Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Генераторы являются управляемыми — амплитуда их сигналов пропорциональна отсчетным значениям з„. Если объединить колебания на выходах, подав их на сумматор, то с выхода сумматора в соответствии с формулой (5.18) можно будет снимать мгновенные значения синтезируемого сигнала 5(с). 5.2.
Теорема Котельникова 125 Оценка опабки, нозниканицей прн аппроксимации произвольного сигнала рядом Котельникова. Если з(с) — произвольный сигнал, т.о его можно представить суммой з(с) = з (с; ш,) + +з, (с), в которую входит сигнал з (с; ш,) со спектром, ограниченным значением шш а также сигнал ошибки аппроксимации з, (с) со спектром, занимающим в общем случае бесконечную полосу частот ш > ш,. Спектры указанных сигналов не перекрываются, поэтому сигналы з и з ортогонапьны, а их энергии, т. е.
квадраты норм, складываются: ((з(('=(! з (!'+ ((з, (('. В качестве меры ошибки аппроксимации можно принять расстояние, равное норме сигнала ошибки. Если Ис (со)— энергетический спектр сигнала э(с), то по теореме Рэлея св! т ',из ( з, (( =1 — ~ И', (ш) с)ш) шв (5,2!) Првмер 5.3. Даи з«слоиеиииавьиый видеаимлуаьс з(с) = = ехр (-ас) о (с), «ара«теризующай ел зиергетичес«шв сле«трам И(т) = = 1/(сов .!.
свз) и норман /1 ймв 1 з $ ~ — ) (а' + тв) ' сСт = 0.707 1/)/а. я о Эффективная длительность этого импульса (см, гл. 2) тв = 2.3026/а. Спектр рассматриваемого сигнала неограничен. Поэтому следует предварительно подвергнуть сигнал низкочастотной фильтрации, пропустив его через фильтр нижних частот (ФНЧ). Значение верхней частоты т, полосы пропускання фильтра следует выбирать в зависимости от того, сколь часто берутся отсчеты сигнала на выходе ФНЧ. Предположим, что за время тв измеряются !О отсчетов с ннтервалом со = с ~9 = 0.2558/а с. Согласно теореме Котельникова, это означает, что се, = я/со = !2.279а. Сигнал с выхода ФНЧ восстанавливается по своим отсчетным значениям точно, Однако по отношению к исходному видеоимпульсу неизбежна ошибка. В данном случае норма сигнала ошибки о ((зош((= („~ аз Ь с) ав — ( — — асссй — )~ Относительная ошибка аппроксимации (! зош И з (~ = 0.1608/0.7071 = 0.2274, Видно, что выбранная в примере частота т, недостаточно высока для достижения уповлетворнтельной точности воспроизведения нсхолиого сигнала.
т решите задачу 6 126 Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Размерность пространства сигналов, ограниченных по спектру н по длятельностн. Примеры вычисления спектральных плотностей импульсных сигналов, приведенные в гл. 2, показывают, что любой сигнал конечной длительности теоретически имеет спектр, неограниченно протяженный по оси частот. Однако часто бывает удобным рассматривать идеализированные модели сигналов, ограниченных как по длительности, так и по протяженности спектра. Подобные модели могут достаточно точно описывать сигналы, применяемые в реальных каналах связи. Пусть Т вЂ” длительность такого сигнала, а у, — граничная частота его спектра, выраженная в герцах. Тогда база сигнала (см.
гл. 4) В = Трм Для полного описания сигнала нужно иметь в распоряжении М = Т~гв = 2Т~, независимых отсчетов. Говорят, что число Это положение в математике дока- зывается строго и в общем виде (5.22) )ч = 2 Ту, = 2В является размерностью пространства сигналов, ограниченных по длительности и по частоте. Число М, как правило, достаточно велико. Например, для описания сигнала в канале радиовещания с граничной частотой 12 кГцна протяжении 1 мнн потребуется 2 60 1,2 1Ое= = 1.44 10' независимых чисел. В свое время К. Шеннон предложил интерпретировать любой сигнал с конечными длительностью и полосой как точку в многомерном евклидовом пространстве с числом измерений 2Тун Отсчетное значение з„служит при зтом проекцией отображающей точки на к-ю координатную ось.
Поскольку метрика пространства евклидова и координатные оси взаимно ортогональны, длина вектора сигнала размерность пространства сигналов (5.23) В теории информации размерность пространства сигналов служит для оценки объема со- общеияй Величину г, можно выразить через энергию сигнала Е, следующим образом. Так как ззт, 1 зць Е ь 1 ь 2Г зк! ! то г, = ~/2ЕД, = ~/2Т5,Р, „ (5.24) где Є— средняя мощность сигнала. Отсюда вытекает, что любые сигналы с фиксированными параметрами Т, у", и со средними мощностями, 'не превышающими уровня Ро, отображаются точками, лежащими внутри многомерной сферы радиусом Р (Ро) = )г 2 Ту; Ро ° 5.3. Узхопопоспые сигналы 5.3. Узкополосные сигналы Предполагается, что пзо~ 0 опорная частота (5.25) Обе входящие сюда функции времени А,(г) и В,(г) являются низкочастотными в том смысле, что их относительные изменения за период высокочастотных колебаний Т= 2я/пзп достаточно малы.
Функцию А,(г) принято называть синфазной амплитудой узкополосного сигнала з(г) при заданном значении опорной частоты езп, а функцию В,(г) — его кеадратурной амплитудой. Синфазную и квадратурную амплитуды можно выделить аппаратурным способом. Действительно, пусть имеется перемножающее устройство, на один из входов которого подан узкополосный сигнал з(г), а на другой — вспомогательное колебание, изменяющееся во времени по закону саксо»а На выходе перемножителя будет получен сигнал и,„„(г) = А,(г) соз'езпг — '/,В,(г) яп2пзег = = '/зА,(г) + '/зА,(г) соз 2езег — '/гВ,(г) з(п 2езпг.
(5.2б) Пропустим выходной сигнал перемножителя через фильтр нижних частот (ФНЧ), подавляющий составляющие с частотами порядка 2езп. Ясно, что с выхода фильтра будет поступать низкочастотное колебание, пропорциональное синфазной амплитуде А,(г). Если на один из входов перемножителя подать вспомогательное колебание 51пезпц то такая система будет выделять сиифазная и квад- ратурная амплиту- ды з(г) сох ик пол ыпг В этом параграфе изучается особый класс радиотехнических сигналов с ограниченным спектром, которые возникают на выходе частотно-избирательных цепей и устройств.
По определению, сигнал называется узкополосным, если его спектральная плотность отлична от нуля лишь в пределах частотных интервалов шириной П, образующих окрестности точек +пзп, причем должно выполняться условие П/пзп ~ 1. Как правило, можно считать что частота езп, называемая опорной частотой сигнала, совпадает с центральной частотой спектра. Однако в общем случае выбор ее достаточно произволен.
Математическая модель узкополосного сигнала. Прямой путь к формированию математической модели узкодолосного сигнала состоит в следующем. Известно (см. гл. 2), что если /; (г) — низкочастотный сигнал, спектр которого сосредоточен в окрестности нулевой частоты, то колебание з, (г) = =/;(г)созгппг при достаточно большом значении езп будет обладать всеми необходимымц признаками узкополосного сигнала, поскольку его спектр окажется сконцентрированным в малых окрестностях точек +езп. Узкополосным будет и сигнал зз(г) =Уз(г)з(пезег, отличающийся фазой «быстрого» сомножителя.
Наиболее общую математическую модель узкополосного сигнала можно получить, составив линейную комбинацию вида 128 Глава 5. Сигналы с сграляченным спектром из узкополосного сигнала з(г) его квадратурную амплитуду Вэ (г). Комплексное представление узкополосных сигналов. В теории линейных электрических цепей широко применяется метод комплексных амплитуд, согласно которому гармоническое колебание выражается как вещественная или мнимая часть комплексных функций: У соз (сзсг + ~рс) = Ке ((1 е» еьь'), ()„з|п (юсг + ~рс) =!ш (()„е'" е»«). Не зависящее от времени число (1 = У сс' называют комплексной амплитудой гармонического колебания.
С физической точки зрения узкополосные сигналы представляют собой квазигармоннческие колебания. Следует попытаться так обобщить метод комплексных амплитуд, чтобы иметь возможность в рамках этого метода описывать сигналы вида (5.25). Введем комцдексную низкочастотную функцию Приставка «квази» означает «почти», «похожие» (5.27) комплексная бнющая оги- называемую комплексной огибающей узкополосного сигнала.
Легко непосредственно проверить, что з(г) = А,(г)соясз г — В,(г)з)пгссг = йеф,(г)е"'"'5. (5.28) Таким образом, комплексная огибающая применительно к узкополосному сигналу играет ту же роль, что и комплексная амплитуда по отношению к простому гармоническому колебанию.
Однако комплексная огибающая в общем случае зависит от времени — вектор С,(г) совершает на комплексной плоскости некоторое движение, изменяясь как по модулю, так н по направлению. Пример 5.4. Узкополосный сигнал зй) при г <0 и при г > 0 является гармоническим колебанием; в момент времеви г = 0 частота сигнала юмеяяется скачком: (, (2,сояоэ~б г< 0, ( (тесса«чь г > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
