Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Взяв в качестве опорной частоты гьс, получим следующее выраженне для комплексной огибающей данного сигнала: ст 8)= 1о' г<0' 1/,ел -" и, г > О. Подчеркнем, что выбор опорной частоты обычно диктуется удобством расчета. Так, например, комплексная огибающая рассматряваемсгс сигнала относительно опорной частоты (езс «ге,)/2 имеет более сложный ввл: . (щь — щ,) - (и~ иь) (тс ехр~ О,(О = оо акр~2 с<0, с > О. 5,3. Узкополосные сигналы 129 Физическая огибающая, полная фаза н мгновенная частота.
Формулу (5.27), определяющую комплексную огибающую, можно представить также в показательной форме: (5.29) Ранее, при изучении модулированных сигналов использо- валось именно зто понятие огибаю- щей Здесь 1)', (г) — вещественная неотрицательная функция времени, называемая физической огибающей (часто, для краткости, просто огибающей), ер,(1) — медленно изменяющаяся во времени начальная фаза узкополосного сигнала. Величины ()'„ )р, связаны с синфаэной и квадратуриой амплитудами соотношениями А,(1) = (),(1) соз ер,(Г), В, (г) = 1), (г) ап ср, (г), откуда вытекает еше одна полезная форма записи матема- тической модели узкополосного сигнала: з(г) = У,(5) соз [юог + )Р,(Р)]. (5.31) А решите задачи 7— 10 Берется арифметическое значение корня и новое значение комплексной огибающей У',(г) = 0,(5)е 5'"'.
(5.34) Однако при этом физическая огибающая, являющаяся модулем комплексной огибающей, останетсв неизл)енной, поскольку выражение ехр(-/Леп) имеет единичный модуль. Другое свойство физической огибающей состоит в том, что в каждый момент времени )з(Р)) < У,(Р). Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из формулы (5.31). Знак равенства здесь соответствует моментам 'времени, когда сов [юсР+ )р,(г)] = 1. Но при этом производные 5 Рсснсссснн)ссснс н с снын Подобно тому как зто делалось ранее при изучении радиосигналов с угловой модуляцией, введем полную фазу узкополосного колебания ф, (5) = юос + ер, (с) и определим мгновенную частоту сигнала, равную производной по времени от полной фазы: оз.
(1) = озо +— 5))Рс бг ' (5.32) В соответствии с формулой (5.3!) узкополосный сигнал общего вила представляет собой сложное колебание, получающееся при одновременной модуляции несущего гармонического сигнала как по амплитуде, так и по фазовому углу. Свойства физической опебающей узкополосного сигнала. Используя равенства (5.30), выразим физическую огибающую ()',(5) через синфазную и квадратурную амплитуды: н. ) ) - ) с, ) ) + с.' ) ) .
(5.33) Как отмечалось, комплексная огибающая узкополосного сигнапа определяется неоднозначно. Если вместо частоты юо, входящей в формулу (5.28), взять некоторую частоту юо = = юо + сзоз, то сигнал з(Г) должен быть представлен в виде з(г) = Ве [()',(5)е я 'еиь'] Глава 5. Снгналы с ограниченным спектром 130 сигналы и его огибающей совпадают: х (г) = (1',(г) (мог+ р,(1)3— — Гмо+ р'.(гП (У.(г) з(помог+ р*(г)1.
Важность понятия огибающей обусловлена тем, что в радиотехнике широко используются специальные устройства— амплитудные детекторы (демодуляторы), способность точно воспроизводить огибающую узкополосного сигнала. Свойства мгновенной частоты узкополосного сигнала. Если комплексная огибающая сигнала представляется вектором, который вращается на комплексной плоскости с неизменной угловой скоростью й, т.
е. 0,(г) = У,(г) ехр(+/йг), то в соответствии с выражением (5.32) мгновенная частота узкополосного сигнала постоянна во времени: от, = пто ~ й. Можно утверждать, что подобный сигнал представляет собой квазигармоническое колебание, промодулированное только ло амллиглуде, но не по фазовому углу. В частности, если одна из амплитуд А, или В, тождественно обращается в нуль, то в любой момент времени мгновенная частота го, = що.
В общем же случае мгновенная частота изменяется во времени по закону т(г) п,(г) Лмлллтулный летеетор (5.3з1 Связь между спектрами сигнала и его комплексной огибающей. Пусть 0,(пт) — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала з(г), который, в свою очередь, имеет спектральную плотность 5(пт). Нетрудно видеть, что Я(оу) = ) Ве(11,(г)о'"-'г3е Л" й = а Π— 0,(г) е т~'" е'нс)г+ — )' бе(г) е д'"тетибг = 2 т„т 2 1 1 — Ь = — 6 (пт — соо) + — 6,*( — от — соо). 2 (5.36) Физическая огибаинцая действительно «огибает» узкополосный сигнал и имеет смысл мгновенной амплитуды такого колебания Таким образом, спектральная плотность узкополосного сигнала может быть найдена путем переноса спектра комплексной огибающей нз окрестности нулевой частоты в окрестности точек +ото.
Амплитуды всех спектральных составляющих сокращаются вдвое; для получения спектра в области отрицательных частот используется операция комплексного сопряжения. Формула (5.36) полезна тем, что по известному спектру узкополосного сигнала позволяет найти спектр его комплексной огибающей, которая, в свою очередь, определяет физическую огибающую и мгновенную частоту сигнала. 5лй Ааапитический сигнал и преобразование Гильберта пример 5.5. узкополоспььй веи)ествеииый сигнал з(г) имеет при в > О спектральную плотпость, несимметричную относительно час- тоты всл о, о<в<в, 5(в) = с — Ып — пь) В > в На основании формулы (5.36) спектральная плотность комплекс- ной огибающей О, в<0, 6,(в) = 5ье™, в>О.
Используя обратное преобразование Фурье, находим комплекс- ную огибающую 0,(г) = — ) е' ь'л' бв = га, г (Ь-)г) Синфазиую и квадратуриую амплитуды исследуемого сигнала найдем, выделив вещественную и мнимую части: 2,(Ьг,. гз) * ' 2,(Ь* ~. Гз) в рещнте задачу 11 Физическая огибающая рассматриваемого сигнала (г', (г) = ~ й, (с) ( = гп)ггйз -~- гз Мгновенная частота в, (г) = вв е — агсгй ( — ') = вв л Ь/(Ь + г ) б ( г'.) з бг (Ь) имеет наибольшее значение, равное во + 1!Ь, в момент времени г =О. Осциллограмма колебания з(г) представляет собой симметричный радиоимпульс с ие постоянной во времени частотой заполнения.
5.4. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта Ниже будет описан еще один способ комплексного представления сигналов, часто применяемый в теоретических исследованиях. Замечательная особенность данного способа состоит в том, что он позволяет вводить понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала без той степени неопределенности, которая свойственна методу комплексной огибающей. Аналитический сигнал. Формула Эйлера соя ел = г/з(е'"'+ е '"'), представляющая гармоническое колебание в виде суммы двух комплексно-сопряженных функций, наводит на мысль о том, что произвольный сигнал з(г) с известной спектральной плотностью 5(в) можно записать как сумму двух составляющих, 132 Глава 5.
Сигналы с ограниченным спектром Иногда говорит, что формула (5.37) осуществляет процедуру разделении частот каждая из которых содержит или толька положительные, или только отрицательные частоты: О е(с) = — ( 5(в) е~"с йо = 2п м = — ) 5 (в) е"" йо + — )' 5 (в) е~" йо. 2п „ 2п о (537) Назовем функцию м г,(с) = — ) 5(в)е'"'йо к о (5.38) аналитическим сигналом, отвечающим вещественному колебанию е(с). Первый из интегралов в правой части формулы (5.37) путем замены переменной ~ = — в преобразуется к виду о 1 о 2п „2к„ вЂ” ) 5(в)е'"'с)со = — — ) 5(-с)е зс'с(г, = О = — ) 5(-Р) е л'с)ч = гь(г)/2.
2п 0 Поэтому формула (5.37) устанавливает связь между сигна- лами е (г) и е, (с): е(г) = с/е ~е, (с) + гр (с)д, или, (5.39) л (г) = Ке х,(г) . Мнимая часть аналитического сигнала У(г) =1ш х,(г) (5АО) сопряженный сиг- нал называется сапрялеенным сигналом по отношению к исходному колебанию е(с). Итак, аналитический сигнал х, (г) = я (с) + /у(с) (5.41) на комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу л(г). Введение аналитического и сопряженного сигналов, безусловно, не позволяет получить каких-либо новых сведений, которые не содержались бы в математической модели сигнала л(г).
Однако эгп новые понятия открывают прямой путь к созданию сиатематическнх методов исследования узкополосных колебаний. На конкретном примере покажем способ вычисления аналитического сигнала по известному спектру исходного сигнала. 5.4. Аналитический сигнал и преобразование Гиньберта 133 Пример 5.6. Пусть з(г) — идеальный низкочастотный сигнал с известными параметрами 5в и а, (см. 1 5.1). В этом случае аналитический сигнал и 5о ~ , 5о г, (г) = — 1 е' ' ба = — (е"'в — 1), — т, 0 ьв г и о уя Выделяя вещественную и мнимую части, получаем з(г) = — з1п(авг)/(а,г) (результат, известный ранее), 5оав я Графики этих двух сигналов приведены на рис. 5.3. Отметим, что сопряженный сигнал обращается в нуль в точке, где исходный сигнал достигает максимума Рис.
5.3. Исходный и сопряженный сигналы: à — ниеьньный низкочастотный сигнал; л — сопрвиенный с ннм сигнал Спектральная плотность аналитического сигнала. Исследуем слектральную плотность аналитического сигнала, т. е. функцию Е,(а), связанную с г,(г)-преобразованием Фурье: 2,(а) = ) г,(г)е '"'Й. На основании формулы (5.38) можно утверждать, что эга функция отлична от нуля лишь в области положительных частот: (5.42) Если 5(а) — спектральная плотность сопряженного сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье решите задачи 12 Л,(а) = 5(а) +3'5(а).
(5.43) н 13 Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром 134 Поэтому равенство (5.42) будет выполнятъся толъко в случае, когда спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом: 5(а) = — ) айп(а) 5(а) = ! е5(а), а < О, ( — Е5(а), а > О. (5.44) Абстрактно можно представить себе такой способ получения сопряженного сигнала: исходное колебание г(с) подается на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол — 90' в области положительных частот и на угол 90' в области отрицательных частот, не изменяя их по амплитуде.
Систему„обладающую подобными свойствами, называют квадратурным фильтром. Преобразование Гнльберта. Формула (5.44) показывает, что спектралъная плотносп сопряженного сигнала есть произведение спектра 5(а) исходного сигнала и функции †)эяп(а). Поэтому сопряженнътй сигнал представляет собой свертку двух функций: г(е) и Г(с), которая является обратным преобразованием Фурье по отношению к функции — ) ояп(а). Для удобства вычислений представим зту функцию в виде предела: -у яйп (а) = )пп 1 — ) ояп (а) ехр ( — с ~ а !)5. «о Кввиратуриыя фильтр Тогда о О Е'(е) = !пп ~ )т ен+"'"е)а — — (е' '+"""е)а = 1/(яс). «-о~ 2я 2л о Таким образом, сопряженный сигнал связан с исходным сигналом соотношением Умпоженнем иа экспоненциальный множитель обеспечиваем абсолютную нвтегрируемостьфувкцни н су- ществованнеобратного преобразования Фурье (5.45) Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (5.45) лишь знаком: 1 1 Г з(т)г!т з(Е) = — Б(с) Я« — =— кс ес ~ т — с (5.46) Формулы (5.45) и (5.46) известны в математике под названием прямого и обратного преобразований Гильберта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
