Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Симво- Можно поступить и по-иному, выразив сигнал з(с) через л(е), который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (5.44) вытекает следующая связь между спектральными плотностями: 5 (а) = с эяп (а) 5 (а) . 135 5.4. Аналитический сигнал н преобразонннне Гнльберта А решите задачи 14 н 15 лическая запись их такова: '(с) = Н ~5(с)); 5(с) = Н-с Н)1. (5.47) Поскольку функция 1с«(с — т), называемая ядром этих преобразований, имеет разрыв при т = с, интегралы (5.45) и (5.46) следует понимать в слсысле главного значения.
Например; 1 , ( 5 (т) с)т ( 5 (т) с)т 5(с) = — 1пп ~ — + с — —— л«-о~ ~ с — т ) с — с ~ н ««« Некоторые свойства преобразований Гильберта, Простейшее свойство этих интегральных преобразований — их линейность: Н ~а« 5, (с) + азвс (сЦ = а, Н ~5« (с)з з+ а« Н ~вг (с)] при любых постоянных а, и а,, в чем можно убедиться непосредственно. Ядро преобразования Гнльберта есть нечетная функция аргумента т относительно точки т = с, а, значит, сигнал, сопряженный к константе, тождественно равен нулю: 1 ( сап зс Н (соп511 = — ~ 65 = О. я О Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо с исходный сигнал 5(с) достигает экстремума (максимума илн минимума), то в окрестности этой точки сопряженный сигнал проходит через нуль.
Чтобы убедиться в этом, нужно на одном чертеже совместить графики 5(т) и ядра 1ф — т). Пусть значение с близко к тому т, при ко~ором функция 5(т) экстремальна, Поскольку сигнал является здесь четной функцией, а ядро нечетной, будет наблюдаться компенсация площадей фигур, ограниченных горизонтальной осью и кривой, которая описывает подынтегральную функцию преобразования Гильберта. Образно говоря, если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряженный с ним сигнал будет изменяться «подобно синусу».
Отметим, что преобразования Гильберта имеют нелокасьный характер: подведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени, хотя наибольший вклад дает, конечно, достаточно близкая окрестность рассматриваемой точки. Преобразовавня Гнльберта для гармонических снгналов, Вычислим сигналы, сопряженные с гармоническими колебаниями соя еи и яп он. Результаты можно получить непосредственно из формулы (5.45).
Однако проще поступить таким образом, Пусть некоторый произвольный сигнал 5(с) задан своим Фурье-представлением: иелокальиый характер преобразований Гильберта Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром 134 О Г в (1) = — ~ 5 (а) [сов сог + ) яп а13 с)в. 2п Здесь функции ехр()вг) представлена по формуле Эйлера (5.48) На основании соотношения (5А4) находим аналогичное представление сопряженного сигнала: Г в (с) = — ~ — 1 ейп (а) 5 (в) [сов ас + у вг и аг) с(в = 2п е — вйп (01) 5 (со) [в1п Он — ) сов вг) йО. 2п Рассматривая формулы (5.48) и (5.49) совместно, находим следуюшие законы преобразования Гильберта: (5.50) Преобразование Гнльберта для узкополосного сигнала.
Пусть известна функция 6,(в) — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала в(1) с опорной частотой а,. Согласно формуле (5.3б), спектр данного сигнала 1 1 5(в) = — 6,(а — в,) + — 6,"(-а — соо). (5.51) Первое слагаемое в правой частй соответствует области частот а> О, второе — а < О. Тогда на основании формулы (5.44) спектр сопряженного сигнала 1 5 (а) = — 6, (в — во) е лгв + --6е ( — со — во) енг~, (5.52) откуда видно, что спектральная плотность комплексной огиг баюшей сопряженного сигнала (5.53) в решите задачу 1б Итак, сопряженный сигнал в данном случае также является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала (),(1) = А,(г) +ЗВ,(1), то в соответствии с равенством (5.53) комплексная оги- баюшая сопряженного сигнала ()1(С) = -20, (Г) = В, (г) — 1А, (Г) (5.54) отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на 90' в сторону запаздывания.
Отсюда следует, что узкополосному сигналу в(Г) = А,(Г) сова,г — В,(1) сйпв,г )З7 5.4. Аналитический сигнал и прсобрвзоваяие Гяльбертв (5.56) (5.57) (5.58) Пример 5.7. Дано простое гармоническое колебание з(г) = ио соз аоз. В этом случае сопряженный сигнал з(г) иск!пасе. Огибающая исходного сигнала и, = )ггз* (з) + зз (г) - и„ естественно, нс зависит от времени в равна его амплитуде. Полная фаза ф,(с) аег и, наконец, мгновенная частота а, = ае. Данный пример показывает, что определение огибающей, пояяой фазы и мгновенной частоты через преобразование Гияьбсртв приводит к результатам, согласующимся с обычными прслстввясииями о свойствах гармонических колебаний.
Пример 58. Колебание з(г) яеляется суммой двух гарлгонических составляющих с различныии аиялитудачи и частотачи; з(г) = = из соз азз ь из соз агг. Поскольку з(г) и,з)па,г+ и,з) огибающая такого сигнала изменяется во времени по закону и )уиган+ изз+2иги соз(а — а,)г. Полная фаза сигнала из зги агг + из ззв азз ф. (б - агсзй и, сазак+ из сова,г Скорость изменения фазы мини- мальна соответствует сопряженный по Гильберту сигнал з(з) = В,(з) соя аоз+ А,(г) в)п аоз.
(5.55) Вычисление огибаницей, полной фазы и мпзовенной частоты. В рамках метода преобразований Гильберта огибающая и,(Г) произвольного сигнала з(г) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала: Целесообразность такого определения можно проверить на примере узкополосного сигнала. Используя формулы (5.54) н (5.55), находим, что огибающая такого сигнала у и — Зллн)г В,'и.
В б 5.3 данная формула была получена из других соображений. По определению, полная фаза любого сигнала з(~) равна аргументу аналитического сигнала г,(з): Наконец, мгновенная частота а,(з) сигнала есть произвол- Рассмотрим примеры, иллюстрирующие вычисление указанных характеристик узкополосных сигналов. Согласно методу преобразований Гнльберта, огибаю- щаяя и мгновенная частоты сигнала жестко связаны друг с другом и их нельзя выбирать произвольно Однако в случае произвольного сю"- нала нельзя требовать, чтобы огибающая н мгновенная частота обладали наглядным физическим смыс- лом (Зв Глава 5. Сигналы с огранвчснным спектром Для пычнсленвя мгновенной частоты следует воспользоваться формулой (5.58), которая приводит к следующему результату: в,[с) = в,(ссг ч-вс(со г+ (сс(сс(в, + вг) О(в, — в)с (Сс, + (Сс + 2(С1(гс СОО (В, — В,) 1 Мгновенная частота изменяется по времена. Это связано с тем, что и данном случае фаза результирующего вектора, отображающего сумму двух гармоннчсскнх колебаний, изменяется с разлпчпой скоростью в запаспмостн от того, как ориентированы по отпошенпю друг к другу векторы слагаемых.
Пример бтк Рассмотрим идеальный полосоаой сигнал е(1), спектр которого при в > О отличен от нуля лишь на отрезке в, < в < в,. Соответствующий аналптичсский сигнал Скорость изменении фазы макси- мальва 5 О2 г,(1) — ) схрйвс) дв = и — [($1П Ось с — О!п в11) — с (ООО во 1 — соо в ге)) . бо Пс Огибающая исходного полосового сигнала 5о-' (с,(1) = — ~)г(пса в 1 — ил в 1)'+ (саов,с — соь в 1)' = пс $1П С Озз Вс 5о (вс — Оь 1) и В, — Оь, 2 Наконец, мгновенная частота сигнала б соов,с — соовсс~ со,(с) = — ~агсся 131" О!пв,с — Оспвсс Выполнив несложные преобразования, находам, что в данном случае в, =(в, + вс)/2 не зависит от времени н равна центральной частоте интервала, в котором сосрсдосочен спекср. Ос, В, Итак, зная аналитический сигнал, можно однозначно определять огибающую и мгновенную частоту узкополосного колебания, не применяя несколько искусственное понятие опорной частоты.
Более того, формулы (5.56)-(5.58) сохраняют смысл применительно к сигналам произвольного вида, не обязательно удовлетворяющим условиям квазигармоничности (узкополосности). Заключительные замечания. Теория аналитического сигнала применительно к задачам теории колебаний и волн была развита в 40-х годах в работах Габора [ЗО). Однако преобразования Гильберта появились в математике еще в начале ХХ в. в связи с так называемой краевой задачей теории аналитических функций [10). Сущность этой задачи состоит в следующем. Пусть с, = р + сс) — комплексная переменная, с (с,) — функция, аналитическая в верхней полуплоскости, т. е.
при с) > О. На вещественной оси, являющейся границей области аналитичности, функция )"(~) имеет как вещественную, так и мнимую Девеш Габор (1900 — 1979)— венгерский физик, создатель оптической голографии. Лауреат Нобелевской премии 1971 г. Результаты части: )(ч) =)< (б) +))з (ц). Требуется найти закон, связываюший между собой функции)<(1) и)з(б). Решение задачи дается преобразованиями Гнльберта: Х,(1) = Н[)',(4)),)',Ф= Н ' [),К)1. Можно показать [13), что аналитический сигнал г,(<) как раз обладаег свойством аналитичности в верхней полуплоскосги, если его рассматривать как функцию комплексной переменной с = <'+ /г". В последнее время методы, основанные на понятиях аналитического сигнала и преобразований Гильберта, прочно вошли в арсенал теоретической радиотехники.
Некоторые интересные проблемы в этой области описаны в [261, Это свойство н определяет происхождение термина «аналитический сигнал» Результаты »» Сигналы с ограниченным спектром бесконечно протяженны во врел<ени. »» Простейшие сигналы этого класса — идеальный низкочастотный и идеальный паласовой — наблюдаются на выходах соответствующих идеальных фильтров, возбуждаемых дельта-импульсами. »» Два идеальных ниэкочастотнь<х сигнала становятся ортогоиальными при соответствующем выборе сдвига во времени, Ряд Котельникова представляет собой частный случай обобщенного ряда Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
