Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 9
Текст из файла (страница 9)
35 Вопросы с>сз Чтобы найти угол между двумя элементами линейного пространства, вводят понятие скалярного произведения, пропорционального взаимной энергии сигналов. Если скалярное произведение равно нулю, то сигналы ортогональны. <">гз Представление сигнала в виде разложения но ортонормированному базису назгнвают обобщенным рядом Фурье, Коэффициентами пюкого ряда служат скалярные произведения разлагаемого сигнала и соответствующих базисных векторов. ФФ Энергия сигнала равна сумме энергий всех членов обобщенного ряда Фурье. Разложение сигнала по ортонормированному базису обеспечивает минимум энергии огиибки аппроксимации.
с>гз Процесс извлечения полезной информации, содержащейся в сигнале, можно представить себе как аппаратурное определение числовых значений коэффициентов обобщенного ряда Фурье этого сигнала. Вопросы Задачи 1. Импульс напряжения треугольной формы изображен на рисунке: О т„!2 т„ 3. Составьте математическую модель бесконечной последовательности одинаковых импульсов треугольной формы: Составьте математическую модель этого сигнала, используя комбинацию функций включениа. Убедитесь в том, что решение данной задачи неоднозначно.
2. Решите задачу! применительмо к симметричному треугольному импульсу, имеюшему ллительносгь тя н амплитуду !Г. — ЪТ вЂ” ?Т вЂ” Т 1. Назовите два-три физических процесса, лля описания которых требуются случайные математические модели. 2. Какие числовые характеристики прмменяют для описания моделей импульсных сигналов? 3. В чем состоит разница между видео- импульсом и радиоимпульсом? 4. Почему замена аналогово~о сигнала дискретным при некоторых условиях может стать неадекватной? 5. Как формулируется принцип динамического представления сигнала? 6.
Каковы основные свойства дельтафункции7 7. Перечислите важнейшие аксиомы линейного пространс?ва. й. Каков фмзйческий смысл квадрата мормы сигнала?' 9. Как следует понимать геометрический смысл неравенсгва Коши — Буняковского? 1О. Изобразите графически несколько ортогоиальных сигналов. 11. Какие функциональные пространства называют гильбертовыми пространствами? Кй Почему удобно разлагать сигналы по ортогональной системе функций Уолша7 13. Чем обобшенные функции отличаютсв от классических функцмй? 36 Глава 1. Элементы обшей теорми сигналов и (с) = (Со ехр (-а ) с )).
0 4. В соответствии с формулой (!.4) найдите динамическое представление экспоненциального видеоимпульса, описываемого функцией и(с) ехр(-ас)о(с). 5. Найдите динамическое представление гауссова видеоимпульса м(с) = (со ехр(-()с ), определенного ма всей бесконечной оси времени. Обратите внимание на модификацию, которой должна быть подвергнута формула (1.4). 6. Найдите энергию и норму сигнала, описываемого математической моделью вида 7. Вычислите энергию и норму импульса косинусоидальной формы: О, озос < — я/2; с(с) (С„созозос -Л~Ф(оос < к/2; Ы хыю 0 озос > я/2 . 1 1 > с я лов 8.
Сигнал м(с) представ)))сот собой сим метричиыи треугольный "импульс, сигнал Более сложные задания 12. В эксперименте была зафиксирована осциллограмма сигнала и (с): м,В с,мкс 5 10 15 20 25 30 Есть предположение, что этот сигнал описывается экспоненциальной функцией времени. Прелложите по возможности простой графический способ проверки этой гмпотезы. 13. Последовательный колебательный контур возбуждается источником импульсной ЭДС: о(с) — вписанный в него импульс прямоуголь- ной формы: Какова должна быть амплитуда прямоугольного импульса, чтобы расстояние между этими двумя сигналами было минимальным? 9. Используя принцип ортогональности, на основании рис.
1.4 постройте график функции па!(3, 9). 1О. Покажите, что взаимные расстояния между любыми двумя функциями из совокунности па1(0, 9), соа((1, 9), оса!(2, 9) одинаковы и равны )/2. 11. Проведите такой же анализ для ортонормированной системы тригонометрических функций !см. формулы (1.30)3. Сравните результаты. Можно ли здесь провести аналогию с известной теоремой Пифагора? Параметры системы: Я = 5 Ом, = 10 мкГн, С = 2 нФ, Длительмость импульса т„=0.5 мкс, его амплитула (Со 12 В. Покажите что в данном случае реальным импульс можно описать математической моделью вида Аб(с).
Каков долхсен быть при этом коэффициент А? Перечислите несколько простых физических ситуаций, относящихся к повседневному опыту, когда воздействме на какую-либо систему можно приближенно заменить дельта-импульсом. 14. Предложите математическую модель лля аналитического описания сигнала следующего вида: Более сложные задания 15. Докажите, что дельта-функцию можно рассматривать как предел вила /! з!пйй Ь(г) = !!ш ~ — — у!. ч м л 16. Докажите, что если Н вЂ” вещественное гильбертово пространство, содержащее сигналы и и е, то имеет место равенство параллелограмма: ! „+ е )~ з + (! „„~(з 2 ! „)~ з + 2 )~ „~(з 17, Докажите, что в комплексном гильбертовом пространстве справелливо тождество 4(и е) ((и ! е!(2 ))и е)(2 + ! )! и + )е !! з — ) )! и — уе !) з.
18. Пусть (из(г)), й = О, 1, 2, ... — ортонормированный базис в некотором гильбертовом пространстве Н. Покажите„что ддя произвольных з„ззвН выполняется равенство Парсеваля (зи зз] = х (эь иь) (зз, ыг), г о 19. В гильбертовом пространстве сигналов заданы произвольный вектор и и вектор е, имеющий единичную норму. По аналогии с геометрией обычных векторов на плоскости вектор гг =(и, е) е называют ортогональной проекцией вектора и иа направление е. Докажите, что вектор у и — гг ортогонален вектору н. Обобщая полученный результат, оцкажите, что если (е,, ез, ..., ер,) — система взаимно ортогоняльных векторов с единич- ными нормами, то вектор у=и — (и, и,)с,—...— (и, ел)ел при любом выборе и ортогоиален по отношению к каждому из векторов рассматриваемой системы.
20. Пусть в гильбертовом пространстве сигналов задана система взаимно нсортогоиальиых вектоРов (йм и„,, лм ...). На ее основе постройте ортонормнрованную систему векторов (ие, иь ..., и„, ...) таким образом, чтобы каждый вектор иь являлся линейной комбинацией вида и, - сьейе + смл, + ...
+ с„д„+... с постоянными коэффициентами. 21. Используя прием, найденный при решении предыдущей задачи, вычислите три первых базисных вектора ие, и„из, получаемых путем ортрсонализации н нормировки системы степенных функций (1, г, гз, ...) на отрезке — ! < г < 1. Получите числовые значения трех первых коэффициентов се, с, и сз обобщенного рйда Фурье для сигнала г"(г) = ехр (г) на рассматриваемом отрезке. Вычислите норму абсолютной ошибки аппроксимации данного сигнала тремя членами ряда.
Оцените относительную ошибку аппроксимации. 22. Рассмотрите предыдущую задачу в другой постановке: найдите коэффициенты многочлеиа второй степени х(г) = Л + Вг + + Сгз таким образом, чтобы данный много- член аппроксимировал снгиаа г"(г) =' ехр(г) на отрезке — 1 < г < ! с наименьшей средне- квадратической ошибкой. Глава 2 Спектральные представления сигналов Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции.
Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин. В частности: 1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой. 2. Техника генерирования гармонических сигналов относиту(~ьно проста. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала.
Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. 2Л. Периодические сигналы и риды Фурье Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал з(~) со следующим свойством: (2.1) йР Примеры периоди- ческих сигналов Любая функция и из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
