Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Базисными функциями здесь являются идеальные низкочастотные сигналы, сдвинутые во врел<ени относительно друг друга на интервалы, кратные величине я/аз,. »» Коэффициентами ряда Коте,<ьиикова служат отсчеты разлагаемого сигнала, взятые через равные прол<ежутки времени Если в спектре сигнала отсутствую<л составляющие с частотоии выше )ы то ряд Котельникова дает точное <'в средиеквадратическои смысле) представление сигнала. Ширина спектра узкополосного сигнала значительно меньше центральной частоты.
Узкополосные сигналы являются квазигормоническилш — их амплитуда и частота в общем случае медленно изменяются во времени. »» Понятие комплексной огибающей обобщает понятие комл<ексной амплитуды на случай узкополосных сигналов. '»» Физическая огибающая равна .модулю комплексной огибающей. Ее вид не зависит от выбора опорной частоты сигнала. »» Мгновенная частота узкополосного сигнала есть сумма опорной частоты и производной ло времени от аргумента комплексной огибающей.
»» Спектр узкополосного сигнала получается путем переноса спектра его комплексной огибающей на отрезок, численно равный значению опорной частоты. »» Каждому вещественному сигналу может быть сопоставлен комплексный анолипшческий сигнал, имеющий спектральные составляющие лишь в области положительных частот. Вещественная часть аналитического сигнала равна исходному сигналу. Мнимая часть его называется сопряженным сигналом. »» Связь между исходным и сопряженныл< сигналами устанавливается ларой интегральных преобразований Гильоерта. »» Огибающая произвольного сигнала равна модулю соответствующего аналитического сигнала Мгновенная частота определяется как производная от аргумента аналитического сигнала.
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Вопросы Задачи 1. Почему сигналы с ограниченным спектром являются подходящими математическими моделями для описания реальных колебаний в радиотехнических усгройствах7 2. Каковы примерные осциллограммы идеального низкочастотного и идеального полосового снгналов7 3.
Каковы основные свойства функций, образующих базис Котельникова? 4. Как формулируется теорема Котельникова? 5. Каков наглядный смысл размерности пространства сигналов, ограниченных по спектру и по длительности7 Оцените типичную величину размерности. 1. Идеальный низкочастотный сигнал имеет модуль спектральной плотности, равный 5,5 10 з В с в полосе частот от 0 до 25 кГц. Определите максимальное мгновенное значение такого сигнала.
2. Измерения показали, что идеальный полосовой сигнал характеризуется следующими параметрами: 9 = 20 мкс, Уе 15 В. Найдите ширину полосы частот этого сигнала и модуль его спектральной плотности в пределах этой полосы. 3. Автоматическая метеостанция передает данные о состоянии атмосферы каждые два часа.
Квхова наивысшая частота в спектре передаваемого сообщения? 4. Сигнал с ограниченным спектром е(г) имеет график спектральной плотности У(аз) треугольной формы: 6. Как выглядит характерная осциллограмма узкополосного сигнала? 7. В чем состоит способ аппаратурного нахождения синфаз ной и квадратур ной ампл итуд узкополосного сигнала? 8. Каковы свойства физической огибающей узкополосного сигнала? 9. Как связаны между собой спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов? 10. Как вычисляют преобразование Гнльберта для узкополосного сигнала? 11. Почему метод аналитического сигнала обладает большей общностью по сравнению с методом комплексной огибающей? Определите коэффициенты ряда Котельникова длк этого сигнала, полагая, что отсчеты взяты через интервалы времени я/ыв.
5. Сигнал с ограниченным спектром точно описывается двумя отличными от нуля отсчетами: Чему равна верхняя частота в спектре этого сигнала? Найдите мгновенное значение сигнала в момент времени г П мкс. 6. Как изменится ошибка аппроксимации сигнала, рассмотренного в примере 53, если темп выдачи отсчетов увеличить в 10 раз? 7. Сигнал з(г) как прн с ( О, так и при г > 0 представляет собой гармоническое колебание; в момент времени г = 0 фаза сигнала изменяется скачком на 180': ' Напишите выражение комплексной огибающей этого сигнала. 8. Найдите комплексную огибающую импульса включения гармонической ЭДС: Более сложные задания 141 -вг -Осс-в 1 1 0 О1, 101 Вз Об а р тите внимание на велнчину начаяьной фазы сигнала.
9. О . Определите комплексную огибающую сигнала с однотональной угловой моду. ляцией: и(с) =(гесса(вес+сяяпйс). 1п. О. Напишите выражение комплексной огибающей прямоугольного ЛЧМ-импульса (см. гл. 4). 11. У . Узкополосный сигнал в окрестности опорной частоты вс имеет спектральную плотность гауссова вида: 5(в) 1(ОВО еср [ — б(в — ве)1). Определите спеьтр комплексной огибающей этого сигнала. Найдите закон изменения во Более сложные задания 17, , Докажите теорему Котельникова в частотном представлении, которая фо м ли- ру так: если сигнал з(с) тоскдествен о ется р улн- р вен нулю вые ынтервала времени с, < с < сз, а то спектральная плотность 5(С) однозначно задается последовательностью ее значений в точках на оси частот, отстоящих на 111(сс — сг) Гц друг от друга.
1. 8. Обобщите теорему Котельннкова на случай паласовых сигналов, спектр которых прн в > 0 отличен от нуля лишь в области е в, <в < вс. Найдите аналитические выр- ж ння базисных функций таких сит ал а- 19. палов. . Узкополосный сигнал представлен в виде з(с) = А,(с)соввсс -В,(с) япвсс. Найдите условия, которым должны удовлетворять фу»кцин А,(с) н В,(с) для того, чтобы мгновенная частота сигнала оказалась по- стоянной во времени. 20.
. Найдите аналитический сигнал, соот- ветствующий колебанию, у которого спект- ральная плотность временн физыческой огибающей. Вычислит мг иге гновенную частоту, сравнив результат с тем, который получен в примере 5.5. Чем объяс- няется их принципиальное различие? 1. т. Найдите аналнтнческые сигналы, соот- ветствующие гармоническим колебаниям ЯП ВОС Ы СОЗ ОООС 13. . пы числите аналитический сигнал, соот- ветсгвующнй радиоимпульсу и (с) = (сс [а (с)— — а (с — тя)5 соз в,с с прямоугольной оги- бающей.
14. . пычнслите сигнал, сопря:кенный с гар- моннческим колебаыием созв,с непосредст- венно, используя преобразование Гильберта вида (5.45). 1. 5. Решите задачу, аналогичную предыду- щей, применительно к сигналу з(с) = = яп вес/(вес). 1, б, Покажите, что синфазная и квадра- туриая амплитуды узкополосного сигнала з(с) связаны с компонентамн аналитическо- го сигнала слелующнм образом: АО(с) з(с)созвсс+1(с)з)овес, ВО(с)=з(с)созвсс-з(с)зспв с. помимо регулярной части имеет составляющую с дельта-особенностью, 2 .
""-адамы теории аналитического снг- 21. нала изучите огибающую н мгновенную частоты однотональиого ОБП-сигнала (см. гл. 4). 22. Используя обобщенную формулу Рэлея, докажите, что сигнал з(с) с конечной энергией и сопряженный по Гильберту сигнал с(с) ортогональны. 2. 3. Докажите, что сигналы з(с) и з(с) имеют равные энергии и одинаковые автокорреляцнонные функции. Глава 6 Основы теории случайных сигналов флуктуации Большие отклоне- ния редки 6Л.
Случайные величины н нх характеристики В настоящем пара~рафе приведены основные понятия теории вероятностей применительно к задачам статистической радиотехники. Более полное изложение этих вопросов можно найти в 1111, [221. В последние десятилетия широкое развитие получила научная область, называемая стаеистиической радиотехникой. Эта дисциплина изучает явления при передаче сообщений в условиях, когда детерминированное описание сигналов принципиально невозможно и на смену ему приходит вероятностное (статистическое) описание. Как указывалось в гл.
1, отличительная черта случайного сигнала состоит в том, что его мгновенные значения заранее не предсказуелзьь Однако, изучая такой сигнал более пристально, можно заметить, что ряд характеристик весьма точно описывается в вероятностном смысле. Например, напряжение на зажимах нагретого резистора представляет собой последовательность малых, быстро изменяющихся во времени случайных отклонений, называемых флукгиуапиями. Примечательно, что чаще всего наблюдаются относительно небольшие отклонения от среднего уровня; чем больше отклонения по абсолютному значению, тем реже они наблюдаются. Уже в этом проявляется некоторая статистическая закономерность. Располагая сведениями о вероятностях флуктуаций различной величины, удается создать математическую модель случайного колебания, вполне приемлемую как в научном, так и в прикладном смысле.
Вероятные законы возникают всегда, если физическая система, порождающая случайный сигнал, представляет собой объединение очень большого числа более мелких подсистем, совершающих некоторые индивидуальные движения, в большей или меньшей степени не зависимые друг от друга. В радиотехнике случайные сигналы часто имеют вид шумов.
Это хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, наблюдаемые в разнообразных физических системах, где носители заряда, например электроны, совершают беспорядочные движения. К математической модели случайного сигнала прибегают также в теории информации для вероятностного описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям. Наконец, статистическую природу имеют сигналы в лазерных линиях связи. Ввиду сравнительно большой энергии кванта электромагнитного поля (фотона) здесь принципиально необходимо учитывать специфический квантовый шум.
6.1. Случайные величины и лх характеристики 143 Аксиомы теории вероитиостей были сформулированы в 30-х годах академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым (1903 — 198 Л Измерение вероятностей. Математическое понятие вероятности случайного события является абстрактной характеристикой, присущей не самим интересующим нас объектам материального мира, а их теоретико-множественным моделям. Требуется некоторое дополнительное соглашение для того, чтобы можно бьшо извлекать сведения о вероятностях нз экспериментальных данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
