Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Вычислите среднее значение и дисперсию случайной величины, рассмотренной в задаче 3. 5. Найдите среднее значение и дисперсию случайной величины, имеющей плотность вероятности р(х) = '/зпехр( — н)х 0 при и > О. 6. Найдите связь между плотностью вероятности р, (х) случайной величины Х и плотностью вероятности р,(у) случайной величины У, которая получена путем функционального преобразования у = ехр( — хз). 7. Характеристическая функция О(е) случайной величины Х имеет вид О(е) = = 1/(1+ ез). Найдите плотность вероятности р(х) данной случайной величины. Более сложные задания 11.
Сигнал представляет собой сумму гармонических колебаний одной и той же частоты. Амплитуды слагаемых одинаковы и равны 5 В, начальные фазы могут незанисимо принимать лишь дна значения: 0 н !80'. Число слагаемых равно 30. Вычислите вероятность того, что результирующая Вмплитуда сигнала окажется больше 50 В. 12. Докажите, что если случайная величина У янляется суммой независимых случайных величин Х и У, то ее плотность вероятности есть свертка плотностей, отвечающих каждому из слагаемых: 8.
Совместная плотность вероятности р(х„ хз) двумерной случайной величины имеет вид р(х„хз) =(а'/я) ехр [ — а'(ха+ х~з)). Определите плотности вероатности случайных величии х,, х„ а также их математические ожидания и дисперсии. 9. Докажите, что для стационарности в широком смысле случайного процесса Х(г) с реализациями х(г) = Асозшг+ Вялы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины А и В обладали следующими свойствами: а) А=В=О, б) а~~=ацш в) АВ О.
10. Случайный процесс У(г) является суммой двух независимых гауссовых случайных процессов ХВ) и У(г), имеющих постоянные во времени математические ожидания ш„ т„ и дисперсии о'„, и„' соответственно. Найдите одномерную плотность вероятности суммарного процесса. р,(х) = ) рр(ь) р,(х — Одч. 13.
Координаты х, у случайной точки иа плоскости являются независимыми гауссовымн случайными величинами с параметрами ш„= т, = О, а'„= агз = и'. Найдите плотность нероятиости длины случайного радиуса-вектора этой точки. 14. Предложите структурную схему прибора для измерения двумерной плотности вероятности эргодического случайного процесса. — — - — — — Глава.
7 корреляционная те- ория Ю 1 х(с) = — ~ 5„(а)ем'йо 2к (7.1) В общем случае реалнзацнв случайного процесса не являются абсолютно интегрируемыми на всей осв времени. Поэтому к нх спектральным плотностям следует относиться как к обобщенным функциям (см. гл. 2) Корреляционная теория случайных процессов Наряду с полным описанием свойств случайных сигналов с помощью многомерных плотностей вероятности возможен упрощенный подход, когда случайные процессы характеризуются своими моментными функциями.
Теория случайных процессов, основанная на использовании моментных функций не выше второго порядка, получила название корреляционной теории. В данной главе будет показано, что между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов существует глубокая и тесная связь. 7.1. Спектральные представлены стационарных случайных процессов В гл. 2 была развита спектральная теория детерминированных сигналов.
Из-за вероятностного характера отдельных реализаций прямой перенос методов спектрального анализа в теорию случайных процессов невозможен. Однако удается получить ряд важных спектральных характеристик случайных колебаний, преобразуя по Фурье некоторые функции, получаемые путем усреднения реализаций. Спектральные плотности реализаций. Рассмотрим стационарный случайный процесс Х(с) с нулевым математическим ожиданием: х =О. Отдельно взятая реализация этого процесса есть детерминированная функция, которую можно представить в виде обратного преобразования Фурье с некоторой детерминированной спектральной плотностью 5„(а). Для того чтобы описать весь ансамбль реализаций, образующий процесс Х(с), естественно допустить, что спектральные плотности 5„(а) сами являются случайными функциями частоты.
Таким образом, случайный процесс во временнбй области порождает другой случайный процесс в частотной области. Если реализация случайного процесса представлена в форме (7.1), то говорят, что осуществлено спектральное представление этого процесса. Ключевую роль в спектральной теории случайных процессов играет ответ на следующий вопрос: какими свойствами должны обладать случайные функции Я„(а) для того, чтобы процесс Х(с) был стационарным в широком смысле? Свойства случайной спектральной плотности. Для ответа на поставленный вопрос прежде всего усредним мгновенные значения сигналов х(г) по ансамблю реализаций: Ы вЂ” 1 à —., х(г) = — ~ 5,(в) е'"'дв = О.
2н Это равенство будет выполняться тождественно при любом значении г. если потребовать выполнения условия Я„(в) = О. Итак, случайная спектральная плотность отдельных реализаций стационарного случайного процесса должна иметь нулевое математическое ожидание на всех частотах. Теперь нужно определить, при каких условиях функция корреляции К„(т) зависит лишь от сдвига т между сечениями. Воспользуемся тем, что сигнал х(1) вещественный, так что наряду с (7.1) справедливо равенство « 1 Г х (1) = х' (Г) = — ~ 5* (в) е '"' с(в .
2н Ф (7.2) Запишем выражение функции корреляции процесса Х(1), используя спектральные разложения случайных реализаций: и„ (т) = Х (1) Х (Г + Г) = Хь (Г) Х (1 + т) = О 1 ~ 5„(в) 5* (со') е""'е"" " двдв' = (2н)Я 1 2 ве «( (2к)з (7.3) Здесь во внутреннем подынтегральном выражении содержится множитель Я (в) 5,*(в'), имеюуций смысл функции корреляции случайной спектральной плотности. Для того чтобы функция й„(т) не'зависела от времени й необходимо, как это видно из выражения (7.3), потребовать выполнения следующей пропорциональности: 5 (в) К*(в') б(в — в'). Таким образом, случайная спектральная плотность 5 (в) стационарного процесса имеет специфическую структуру: ее значения, отвечающие любым двум несовпадающим частотам, некоррелированы между собой.
В то же время средний квадрат (дисперсия) случайной спектральной плотности неограниченно велик при любых частотах. Такой вид корреляционной связи, с которым мы часто будем сталкиваться в дальнейшем, называется дельта-норрелирояанлостьв. Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса. Введем в формулу (7.4) множитель пропорциональности, зависящий от частоты, и запишем это равенство таким образом: 5„(в) 5„'(в') = 2н)4' (в) Ь(со — в). (7.5) дельтя-коррелиро- ваиность спектральная плотность мощности 7.1. Спектральные прелстяялення стационарных случайных процессов 165 166 Глава 7.
Корреляционная теория случайных процессов Функция И' (гп), играющая фундаментальную роль в теории стационарных случайных процессов, называется спектральной плотностью мощности процесса Х(г). В дальнейшем лля краткости эту функцию будем называть также спектром .Ч ности. Подставив (7.5) в (7,3), приходим к важному результату: Здесь и в дальнейшем отсутствие индексов при функциях показывает, что результаты справедливы по отношению к любым случайным процес- сам (7.6) Итак, функции корреляции и спектр мощности стационарного случайного процесса связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому (7.?) Формулы (7.6) и (7.7) составляют содержание теоремы, доказанной в 1934 г известным советским математиком А. Я.
Хинчиным и независимо от него американским ученым Н. Винером. Данная теорема в теории случайных процессов получили название теоремы Винера — Хин чина. Для того чтобы выяснить физический смысл понятия энергетического спектра, положим в (7.6) т = О. Тогда, поскольку Я(О) = о', получаем О теорема Винера †Хинчн о = — ~ И'(гп)йо. 2 2к (7.3) Если случайный сигнал является напряжением, то его спектр мощности имеет размерность Вз с/рад, т.
е. размерность удельной мощности, выделяемой на единичном резисторе т решите задачи 1 н 2 Дисперсия о', равная средней мощности флуктуаций стационарного случайного процесса, есть, таким образом, сумма вкладов от всех участков частотной оси. Следует подчеркнуть различие между энергетическим спектром И„'(пз) детерминированного импульсного сигнала и(г) (см. гл. 3) и спектральной плотностью мощности И'„(пз) стационарного случайного процесса Х(г). Функция И:(гп) характеризует меру энергии, приходящуюся на единичную полосу частот.
В отличие от этого функция И'„(из) характеризует удельную меру маи)ности. Этот факт находит отражение и в разных физических размерностях данных функций. По своему физическому смыслу спектр могцносгн веществен и неотрицателен: И'(из) > О. Данное свойство накладывает весьма жесткие ограничения на вид допустимых функций корреляции (с этим мы уже сталкивались в гл. 3, изучая корреляционные свойства детерминированных сигналов). Необходимо указать также на следующее обстоятельство. Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса, будучи всегда вещественной, не содержит никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными составляющими. Поэтому по спектру мощ- 7.1. Спектральные прелстлвлепня стационарных случайных процессов 1б7 )1 (т) = — ~ Ил(ю) сох щт дщ, о (7.9) А решите задачу 3 )О, /<О, 12И'(2и/), )') О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
