Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть у = Уосовх, гдв 1Уо = сопя, в то время иан х — значении случайной величины, равномерно раснрвдвлвнной на отрезие — л < х < я. Тлк как р„(х) 1/(2я), то 149 6.2. Системы случайных величин Используя табличный интеграл [15Ь получаем р,(у) — ~ уз(еие)еюде Г 2л 1 ,, (у(ц и,, я ~/З~ь у~ и, О, (у( > и . -и, Внд графика плотности вероятности связан с тем, что если выполнить большую серию опытов, каждый раз случайным образом выбирая значения х нз указанной области, то величава иесозх чаще будет принимать значения, блнзкие к + им нежели близкие к нулю.
6.2. Статистические характеристики систем случайиых вели вчи Отвечающая ей л-мерная плотность вероятности р (х„хз,..., х„) удовлетворяет соотношению р(х„хз,..., х„) г(х, дхз... дх„= = Р (х, < Х, < х, + бх„..., х„< Х„< х„+ дх„). Очевидно, функция распределения может быть найдена путем интегрирования плотности вероятности: Р(х„хз,...,х„) = 1 " ) р(1м гз,...,~„)ог„огз...гЦ„.. Любая многомерная плотность обладает свойствами, обычными для плотности вероятности: О р (х„хз,..., х„) > О; ( ". )г р (хм хз,..., х„) бх, бхз'...
дх„= 1. О ь Зная л-мерную плотность, всегда можно найти т-мерную плотность при ш < л, интегрируя по «лишним» координатам: р(х„хз,...,х )= ) " 1 р(хмх„...,х„)дх ь,...бх„. А решите задачу 8 Свойства случайных сигналов принято описывать, рассматривая не просто те величины, которые наблюдаются в какой-нибудь момент времени, а изучая совокупности этих величин, относящихся к различным фиксированным моментам времени. Займемся теорией подобных многомерных случайных величин.
Функция распределения н плотность вероятности. Пусть даны случайные величины (Хь Хз,..., Х„), образующие л-мерный случайный вектор Х. По аналогии, с одномерным случаем функция распределения этого вектора Р(х„хз,...,х„) = Р(Х, < х„Х, < хз,...,Х„< х,). 150 Глава 6. Основы теории случайных сигналов Вычисление моментов. Располагая соответствующей многомерной плотностью вероятности, можно находить средние значения любых комбинаций из рассматриваемых случайных величин и, в частности, вычислять их моменты. Так, ограничиваясь наиболее важным для дальнейше!о случаем двумерной случайной величины, по аналогии с (6.4), (6.7) находим математические ожидания х, = Ц хгр(х„хз)с(х! 11хз, (6.18) Х2 = 22 Х2Р(Х! Х2)С(Х12)Х2 — а и дисперсии 121 = Ц (Х1 Х!) )2(Х1 Х2)С)Х! С)хг — л (6.!9) 12,' = Ц (х, — хх)' р (х,, х,) Йх! бх,.
Новой по сравнению с одномерным случаем является возможность образования смешанного момента второго порядка К!2 = х!хз = )) х!хзр(х1 хз)с(хсс)хз, (6.20) новар нацио нный момент называемого ковариационным л!омгнзлалз системы двух случайных величин. 1 Корреляция. Предположим, что проведена серия опытов, в результате которых каждый раз наблюдалась двумерная случайная величина (Х„Х2!!. Условимся исход каждого опыта изображать точкой на декартовой плоскости. Может оказаться, что изображающие точки в среднем располагаются вдоль некоторой прямой, так что в каждом отдельном испытании величины х, и Х2 ил2еюл2 чаи1е всего одинаковый знак. Это наводит на мысль о том, что между х, и х, есть статистическая связь, называемая корреляцией.
Однако возможен случай хаотического расположения точек на плоскости. Говорят, что при этом рассматриваемые величины некоррелированы, т. е. между ними нет устойчивой связи в вероятностном смысле. Количественной характеристикой степени статистической связи двух случайных величин служит их ковариационный момент К„или, что часто удобнее, корреляционный момент Я12, определяемый как среднее значение произведения (х, — х,)(хг — хз): Й12 = 11) (х, — х ) (хз — хг) р(х,, хг) 1(х! 2)хз = К 2 — х хз. (6.21) корреляционный момент 6.2. Системы случайных величин 151 Э коэффициент кор- реляции Вводят также безразмерный коэффициент корреляции г12 = )112/(а1о2).
(6.22] Для совпадающих случайных величин, когда х, = х„имеют место равенства 2 1(ы = )122 = о г11 = ггг = 1 Если размерность случайного вектора больше двух, то можно построить всевозможные перекрестные корреляционные моменты к„.= ( ". ) (х1 — х1)(ху — хг)р(х„...,х„)дх1...дх„, 1', 1= 1, 2,...,л, и коэффициенты корреляции гц — — Я,Г/(а1о1), которые объеди- няются в соответствующие матрицы )112" 1(м 1 г,з...г, ~21 ~22 ''')~2» Г21 1 ...Г2 г= Я„1 К„2 ...Я„ Гв1 Гв2 принцип статистической независим- остии (Ь.23) Статистически независимые случайные величины некоррелированы между собой.
Действительно, для них Я„= 11 (х; — х)р1(х1)г)х1 )Г (хг — х1)р1(х1)дху —— О при 1~1. Обратное утверждение в общем случае неверно: из некоррелированности не вытекает автоматически статистическая независимость случайнь1х величин, Функциональные преобразования многомерных случайных велячин, П дположим. что составляющие двух случайных векторов Х и у связаны однозначной зависимостью У, = ) 1(х1, х2,..., х„), у„= )„(х1, хз,...,х„), Можно показать, что всегда ~Г1;~ < 1, причем равенство возможно лишь при условии х, = +х1 (полностью коррелированные величины). Статистическая независимость случайных величин.
По определению, случайные величины Х„Х,, „Х„си2лн2исн2ически независимы, если их многомерная плотность вероятностя может быть представлена в виде произведения соответствующих одномерных плотностей: Глава б. Основы теории случайных сигналов 152 причем известны обратные функции х/ К/ Ь/ У2 ' Ул) ф, дл, дХ/ ду, дуя ' аул (6.24) ~д„ д, д ду/ дУ2 ''' дул Тог а искомая плот (6.25) Пример 6.4. Пусть х, и хз — случайные координаты конца вектора на ляасхасти.
Перейдем к полярным квардияятям (р, ф): х, = рсояс» ( О < Р < со, хь = Рязп/р, ( О < /р < 2я. Якабяея такого преобразования 0=~~29 Рмпе~= Поэтому если задана платность вероятности рт„(х„хь), та А Рлр(Р Ц/) = Рулль(рсазс» РБ)пч/). решите задачу 14 1 р(хь, 2,...,хл) — (2 )л/2)Г)2/2 е 1 зхч (х, — и,) (х/ — т/) 2)г) с~ '/ о, (6.26) с /=! Якобнан служит коэффициентом пропорциональнос- тин между эле- ментарными объе- мами прн функцио- нальном преобра- зовании Хл = Кл (Уы У2,, У,). Исходная плотность вероятности р„,„(х„хз,...,хл) задана, Для того чтобы обобщить формулу (6.11) на многомерный случай и вычислить плотность вероятности рлр(ум Уя °" У) преобразованного вектора, следует найти якобиан преобра- зования д ность вероятности Р (У У ° .
У)=Р М ° Х2 ла ))2)). Многомерное гауссово распределение. Предположим„что для л-мерной случайной величины Х = (Хы Х„...,Х„) известны СОВОКУПНОСТИ СРЕДНИХ ЗНаЧЕНИй т„тз,...,тл И ДИСПЕРСИЙ СГ2 Оээ,...,плз, а таКжЕ МатрИца КОЭффнцнситОВ КОррЕЛяцИИ Г. В общем случае этих сведений нелостаточно для построения л-мерной плотности вероятности. Исключением является случай, когда Х вЂ” многомерная гауссова величина.
Тогда, по определению, тле ) г ) — определитель матрицы г; Ац — алгебраическое дополнение элемента гц определителя )г). 6.2. Системы случвяив|х величин 153 .| ч, ».)- ~|-Р(-;~ | | = р(х,)р(хз)" р(х„), где каждое из одномерных гауссовых распределений обладает параметрами ть оь Итак, если гауссова совокупность образована некоррелированными случайными величинами, то все они статистически независимы. В дальнейшем часто используется двумерная гауссова плотность вероятности 1 1 ~ (х,— т,)з р(х|, хз) = ехр 2.
-; ', )1, (, —,и,—,) о,оз |уз (6.27) где г = г„= г„— коэффициент корреляции составляющих х,' их,. Эта формула упрощается, если т, = т, = О и о, = оз = |и з Р(х|, хз) =,, ехр~ — 2(1 з),(х| — 2гх|хз+хз)(. (6.28) Подобная плотность вероятности отображается гладкой поверхностью, построенной над координатной плоскостью (х„х,).
Величина р(х|, хз) достигает максимума в начале координат. Конфигурация поверхности зависит от коэффициента корреляции г. Многомерная характеристическая функция. Обобщением понятий характеристической функции на многомерный случай служит и-мерное преобразование Фурье от соответствующей плотности вероятности: О(о,, о„..., о„) = ехр ~/(х, о, + хзо, +... + х„о„)5 = ΠΠ— 1 ". ( ехр 1)(х|о| + ... + х„о„)] р(хм...,х„) дх,...Йх„., (6 29) Многомерная характеристическая функция описывает систему случайных величин с той же степенью полноты, как и отвечающая ей плотность вероятности, выражаемая обрат- Важное свойство гауссора распределения заключается в следующем. Пусть вектор Х образован некоррелированными случайными величинами, так что в матрице г отличны от Символ Кронекера нуля лишь элементы на главной диагонали: гн =бц. При этом ) г ~ = 1, алгебраические дополнения Ац — — Бц.
Представим ЬΠ— — ~ ()', ° |=А эти величины в (6.26), получим ь Глава 6. Основы теории случайных сигналов ным преобразованием Фурье: О 1 р(х,, х„...,х„) = — „" 0(ог,...,о„)ехр[ — 1(х,о, + ... (2л)" ) ... + х„о„)1 с(о! ... до„. (6.30) Представление функции в виде произведения сомножителей называют факторизацией этой функции О(о„о„...,о„) = П Ог(о!). (6.31) Можно„показать, что многомерной гауссовой случайной величине Х = (Х, „, Х„) отвечает характеристическая функция T Э(о„о„...,о„) =ехр у лгео! — — ) <теоггыогсг, (6,32) е, 1=1 где лг! и о,' — среднее значение и дисперсия случайной величины Хь гн — элемент корреляционной матрицы.
Плотность вероятности суммы случайных величии. Если в формуле (6.29) положить о, =.о! = ... = о„= о, то многомерная характеристическая функция переходит в одномерную характеристическую функцию суммы х, + х, + ... + х„: Ох(о) = ехрд!(х, +хе+ ... + х„). Отсюда, выполнив обратное преобразование Фурье, можно найти плотность вероятности этой суммы.
Например. если (Х,, Х„) — гауссовы некоррелированные(а значит, и независимые) случайные величины с параметрами лг„а! каждая, то из (6.32) следует, что е Ю Ох(о) = ехр )о лг! — — о' ~!те~. (6.33) ! ! е=! Сравнивая этот результат с формулой (6.16), убеждаемся, что сумма нормальных случайных величин распределена также нормально, причем математические ожидания и дисперсии слагаемых суммируются: свойство характе- ристической функ- ции (6.34) В теории вероятностей доказывается гораздо более сильное утверждение, составляющее сущность центральной предельной теоремы А. М. Ляпунова [211. Согласно этой теореме, распределение суммы независимых случайных величин, диспер- центральная предельная теорема Если (Х„..., Х„) — совокупность статистцчески независимых величин, то на основании (6.29) многомерная характеристическая функция распадается на произведение одномерных характеристических функций отдельных случайных величин: 155 6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
