3,а). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени Ь. При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.3,б).
17 Оливер Хевисайд (1850 — 1925) — английский физик О, с < О, ст (с) = '/,, с = О, 1, с > О. (1.2) ( О, с < с,, а (с — со) = ~ /э. с = со с > со. 1.2. Динамическое представление сигналов О Ь 2Ь ЗЛ 4Ь О Ь 2Ь ЗЬ 4Ь а б Ряс. 1.3. Способы динамического представления сигналов (стрелками показаны пути изменения во времени отдельных элементарных слагаемых) Рассмотрим свойства элементарного сигнала, используемого для динамического представления по первому способу.
Функция включения. Пусть дан сигнал, математическая модель которого задается системой равенства: О, 1 < — Г„ с(с)= с/ (с/Р,+», — ь<с<Р„(1.» 1, с>ь. Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из «нулевого» в «единичное» состояние. Переход совершается по линейному закону за время 2г,. Если параметр г, устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет совершаться мгновенно. Математическая модель этого предельного сигнала получила название фуякс(сссс вк,печения или фуссксгпсс Хсвигайда: й общем случае функция включения может быль смещена относительно начала отсчета времени на величину с«. Запись смещенной функции такова: Приведенный здесь способ определения функции включения не является единственно возможным.
Например, функции, образующие последовательность и„(с) = 1 1+ ехр( — лс) ' как нетрудно проверить, с ростом номера «все более точно аппроксимируют разрывный сипсал, претерпевающий скачок на единицу при с= О. В задачах практического характера обычно допустим и менее строгий подход когда значение функции Хевисайда в точке 1=0 не принимаетси во внимание Глава !. Элементы общей теории сигналов !в В теоретической радиотехнике функции включения широко используются для описания разрывных, в частности, импульсных сигналов. Часто это можно сделать из очевидных соображений, не прибегая к общей методике динамического представления.
Пример 1.1. Импульсный сигнал и прямоугольнпй формы имеет длительность 5 мкс и амплитуду 15 В. Начало отсчета времени совпадает с фронтон импульса. Записать аналитическое выражение этого сигна1а. Эффект скачка уровня при с = 0 описывается функцией о = = 15а(с), Для того чтобы импульс окончился пря са 5.10 ь с, необходимо вычесть такой же импульс включения, запаздывающий на этот отрезок времени.
Окончательно 15 !О О 2.5 5.0 7.5 1О о(с) = 15а(с) — 15сс(с — 5 1О ь) В. Пример !.2. Источник ЭДС, линейно изменяющейся во врелгени по закону е(с) 3 1Оьс В, подключается к внешним цепям идеальны.ч коммутатороч, который срабатывает в момент времени Сь = = 2 мкс. Записать математическую модель напряжения на выходе такого устройства. и,В с=2 мкс (с) е(с) с,мкс о 2 4 6 Пря временах, меньших 2 мкс, напряжение на выходе источника равно нулю, поэтому очевидно, что и(с) = 3 10ьс сз(с — 2.10 ь) В. Этот процесс можно заиясать и по-яному, представив его как сумму импульса включения амплитудой 6 В, возникающего в момент срабатывания коммутатора, я линейно нарастающего импульса: и(с) = [6+ 3 1Оь(С вЂ” 2.10 ь)) а(с — 2 10 ь) В.
решите задачи 1 и2 Динамическое представление произвольного сигнала посредством функций включения. Рассмотрим некоторый сигнал з(с), причем для определенности положим, что з(с) = О прн с ( О. Пусть (сь, 2Ь, 2сь, .) — последовательность моментов времени и (з„вз, зз, ...) — отвечающая им последовательность значений сигнала. Если зо -— ь(0) — начальное значение, то, как видно из построения, текущее значение сигнала при любом с приближенно равно сумме ступенчатых функций: ь(с) зоа(с) + (з, — з,)а(с — Ь)+ (з, — з,)сс(с — 2Ь)+ ...
= Ь 2Ь ЗЬ = вост(с) + 2' (вь — вь,)о(с — )сЬ). 1=1 19' !.2. Дянамяческое представление сигналов Если теперь шаг Л устремить к нулю, то дискретную переменную Ссдиможно заменить непрерывной переменной т. При этом малые приращения (зе — з,,) преврашаются в дифференциалы с)з = (сзз(с)т)с1т, и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевнсайда: (1эй) Переходя ко второму способу динамического представления сигнала, когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие. Дельта-функция.
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом: о(с; Е) = — о с+ — — сз с — — . (1.5) При любом выборе параметра й площадь этого импульса равна единице: П, = 1 ос(с = 1. Например, если и — напряжение, то П. = 1 В с. Пусть теперь величина г, стремится к'нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать.
Предел последовательности таких функций при г, О носит название дельта-функс)ии, или функции Дарана: Ь (с) = !пп и (с; й). (1.6) с-о Дельта-функция — интересный математический объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением точки с = О (принято говорить, что она сосредоточена в этой точке), дельта- функция тем не менее обладает единичным интегралом -Цзо й(2 а (с — св) се Так выглядит символическое изображение дельта- функции ) Ь(с)с)с = 1 (1. 7) Пример 1.3.
Согнав з(с) равен нуям при с < О и изменяетея по закон» квадратииной парайозп з(с) = Лсз при с ) О. Найти динамиче- ское представление этого гиенава, Здесь зе = О, дз/дт = 2Ль поэтому з (с) = 2Л ) еа (с — с] дт, а В соответствии с последней формулой высота элемеатариых сту- пеней, яэ которых скпалываетея сигнал, линейно нарастает во времени. те, — нш, = ) и" (г) с)м Здесь с ростом и длительность импульса сокращается, а его высота возрастает 5 (1) = )пп [х)п лба)) . г, <~ сг„,. В описываемом здесь способе динамического представления сигнала, для того чтобы получить какое-либо мгновенное значение, нужно располагать сведениями о поведении сигнала на всей осн вре- мени Глава Ь Элементы обшей теории сигнялаи В нашем курсе булет постоянно использоваться аппарат дельта-функций.
Основная причина, делающая дельта-функцию столь удобной в физических задачах, состоит в следующем, Напомним извес~нос положение механики: если на материальную точку массой т в интервале времени (гогз) лействует переменная сила е (г), то изменение количества движения точки Таким образом, существенно важна не сама сила, а ее ил~пульс, фигурирующий в правой части последнего равенства. Дельта-функция как раз и является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью). В математике показано, что свойства дельта-функции присущи пределам многих последовательностей обычных классических функций. Приведем два характерных примера: 8(г) = )пп )~н)(2я) ехр( — нгз/2), (1.8) и с Динамическое представление сигнала посредством дельтафуиьцнй.
Вернемся к задаче описания анапа~оного сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (см. рис. 1.3,б). Если х„ — значение сигнала на )с-м отсчете, то элементарный импульс с номером )с представляется так: ц,й) = з„[о(г — г,) — ст() — г, — Л)), (1.10) В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал е (г) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых: 50) =,Г це (1). (1.11) В этой сумме отличным от нуля будет только один член, отвечающий тому номеру )с, который удовлетворяет нера- венству Если подставиэь (1.10) в (1.11), предварительно разделив и умножив на величину шага Л, то Переходя к пределу при Ь -~ О, необходимо заменить суммирование ищегрированием по формальной переменной т, дифференциал которой дт будет отвечать величине Л. 2! !.2.
Длаамаческое представление сигналов Поскольку 1 1цп (о (г — т) — а (с — т — Л)) — = Ь (с — т), а-о Л получим искомую формулу динамического представления сигнала (1Л 2) При этом размер- ности обеих частей формулы (1.12) оказываются оди- наковыми фильтрующее свойство дель~а- функции 5(с — се) прн известной функции ср(г), которую называют пробной функцией.
Каждой функции ср(с) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение Ц ср). Поэтому говорят, что формула (1.13) задает некоторый функционал на множестве пробных функций ср(с). Непосредственно видно, что данный функционал линеек, т. е. (Х ицс + ()цсс) г дЫ срс)+ ()(сг цса).
функционал Можно усмотреть важное свойство дельта-функции: ее физическия размерность такая же, как и ризмерность чистоты, т. е. с Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта- функцию н произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен б-нмпульс. Принято ~оворить, что в этом состоит филылруесцее свойство дельта-функции. Отсюда вытекает структурная схема системы, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала а(с). Система состоит из двух звеньев: перемножителя и интегратора. Ясно, что измерение величины а(са) будет тем точнее, чем короче тот реальный сигнал (напрнмер, прямоугольный видеоимпульс), который приближенно представляет дельта-функцию. Обобщенные функции как математические модели сисналов.
В классической математике полагают, что функция а (с) должна принимать какие-то значения в каждой точке оси с. Однако рассмотренная функция б(г) не вписывается в эти рамки— ее значение при с = О не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Очевидна необходимость расширить само понятие функции как математической модели сигнала. Соврелсенная математика преодолела эту трудность, введя принпипнально новое понятие обобсцеиной функции. В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Держа в руках и рассматривая какой- нибудь предмет, мы его поворачиваем, стремясь получить множество проекций этого объекта на всевозможные плоскости. Аналогом «проекцин» исследуемой функции Г(г) может служить, например, значение интеграла с (Х р) = 1 Х(с) р (с) бс (1.13) тг Глава 1.
Элементы общей теории слглллол Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций гр(г) задана обобщенная функция /(г). Подчеркнем, что интеграл в правой части выражения (1.13) нужно понимать формально-аксиома- тически, а не как предел соответствующих интегральных сумм. Именно с таких позиций следует рассматривать формулу динамического представления (1.12): (б(г-т), (тВ=.(г). Обобщенные функ- ции иногда назы- вают также рас- пределениями Обобщенные функции, даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
