Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тем не менее понятие энергетического спектра оказывается очень полезным для получения различных инженерных оценок, устанавливающих реальную ширину спектра того или иного сигнала. При энергетическом подходе все сигналы, одинаковые по форме, ио различающиеся расположением на оси времени, выступают как совершенно неразли- чимые Глава 3. Энергетические спектры, Корреляционный анализ В' (о) /(Ьгтг ) ОЛ5 0.5 0.25 2я Рис, 3.2.
Нормированный энергетический спектр прямоугольного вилеоимпульса как функция безразмерной частотной переменной огг„ Чтобы определить энергию сигнала в частотной области, необходимо вычислить интеграл ()гтг (' г)цг(,», /2) я .( (сгг„/2)г о Следует положить х = Огт„/2 Несложная замена переменной сразу приводит к формуле (3.12).
Распределение энергии в спектре прямоугольного видео- импульса. Интересно и лля многих прикладных задач важно знать, какая доля обшей энергии содержится в пределах одного, двух, трех и т. д. лепестков спектральной диаграммы, изображенной на рис. 3.2. Обозначим Е,н долю энергии прямоугольного видеоимпульса, которая заключена в /г последовательных лепестках. По формуле Рэлея, Егн — — — (/гтг г)9. о (3.14) Данный интеграл вычисляется аналитически, а также может быть легко найден численно. Ниже приводится таблица, в которую сведены результаты расчета относительной доли энергии в' зависимости от числа учитываемых лепестков.
Таблица 3.1 Еоо/Е„ 0.902 0,950 0.967 Итак, если прямоугольный видеонмпульс подать на идеальный фильтр нижних частот, равномерно и без ослабления 3.2. Корлеляавонныл анализ сигналов пропускающий все частоты от О до 2я/т„с ' (граница первого лепестка), то на выходе будет получен сигнал, энергия которого составит 90,2 % от энергии колебания на входе. Как отмечалось, такой подход к оценке реальной ширины спектра сигнала не раскрывает всей картины явления.
Так, неизвестной оказывается степень искажения формы сигнала за счет действия фильтра. Однако если сведения о форме колебания отступают на второй план, а величина энергии приобретает первостепенное значение (изучая статистическую радиотехнику, мы неоднократно встретимся с такой ситуацией), то энергетическая оценка ширины спектра становится особенно целесообразной. Например, из табл.
3.1 видно, что переход от й = 1 к значению )г = 2, т. е, двукратное расширение полосы частот устройства, через которое проходит видЕоимпульс, увеличиваег энергию полезного сигнала всего на 4.8 %. Наряду с этим ясно, что помехи (если такие имеются) могут увеличить за счет этого свою энергию, например, вдвое, если их энергетический спектр равномерен в интересуюгцем диапазоне частот. А решите задачу 5 Неоправданное расширение полосы пропусканна филь- тра нежелательно 3.2. Корреляционный анализ сигналов 11/ // // l/ у/ г' )г г / ,у / / у / На ранних этапах развития радиотехники вопрос о выборе наилучших сигналов для тех илн иных конкретных применений не был очень острым. Это обусловливалось, с одной стороны, относительно простой структурой передаваемых сообщений (телеграфные посылки, радиовещание); с другой, практическая реализация сигналов сложной формы в комплексе с оборудованием для их кодирования, модуляции и обратного преобразования в сообщение оказывалась трудно осушествимой, В настоящее время ситуация в корне изменилась.
В современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов диктуется прежде всего не техническими удобствами их генерирования, преобразования и приема, а возможностью оптимального решения задач, предусмотренных при проектировании системы. Для того чтобы понять. как возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами, рассмотрим следующий пример. Сравнение сигналов, сдвинутых во времени. Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до цели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине т — задержке по времени между зондируюшим и принятым сигналами.
Формы зонднруюшего и(г) и принятого и(г — т) сигналов одинаковы при любых задержках. Структурная схема устройства обработки радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности. может выглядеть так, как это изображено на рис. 3.3. Система состоит из набора элементов, осушествляюших задержку «эталонного» передаваемого сигнала на некоторые Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ ! 2 7В Рис. 3.3.
Устройство для измерения времени задержки сигналов фиксированные отрезки времени ть ть ..., т„. Задержанные сигналы вместе с принятым сигналом подаются на устройства сравнения, действую!цие в соответствии с принципом: сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются «копиями» друг друга. Зная номер канала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели. Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его «копия», смещенная во времени.
Таким образом, мы получили качественное представление о том, какие сигналы можно считать «хорошими» для данного применения. Перейдем к точной математической формулировке поставленной проблемы и покажем, что этот круг вопросов имеет непосредственное отношение к теории энергетических спектров сигналов. Автокорреляционная функция сигнала. Для количественного определения степени отличия сигнала и(г) и его смещенной во времени копии и(г-т) принято вводить а«токоррехл«ионную Функцию (АКФ) сигнала и(!), равную скалярному произведению сигнала и копии: Если отличие 'невелико, то можно ожидать, например, неоднозначного отсчета, когда сигвалы будут появлаться одновременно на выходе нескольких соседних устройств срав- нения (3.15) В дальнейшем будем предполагатгь что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (3.15) заведомо существует.
Непосредственно видно, что при т = 0 автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала: свойства автокор- реляциоиной функ- ции В„(0) = Е„. (3.1б) К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность: В„(т) = В„( — т). (3.17) Здк Корреляционный анализ сигналов Действительно, если в интеграле (3.15) сделать замену переменных х = г — т, то ) и(1) и(à — т) г)Г = ) и (х + т) и (х) г)х. Наконец, важное свойство автокорреляциониой функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига т модуль АКФ не превосходит энергии сигнала: / В„(т)! ( В„(0) = Е„.
(3.18) Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши — Буняковского (см. гл. 1): ~ (и, и,) ) < )~ и )) '1 и, '1 = Е„. (3.19) Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала и (г) автокорреляциониая функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер. Пример 3.3. Найти АКФ лрямоугольного еидеолмлульса. На рис, 3.4, а изображен прямоугольный видеоимпульс с амплитупой У и ллительностью т„, Здесь же представлена его «копия», сдвинутая во времени в сторону запаздывания на т с. Интеграл (3.1зу вычисляется в данном случае элементарно на основании графического построения.
Действительно, произведение и(г)л(г — т) отлично от нуля лишь в пределах интервала времени, когда наблюдается наложение сигналов. Из рис. 3.4,а видно, что этот временндй интервал равен т„— )т ~, если сдвиг не превышает длительности импульса. Таким образом, лла рассматриваемого сигнала У ть(1 — — ), |т~ < т„, )' !т~'1 В бй = (, т, )' О, !т~> г„. (3.2О) График такой функции — треугольник, изображенный на рис. 3.4,б. Ширина основания треугольника в даа раза больше длительности импульса. О т„ — т. О т„ Рис. 3.4.
Нахождение АКФ прямоугольного видеоимпульса Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ 80 Пример Злй Найти АКФ прямоугольного радиоимпульса. Будем рассматривать радиосигнал вида О, с< — т„/2, и (с) У сов асс, -т„/2 < с < т„/2, О, .с > т 12. Зная заранее, что АКФ четна, вычислим интеграл (3.(эс, полагая Омт<тн При этом тнст В„(т) = У~ ) соваоссовао(с — т)дс -кк/З + г (/2 Ос ск/2 — сов аот. (т„— т) ф — ) сов 2ао с — — бс, -гнгг + с откуда легко получаем В„(т) = — (т„— (т() соваот ф У' Г в(п2соо(т„— (с()1 (3,2 1) 2.(.-( 8 .)' Естественно, что при т 0 величина В„(0) становится равной энергии этого импульса (см. пример 1В), Формула (3.21) описывает АКФ прямоугольного радиоимпульса при всех сдвигах т, лежащих в пределах -т„< т < т„.
Если абсолютное значение сдвига превышает длительность иыпульса, то автокорреляционная функция будет тождественно обращаться в нуль. Пример 3.5. Определить АКФ последовательности прямоугольных видеоимнул ьсов. В радиолокации широко используются сигналы, представляющие собой пачки из одинаковых по форме импульсов, следующих друг за другом через одинаковый интервал времени. Для обнаружения такой пачки, а также для измерения ее параметров, например положения во времени, создают устройства, которые аппаратурным образом реализуют алгоритмы вычисления АКФ.
0 т. т 2т б Рис. 3.5. АКФ пачки из трех одинаковых видеоимпульсов: и — пачка импульсов; б — график АКФ На рис. 3.5,а изображена пачка, состоящая из трех одинаковых видеоимпульсов прямоугольной формы. Здесь же представлена ее автокорреляционная функция, вычисленная по формуле (3.15) (рис. 3.5,б). Хорошо видно, что максимум АКФ достигается при т =О. Однако если задержка т оказывается кратной периоду последовательности (при т = жт, -1-2т в нашем случае), наблюдаются по,бочные лепестки АКФ, сравнимые по высоте с главным лепестком. Поэтому можно говорить об известном несовершенстве коррелядионной структуры данного сигнала. Зд.
Коррелянионныя анализ сигналов а1 л решите задачу 8 Автокорреляпионная функция неограниченно протвкенного сигнала. Если требуется рассматривать неограниченно про- тяженные во времени периодические последовательности, то подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть несколько видоизменен, Будем считать, что такая последовательность получается нз некоторого локализованного во времени, т.е, импульсного, сигнала, когда длительность та последнего стремится к бес- конечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
