Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах не способна оперировать «будущими» значениями входного сигнала. Физически реализуемая система должна быть, кроме того, устойчивой. Это означает, что ее импульсная характеристика должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости ) ~л(с)(с(с < со. (8.14) Переходная характеристика. Пусть на входе линейной стационарной системы действует сигнал, изображаемый Примеры импульсных характеристик реализуемых сис- тем 8,2. Импульсные, переходные н частотные характеристики систем функцией Хевисайда о(с).
Выходную реакцию я(с) = То(1) (8 15) принято называть переходной харакаыриссникай системы. Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относительно временнбго сдвига: я(с — са) = То(с сс). Высказанные ранее соображения о физической реализуемости системы полностью переносятся на случай, когда система возбуждается не дельта-функцией, а единичным скачком.
Поэтому переходная характеристика физически реализуемой системы отлична от нуля лишь при у>0, в то время как а (с) = 0 при с < О. Между импульсной и переходной характеристиками имеется тесная связь. Действительно, так как Ь(г) = с(о/с(г, то на основании (8.5) Го й(~) =Т~ — -() ~бс Оператор дифференцирования д/с)с и линейный стационарный оператор Т могут меняться местами, поэтому (8.16) или а(с) = ) Й(ь) дР,. (8.17) Воспользовавшись формулой динамического представления (1.4) и поступая так же, как и при выводе соотношения (8.8), получаем есле одну форму интеграла Дюамеля: и,„„(г) = и„„(0) а (с) + — '" я (г — т) дт. (8.18) т о Частотный коэффициент передачи.
При математическом исследовании систем особый интерес представляют такие входные сигналы, которые, будучи преобразованы системой, остаются неизменными по форме. Если имеется равенство и,„„(г) = Ти,„(с) = Хи„(с), (8.19) собственные функ- ции н собственные Знвчення то и,„(с) является собсаыенной функцией системного оператора Т, а число ) в общем случае комплексное,— его собсгавенным значением.
Покажем, что комплексный сигнал и,„(с) =ехр0лн) при любом значении частоты оу есть собственная функция линейного стационарного оператора. Для этого воспользуемся интегралом Дюамеля вида (8.9) и вычислим и,„„(с) = ) емп нй(т)с)т =( ) й(т)е "'с(т)ехр0ои). (8.20) 193 Глава 8. Воздействие сигналов на пннсяныс стационарные системы (8.21) (8.22) Здесь Кь(/со) — частотный коэффнциесгг передачи между у-м входом н 1'-М ВЫХОДОМ 11 К12'''К!ю 21 К22 ° К2 К()сэ) = (8.23) Кс1 Ксз'''К Ум ком (8.24) Имеются приборы, позволяиицие экспериментально измерять АЧХ н ФЧХ радиотехнических устройств в самых различных диапазонах частот Отсюда видно, что собственным значением системного оператора является комплексное число называемое частотным коэффициентом передачи системы.
Формула (8.21) устанавливает принципиально важный факт — частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны лсеэссду собой преобразование.и Фурье. Поэтому всегда, зная функцию К()ис), можно определить импульсную характеристику Мы подошли к важнейшему положению теории линейных стационарных систем — любую такую систему можно рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной илн переходной характеристик, либо в частотной области, задавая частотный коэффициент передачи. Оба подхода равноценны и выбор одного нз них диктуется удобствами получения исходных данных о системе и простотой вычислений.
В заключение отметим, что частотные свойства линейной системы, имеющей т входов и п выходов, можно описать матрицей частотных коэффициентов передачи Между матрицами )с(с) и К()сз) существует закон связи, аналогичный тому, который задан формулами (8.21), (8,22), Амплитудно-частотнаа н фазочастотиаа характеристики. Функция К()со) имеет простую интерпретацию: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой сс и комплексной амплитудой (з',„, то комплексная амплитуда выходного сигнала (),.„= К() ) (),„. Часто пользуются представлением частотного коэффициента передачи в показательной форме: К9о) = ~ К()св)! ехр 1(срк(со)З (8.25) Обе входящие сюда вещественные 'функции носят специальные названия: ~ К(усв) ( — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), сук(в) — фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.
199 8.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики систем Ограничении, накладыааемые на частотный коэффициент передачи. Далеко не каждая функция К()зл) может являться частотным коэффициентом передачи физически реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с тем, что импульсная характеристика й(г) такой системы обязана быть вещественной. В силу свойств преобразования Фурье (см. гл. 2) это означает, что Кфо) = К" ( — ссо). свойства АЧХ н ФЧХ В соответствии с формулой (8.26) модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) — нечетная функция частоты. Гораздо сложнее ответить на вопрос о том, каким должен быть частотный коэффициент передачи для того, чтобы выполнялись условия физической реализуемости (8.12) и (8.14). Приведем без доказательства окончательный результат, известный под названием критерия Пэли — Винера: частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл ! 1п ! К (уса) ~) (8.27) 1+ со " Рассмотрим конкретный пример, иллюстрирующий свойства частотного коэффициента передачи линейной системы, критерий Пэля— Винера Данная функция отлична от нуля нрн г < 0 О, тс — со„ К От) = Ко ехр(-)сосо), - со, < со ц т„ О, со > ов,.
Пример 8.5. Некоторая липейпая стационарная система имеет свойства идеального ФНЧ, т. е, ее частотный коэффициент передачи задается системой равенстве О, со с — со„ К ()т) Ко — оэв Ц со Я сов О, т>сов. На основании выражеиив (8.20) импульсная характеристика такого фильтра пв Г, Котя всп тес й(с) = — ~ емс йт = —— 2п 'с твс ив Симметрия графика этой фуикиии отиосвтельио точки с = О свидетельствует' о иереализуемости идеального фильтра нижних часгот.
Впрочем, этот вывод непосредственно вытекает из критерия Поли — Винера. Действительно, интеграл (8.27) расходится ллх любой АЧХ, которая обращается в нуль иа некотором конечном отрезке оси частот. Несмотря ва иереалвэуемость идеального ФНЧ, эту модель с успехом используют лля приближенного описания свойств частотны фильтров, полагая, что функция Кфт) содержит фазовый множитель, линейно зависящий от частоты: Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы Как нетрудно проверить, здесь нмпульснан характеристика Квюл взныв(г гв) " ')- ° «,( г,) (8.29) Параметр гв, равный цо модулю коэффициенту наклона ФЧХ, определяет задержку во времени максимума функции 8(!). Ясно, что данная модель тем точнее отображает свойства реализуемой системы, чем больше значение гв. (8.30) порядок динамиче- ской системы Пример 8.6.
Дана ДС-цепь вида Г-абразнага чгтмрвхпалюсника, возбуждаемая са стороны входа источником ЗЛС и,„(!). Выходным сигналам служит напряжение на конденсаторе, Поскольку ток в цепи ! (!) = С ди,„„/бг, используя второй закон Кирхгофа, получаем дифференциальное уравнение + ивьа = ивх. (8.32) б! Именно такой оказывается динамическая связь между мгновенными значениями входного и выходного сигналов в электрической цепи с сосредоточенными параметрами.
Если цепь лниейна и стацнонарна, то все коэффициенты аш аг,...,а„иЬо, Ьь Ь вЂ” постоянные вещественные числа 8.3. Линейные динамические системы Линейными динамическими системами принято называть устройства, характеризуемые следующим свойством: их выходной сигнал определяется не только величиной входного сигнала в рассматриваемый момент времени, но и «предысторией» этого сигнала. Иначе говоря, динамическая система обладает некоторой конечной или бесконечной «памятью», от характера которой зависят особенности преобразования входного сигнала. Системы, описываемые дифференциальными уравнения»я. Среди всевозможных динамических систем большое значение для теоретической радиотехники имеют те, которые описываются дифференциальными операторами. В общем случае речь идет о системах, для которых связь между одномерными входным и выходным сигналами устанавливается с помощью следующего дифференциального уравнения: Предположим, что входной сигнал и,„(г) задан. Тогда правая часть уравнения (8.30), которую можно условно обозначить)'(!), является известной функцией.
Анализ поведения системы сводится при этом к хорошо изученной в математике проблеме решения линейного дифференциального уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами: )в-1 г(!" Порядок и этого уравнения принято называть порядкам динамической систвмьь Рассмотрим несколько примеров динамических систем и соответствующих им дифференциальных уравнений.
блм Линейные динамические системы Итак, ЯС-цель служит примером динамической системы 1-го порядка. Важнейший параметр этой цепи — постоянная времени т = йс, определяющая характерный временной масштаб протекания процессов в системе, Пример 8.7. Дана более сложная система, образованная двумя Яс-цепями, которые разделены идеальным усилителем с коэффициентом усиления Ко. Входное сопротивление усилителя неограниченно велико, а выходное сопротивление бесконечно мало, поэтому усилитель является идеальным элементом развязки между цепями. Системы первого порядка называют также инерционнымии звеньямн ° х Вводя две постоянные времени т, = йхСх и тз — — ВзСэ, по анадогии с предыдущим примером имеем следующие дифференциальные уравнения 1-го порядка: х)ихих тз ионх = )хоих дг бих т, — +и,=и,„(г). бг Исключив отсюда вспомогательную величину и„получаем дифференциальное уравнение цепи: (8.33) Рассмотренная здесь более сложная Яс-цепь оказывается уже системой 2-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
