Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ- н ФМ-снгналы ведут себя по-разному прн изменении частоты модуляции н амплитуды модулнрующего сигнала. Прн частотной модуляции девиация частоты Лго пропорциональна амплитуде низкочастотного сигнала. В то же время величина Ьго не зависит от частоты модулнрующего сигнала. В случае фазовой модуляции ее индекс т оказывается пропорциональным амплитуде низкочастотного сигнала независимо 'от его частоты. Как следствие этого, девиация частоты прн фазовой модуляции в соответствии с формулой (4.25) линейно увеличивается с ростом частоты. 1ОЗ 4.2.
Сигналы с угловой монупяцией Спектральное разложение ЧМ- и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции. Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда нс ~ 1. Для этого преобразуем формулу (4.26) следующим образом: н(с) = (С сов(с!ос+ нсвспйс) = (7 сов(нсвспйс)совссос— — СС и $1Ц (НС $1П ЙС) $1П С!ОС. (4.27) Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближенными равенствами сов (сн всп Йс) ая 1; всп (из всп Йс) = ис всп Йс. На основании этого из равенства (4.27) получаем нс(С ти.
и(с)м 17 соко!ос+ — сов(соо+Й)с — — сов(с!о — й)с. (428) 2 2 Таким образом, показано, что при сн ~ 1 в спектре сигнала с угловой модуляцией содержатся несущее колебание и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах ссо + й и сзо — й. Индекс нс играет здесь такую же роль, как коэффициент амплитудной модуляции М [ср. с формулой (4.5)2. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией. Для спектральной диаграммы (рис. 4.6, а), построенной по формуле (4.28), характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180'.
Кнк стедствие этого, сумма векторов, отображающих оба боковых колебания (рис. 4.6,6), всегда перпендикулярна вектору 17ннс. С течением времени вектор 17$ будет «качаться» вокруг центрального положения. Незначительные изменения длины этого вектора обусловлены прилиженным характером анализа, и при очень малых сн ими можно пренебречь. Колебании, характеризуемые условием гп ~ 1, принято называть узкополосными ЧМ- нлн ФМ-сап!адами Рис. 4.6. Диаграммы сигнала с угловой модуляцией цри и к 1: а — спектрапьнзя1  — векторная Математическая модель сигизлв имеет знл и(с) = Сс соз[2я 8 !О"с+ 12$1п(2я.1.5 !Оас)!. Девиация частоты состнвнт Ь|=тр = 1.8 101 = 180 кГц. Таким образом, прн модуляции мгновенная частота снгннла изменяется в пределах от С" 1„= 80 — О.!8 = 79.82 МГц до „= 80+ 0.18 80.18 МГц.
Глава 4. Модулированные сигналы Более то вый анализ спектрального состава сигналов с угловой модулнцней. Можно попытаться уточнить полученный результат, воспользовавшись двумя членами ряда в разложении гармонических функций малого аргумента. При этом формула (4.27) будет выглядеть так: и(г) = У„,(1 — '/вт'в(п'йг)соваав— — У (тв1пйг — '/ат'в(п'йв)в)псзсс П„~в — — ) Несложные тригонометрические преобразования приводят к результату: и(г) =У (1 — та/4)совсз~г+ У т(1 — та/8) х х ~сов(аз~+ й)г — сов(езс — й)г] + У (т'/8) х х ~сов(оза + 2й) г + сов(сзс — 2й) в] + + У (лг'/48) ~сов(оза + Зй) в — сов(нзс — Зй) г]. (4.29) Эта формула свидетельствует о том, что в спектре сигнала с однотональной удаловой модуляцией, помимо известных составляющих, содержатся также верхние и нижние боковые колебания, соответствующие гармоникам частоты модуляции.
Поэтому спектр тако~о сигнала сложнее спектра аналогичного АМ-снгнала. Отметим также, что возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру. Так, нз формулы (4.29) видно, что с ростом т амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается пропорционально множителю (1 — та/4). Спектр сигнала с угловой модуляцией прн произвольном значении индекса.. Для простейшего случая однотонального ЧМ- нли ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции т.
В разделе курса математики, посвященном специальным функциям, доказывается, что экспонента ехр (/т в(п х) с мнимым показателем специального вида, периодическая на отрезке -я < х < л, разлагается в комплексный ряд Фурье: Более точный вид спектральной диа- граммы т решите задачу 11 (4.30) где т — любое вещественное число; за(т) — функция Бесселя /с-го индекса от аргумента т. Сравнивая формулы (4.30) и (4.27), а также подставляя х = йг, перепишем последнюю из указанных формул так: и(г) = у Ке(ел"'е""аао') = у Ке(еа"' ,'Г за(т)е~ю'). (4.31) Векторные диаграммы сигнала с угловой модуляциен в четыре последовательные момента времени Отсюдаполучаем следующую математическую модель ЧМ- нли ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции: и(г) = У ,'Г .Iд(т)сов(сов+ йй)к 105 4.2.
Сигналы с угловой модуляцией 0.5 0.25 -025 — 0.5 5 20 25 Рис. 4Л. Графики функций Бесселя гз(т) и усе(т) характер спектра однотональиого сигнала с угловой модуляцией Спектр однотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны озо + )сь2; амплитуды этих составляющих пропорциональны значениям зь(т). В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой: з ь(т) =( — 1)ьУь(т).
практическая ши- рина спектра ЧМ-и ФМ-сигналов (4.33) Как правило, реальные ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются условием т л 1. В, этом случае А решите задачу 12 (4.34) Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами со, + )сй и озо — И2 совпадают, если /с — четное число, и отличаются на 180', если )с — нечетное. Для детального анализа и построения спектральных диаграмм необходимо знать поведение функций зь(т) при различных т в зависимости от lс.
На рис. 47 приведены графики двух функций Бесселя, существенно различающихся своими индексами. Можно заметить следующее: чем больше индекс функции Бесселя, тем протяженнее область аргументов, лри которых эта функция очень мала. Этот факт отображает табл. 4.1, Табл. 4.1 совместно с формулой (4.32) позволяет построить типичные спектральные диаграммы сигнала с однотональной угловой модуляцией при не слишком больших значениях индекса т (рис. 4.8). Важно отметить, что с ростом индекса модуляции расширяется нолоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами /с ) т+ 1. Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией (с '): П„„, = 2(т + 1) 42. Глава 4.
Молулированные сигналы Таблица 4.1 Значения фуняпяй Бесселя 3„(м) Здесь выделена область, в которой функции Бессели становится пренебрежимо малыми Сигналы с угловой модуляцией часто иснользуютси в системах высококачественного радиовешшннн УКВ-диа- пазона -4-3-2-1 О 1 2 3 4 -7-4-5-4 — 3-2-1 О ! 2 3 4 5 6 7 Рис. 43й Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса и 1ампллтуды представлены в относительном масштабе) Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно'равную удвоенной девиации ч аслзолзм. Как было выяснено, дпя передачи амплитудно-модулированного сигнала требуется полоса частот, равная 2й, т.
е, в лз раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- и ФМ- сигналов обусловливает их применимость для целей радиосвязи лишь на очень высоких частотах, в диапазонах метровых и более коротких волн. Однако именно широкополосность приводит к гораздо большей помехоустойчивости сигналов с угловой модуляцией по сравнению с АМ-сигналами. Сравнительный анализ помехоустойчивости различных видов модуляции будет детально проведен в гл. 16. Как отмечалось, рост индекса модуляции приводит к перераспределению мощности в спектре модулированно~о сигнала.
В частности, если значение лз выбрано таким, что 4.2. Сигналы с угловой модуляцией 107 ло(т) =О, то несущее колебание на частоте ао в спектре будет отсутстствовать. Значения их являющиеся корнями данного уравнения, образуют бесконечную возрастающую последовательность чисел т„(у = 1, 2,... — номер корня). Приведем для справох табл. 4.2. Та 6 ли ца 4.2 Корни уравнения Уь(в) = 0 ть 2.405 5.520 8.654 11.792 14.931 18.071 21.212 Пример 4З. Одновональный ЧМ-сигнал имеет девиацию насниниы Ь/ = 240 кГц. Найти частоты модуляции Р, нри которых несущее колебание е сиеквре сигнала будет овсутсвеоеавь.
Индекс модуляции в = оы/Й Л//р, т. е. частота модуляции Р = Л//т. Обращаясь к табл, 4.2, находим последовательность частот, удовлетворяющую поставленному условию: Р, = 240/2.405 = 99.792 кГц, Рг 240/5.520 = 43.474 кГц, Рг = 240/8.654 = 27.732 кГц н т. л. Угловая модуляция прн иегармоничесиом модулирующем сигнале. Интересная особенность колебаний с угловой модуляцией проявляется в случае, когда модулируюший сигнал не является гармоническим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
