Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Примером такой системы может служить многозвенный усилитель. Положим, что известны частотные коэффициенты передачи отдельных звеньев К„()оз), л = 1, 2,...,Ж. Возбуждая первое звено сигналом и,„(г) =ехр()оэг), получим на выходе сигнал и, „(Г) = Кз()оэ)Кз(но)" Ки(Уп)ехрФпз) откуда результирующий коэффициент передачи К()оэ) = П К ()оэ). 1 (8.55) В инженерных расчетах АЧХ систем часто выражают в логарифмических единицах — децибелах.
Если на некоторой частоте оз известен модуль частотного коэффициента передачи, то усиление системы, выраженное в децибелах (дБ), А = 20!8 ~ К 9о) ~. (8.5б) Если ( К(1оэ) ~ < 1, то система ослабляет сигнал и усиление оказывается отрицательным. Легко видеть, что при каскадном соединении звеньев их усиления суммируются алгебраически: усиление системы (8.57) Дифференцирующие н интегрирующие цени. Линейные цепи широко применяют для преобразования формы импульсных радиотехнических колебаний. Рассмотрим ЯС-цепь, возбуждаемую источником ЭДС; выходным сигналом является напряжение на резисторе.
Дифференциальное уравнение данной цепи имеет вид бил г)и,„ т — +ия=т — '", (8.58) бг г)г , ЗА. Спектральный метод 213 Если постоянная времени т мала настолько, что в любой момент времени бия т — ~!ик! й то первым слагаемым в яевой части уравнения (8.58) можно пренебречь по сравнению со вторым и записать ия(т) а т —. с)г ' (8.60) (8.59) Сигнал ни входе Такая ЯС-цепь выполняет операцию нриблиоссенного дифференцирования сигнала. Схемотехническое применение дифференцнрующих цепей — создание обострителей импульсных сигналов.
Выполнение неравенства (8.59) зависит не только от параметров цепи, но и от характеристик входного сигнала. Для оценок здесь проще всего воспользоваться анализом в частотной области. Частотный коэффициент передачи рассматриваемой цепи К()со) =/тот/(1 +/пж) будет достаточно близок к частотному коэффициенту передачи идеального дифференциатора: К()то)ъ/озт, если произведение ют пренебрежимо малб по сравнению с единицей в области частот, где сосредоточена основная доля энергии сигнала. Например, пусть входной сигнал — прямоугольный видео- импульс длительностью т„. Используя грубую оценку верхней граничной частоты в спектре такого импульса: оз, = = 2п/т„, получаем условие, обеспечивающее пригодность ЯС-цепи для приближенного дифференцирования данного сигнала: ! ! ! ! и на выходе диф- ференцируюшей це- пи ЯС ~ т„/(2я), (8.61) Диаметрально противоположными свойствами может обладать ЯС-цепь, у которой выходной сигнал, снимаемый с конденсатора, удовлетворяет уравнению йс решите задачу 9 «)ис т — + ис = и вс- Если параметры цепи и входного сигнала таковы, что с)ис 1 т — зь !ис), то бк с с(г) — ~ *(ч) оч.
(8.62) ЯС-цепь с такими свойствамн называется инеегрируюи(ей целью. Приближенное интегрирование выполняется тем точнее, чем больше относительная доля высокочастотных составляющих в спектре входного сигнала. Действительно, поскольку здесь К(1со) = 1/(1 +/озт), приближенное равенство К (/ю) ка 1/(/тот), обеспечивающее интегрирующие свойства цепи, Глава 8.
Воздействие сигналов на линейные стаанонерные системы 214 будет справедливо при оэ„т ~ 1, где т„ — нижняя граничная частота спектра. Интегрирующие цепи дают возможность подавлять высокочастотные составляющие спектра входного сигнала и поэтому часто используются как сглаживающие фильтры.
Кроме того, они могут преобразовывать скачкообразные перепады входного сигнала в линейно нарастающие импульсы на выходе. Геометрическая интерпретации процесса преобразования сигнала в линейной системе. Спектральный метод позволяет наглядно интерпретировать преобразования сигналов, которые происходят при их прохождении через линейные стационарные системы. С геометрических позиций, развитых в гл.
1, системный оператор Т вЂ” это правило перехода от вектора и.„(1) некоторого линейного пространства к новому вектору и,„„(1). В самом общем случае можно утверждать, что оператор Т изменяет норму вектора и,„(1), т, е. !! и,„!!;Е !! Тит !!. КРОМЕ ТОГО, МЕжду ВЕКтОраМИ и,„(1) И и,„„(1) возникает некоторый угол ф. По формуле Рэлея (см. гл. 3), энергия выходного сигнала г Е „= !! иш„!! = — ~ у,„„(оэ) уо, „(оэ) с)оэ = применение интегрирующихх цепей Как правило, функциональное пространствосигналон можно считать гильбертовым = — 1 ! К () ) !'И'*( ) с)оэ* 1 Г о (8.63) где И',„(оэ) — энергетический спектр сигнала на входе.
В соответствии с формулой (8.63), выходной энергетический спектр И',„х(оэ) = !К()оэ)!'И',„(со). Величину (8.64) называют частотным коэффициентом передачи мощности системы на заданной частоте оэ. Поскольку этот коэффициент вещественный, вычисление энергии выходного сигнала оказывается гораздо более простой задачей по сравнению с поиском самой формы выходного сигнала. частотный коэффи- циент передачи мощности еь Ио аы 1Ро льы = э э = ысгвывс. и ~ 1+ ы'с' ят о Пример 8.15. На входе ЯС-цепи с частотным коэффициентом передачи Кфо) = 1/(1 +Уыс) действует идеальный низкочастотный сигнал, энергетический спектр которого отличен от нуля и равен ио лишь в пределах интервала частот 0 с о» < ть.
найти отношение Кр(ьэ) = К()то) х энергий сигналов на входе и выходе. х К(-есо) В данном случае Ке = 1/(1+ ыээ'). По формуле (8.63) энергия выходного сигнала 8,4. Спектральный метод 215 Энергия входного сигнала Ет = Ибал/к. Видно, Что отношение этих энергий Евы„/Ев„= агс18 со,тДввт) (8.65) стремится к нулю с ростом как постоянной времени т, так и верхней граничной частоты спектра. Угол между векторамн входного и выходного сигналов. В гл. 1 обсуждался способ сравнения двух сигналов, основанный на вычислении угла ф, образованного векторами данных сигналов в гильбертовом пространстве. Эту же идею можно использовать для сопоставления сигналов на входе и выходе линейной стационарной системы.
Обобщенная формула Рэлея позволяет выразить скалярное произведение этих сигналов через их спектральные плотности: Во многих случаях достаточно знать лишь изменение энергии сигнала, прошедшего через линейную систему (н„„и „) = — ~ ()т(а) (гв„„(а)с)а = 2п Г = — ~ И',„(а)Кв(/а)йо. 2п — О Поскольку мнимая часть коэффициента передачи есть нечетная функция частоты, последняя формула упрощается: А решите задачу 14 Ю 1Г (ивы о „) = — ~ И'„„(а)КеК(/а)с)а. п~ о (8.66) Угол ф между векторами входного и выходного сигналов можно найти из соотношения (Оыв ц,„„) (( и,„'1 '1 и (8,67) "вых Пратер йдб.
Вычислить угол ф между сагналами яа входе а выходе КС-Оваи в соответствии с условиями примера 8.15. Поскольку здесь КеК9о) 1/(1+ а'т'), в данном частном случае интеграл (8.66] численно - равен квадрату нормы выходного сигнала. Отвода следует, что ( е,„„)'" ~агсгйа,с)ыг Если произведение в,т ж 1, то совф-лО. Это означмт, что КС-цепь создает на выходе сигнал, почти ортогональный по отношению к сигналу на входе. Природу этого эффекта можно понять нэ качественных рассуждений, првняв во внимание, что благодаря инерционным свойствам цепи выходной сигнал задерживается во времени.
г)6 Глава 8. Воздействие сигналов нл линейные стлияолариые системы Автокорреляцнонная характеристика системы. Заканчивая обзор спектральных методов в теории линейных стационарных систем, упомянем еще об одной полезной функции— так называемой аетокорреяяционлой характеристике системы Ь(т). Ее принято определять как преобразование Фурье от частотного коэффициента передачи мощности: Ь(т) = — ~ Кр(со)еы'йо.
гл (8.69) Наряду с частотным представлением (8.69) возможно и временное представление этой функции. Чтобы осуществить его, заметим, что Кр(оз) = К(/со)К*(/со). Поэтому между функциями Кр(со) и Ь(т) должна существовать такая же связь, которая была найдена в гл. 3 между энергетическим спектром и АКФ произвольного сигнала! Ь(т) = ) )!(г)Ь(! — т)с)п 6 (8.70) Данная формула раскрывает смысл введенного здесь термина. 8.5. Операторный метод К рассмотренному спектральному методу тесно примыкает широко распространенный операторный метод, базирующийся на представлении входных и выходных сигналов их преобразованиями Лапласа. Решение дифференциальных уравнений операторным методом. Преобразование Лапласа является исключительно гибким и мощным методом, позволяющим путем стандартных процедур находить решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Именно это свойство обусловило его широкое использование в научных исследованиях и инженерных расчетах. Пусть дифференциальное уравнение !)"и,„„бл 'и,„„с)и,„„ б +а- б„-.-! +"'+а! а +пои *= с)!к я!к-! (8.71) Ж устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе некоторой линейной стационарной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
