Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000) (1095420), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Полосу пропускания усилителя принято оценивать граничной частотой г«,р, на которой значения АЧХ уменьшаются в (/2 раз по сравнению с уровнем К,. Из (8.43) видно, что так как ) КО«з)) = 1/1+ «зз/гз С' то Устойчивость динамических систем. По определению, линейная динамическая система называется устойчивой, если все ее собственные колебания затухают во времени. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения (8.36), 8.3. Линейные динамические системы Эги корни не должны быть также и чисто мнимыми.
Хотя при этом собственные колебания есть гармонические функции вида 5)П и в(г) = (щог). СО5 небольшие случайные изменения параметров системы могут привести к переходу ее в неустойчивый режим, когда 5)п и, в(1) = ехр(аг) (озог) СО5 представляют собой экспоненциально нарастающие по амплитуде колебания. Если порядок динамической системы достаточно высок, то прямая проверка устойчивости, основанная на поиске корней характеристического уравнения, может оказаться весьма затруднительной.
Поэтому были разработаны специальные критерии устойчивости, позволяющие определять наличие корней с положительными вещественными частями непосредственно по виду коэффициентов, минуя само решение характеристического уравнения (см. гл. 14). Возникновение нарастающих собственных колебаний в электрических цепях возможно лишь тогда, когда в составе цепи, помимо пассивных элементов Уп С, Я, содержатся активные элементы, передающие в цепь часть энергии от внешних источников.
Распространенной моделью такого активного элемента служит резистор с отрицательным сопротивлением. Колебание в не- устойчивойсистеме Рассматриваемая система будет са- мопроизвольно возбуждаться, если имеющееся в ией отрицательное со- противление Я > > Я.„„ Пример 8.14. Колебательный контур с параметрами С = 80 пФ, Ь = 2.5 мкГн, Я = 12 Ом содержит резистор с отрицательным сопротивлением Я,р, включенный параллельно индуктивному элементу. Определить критическое значение этого сопротивленин, нри котором возникает неустойчивость цепи.
Дифференциальное уравнение данной цепи, составленное относительно напряженая и на индуктивном элементе, имеет ннд (8.44) п)ь) )и ) о "и з Система переходит н неустойчнный режим, когда величина Яеу, з обращается н нуль. Отсюда находим критическое значение отрицательного сопротивления: Яазр.зр = Ь))(ЯС) = — 2.б кО)и. Корни у, н уз характеристического уравнения имеют нсщесгнснные части Глаза 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы вектор состояния системы 6хз =хо=О хз+О хз+хз+ с(г (8.45) бХ вЂ” = АХ + )с.
с)г (8.46) Здесь О 1 О ... О О О 1 ... О ао аз а, а„ а„а„ а„ пп При описании системы в пространстве состояний матричная экспонента играет роль импульсной харак- теристики Описание линейных динамических систем в пространстве состояний, Любое дифференциальное уравнение л-го порядка вида (8.31) можно преобразовать в систему дифференциальных уравнений 1-го порядка Для этого следует ввести совокупность вспомогательных функций, построенную по правилу: х, (г) = и,„„(г), х, (г) = ц', (г), ..., х„(г) = ф"„„п(г). данные функции являются координатами вектора состояния е Х(г) =(х„хз, ..., х„), который принадлежит пространству состояний рассматриваемой динамической системы.
Легко видеть, что при этом уравнение (8.31) эквивалентно следующей системе уравнений: дхг — =х,=О х, +хе+О хз+" бг дх„ао а, а„, — "= — — х, — — хз —" — — "х„+у. ос а„а„а„ В матричном виде данная система записывается так: — постоянная матрица коэффициентов; г = (О, О, ..., ) ) — вектор-сголбец внешних сигналов, действующих на систему. Если ввести матричную экспоненциачьную функцию посредством ряда ехр(Аг) =1+ Аг+" + А"г"/л! +" где 1-единичная матрица размерности п х л, то решение уравнения (8.46) запишется в виде, формально полностью совпадающем с решением одномерного дифФеренциального уравнения 1-го порядка 142): Х(г) = ехр(Аг) С+ ( ехр(А(г — т)] г" (т)дт, (8.47) о где С вЂ” произвольный л-мерный вектор начальных условий. В.4.
Спектральный метод 8.4. Спектральный метод Говоря о спектральном методе анализа прохождения радиотехнических сигналов через линейные стационарные системы, обычно имеют в виду целый комплекс математических приемов, в основе которых лежит использование свойств частотного коэффициента передачи системы. Ниже на конкретных примерах показано применение спектрального подхода как к задаче нахождения реакции системы, так и к проблеме числовой оценки выходного сигнала. Основная формула. Пусть на входе некоторой линейной стационарной системы действует детерминированный сигнал и,„(с), заданный обратным преобразованием Фурье: и,„(с) — ~ у,„(со)ес"' с)со.
Г О Будем полагать, что известен частотный коэффициент передачи К(сок) системы. Как было доказано, комплексный сигнал вида ехр()озс), являясь собственной функцией системного оператора, создает на выходе элементарную реакцию К()оз)ехрфог). Суммируя эти реакции, находим представление выходного сигнала: ' (8.48) Получена основная формула спектрального метода, свидетельствуюпсая о том, что частотный коэффициент передачи системы служит множителем пропорциональности между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе: (8.49) принцип спектраль- ного метода Итак, анализ систем в частотной области отличается замечательной чертой — эффект преобразования сигнала в системе отображается просто алгебраической операцией умножения.
Следует иметь в виду, что спектральный и временной подходы полностью эквивалентны друг другу. Действительно, интеграл Дюамеля (8.8) есть свертка функции и,„(С) и импульсной характеристики Сс(С) во временнбй области: и,„„(с) = и,„(с)+)с(с). Значит, спектральная плотность выходного сигнала есть произведение спектральных плотностей функций и,„(с) и )с(с), Отсюда непосредственно следует формула (8.49). Практическая ценность спектрального метода нахождения выходной реакции в каждом конкретном случае зависит от того, удается ли провести интегрирование в формуле (8.48).
Вы веление импульсных характеристик. Как правило, нахождение частотных коэффициентов передачи линейных систем гю Глава К. Воздействие сигналов ни лннеяные сталнонарные системы не вызывает принципиальных затруднений. Поэтому если требуется вычислить импульсную характеристику Сс(с) систе- мы, то целесообразно воспользоваться спектральным мето- дом, согласно которому 1 й(с) = — ~ КО ) " б . 2я В качестве примера нацдем импульсную характеристику ссС-цепи, для которой выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе.
Здесь К()со) = 1/(1+усоЯС), поэтому импульсная характеристика ) 1 Г е'"' й(с) = — ~,, с(аь 2я ~ 1+ссодС О (8.50) Применим метод вычетов (145 и будем считать, что со — комплексная переменная. Контур интегрирования в (8.50) образован всей вещественной осью 1ш со = 0 и дугой С, достаточно большого радиуса, которая может замыкаться как в верхней, так и в нижнеь полуплоскостях. Подынтегральная функция в (8.50) имеет единственный простой полюс в точке с координатой со„=)У(ДС). Вычет подынтегральной функции в этой точке Случай с > О "" 1+сыйс „„..ДС ' Внутри замкнутого контура подынтегральная функция имеет единственный простой полюс Найдем функцию )с(с) при с > О. Для этого расположим дугу Сс в верхней лолуллоскослси, поскольку именно в этом случае функция ехрОсос) будет экспоненциально стремиться к нулю с ростом радиуса дуги.
В пределе контурный интеграл будет равен интегралу, вычисленному лишь вдоль вещественной оси в соответствии с формулой (8.50). По теореме Коши, контурный интеграл от функции комплексной переменной равен числу 2я)', умноженному на сумму вычетов подынтегральной функции во всех полюсах, которые лежат внутри контура интегрирования. Таким образом, Случай с < 0 Сс(с) = е 'сслсс при с > О. ! АС (8.51) Если же требуется найти импульсную характеристику при с < О, то контур интегрирования следует замкнуть в нижней лолуллоскасгли, где подынтегральная функция вообще не имеет полюсов и поэтому )с(с) = 0 при с < О.
(8.52) Внутри замкнутогого контура подынтегральная функция является ана- литической 8.4. Спектральный метод 211 мшяс !4л с) — !.0 — 0,5 0 0.5 !.0 !.5 2.0 2.5 3.0 Рис. 8.2. График импульсной характеристики дС-цепи Вычисление сигнала на выходе системы.
Как пример использования спектрального метода решим задачу о прохождении экспоненциального видеоимпульса напряжения и,„(!) = (/оехр( — аг) а(!) через )1С-цепь, рассмотренную выше. В данном случае спектральная плотность входного сигнала Ум (Оз) = УО/(а + /те) И ЗаДаЧа СВОДИТСЯ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИитЕГРала, входящего в выражение — и ( '"р0"гМ" 2 ) (1 + /то/а) (1 + /!ой с) ' и.
Разлагая алгебраическую часть подынзегральной функции на элементарные дроби, имеем 1 /' аЯС (1 +/то/и) (1 +/озВС) 1 — аЯС \, 1 +/со/а 1 +/оЖС Структура слагаемых, стоящих в квадратных скобках, позволяет непосредственно использовать результат, полученный при вычислении импульсной характеристики ЯС-цепи, и записать решение при ! > О: и,„„(г) = (ехр(-иг) — ехр( — г/(йС))1. По 1 — аЯС (8.53) А решите задачи б и 7 Естественно, что при ! < О и,„„(г) = О, (8.54) Соответствующий график приведен на рис.
8.3. Коэффициент передачи виюгозвеиной системы. В рацио- технике часто используют сложные системы, отдельные звенья й решите задачу В График импульсной характеристики йС-цепи, построенный по формулам (8.5!) и (8.52), представляет собой кривую, разрывную при ! = О (рис. 8.2). Представление разрывных функций с помощью контурных интегршюв является математическим приемом, широко используемым в теоретических исследованиях. Глава 8. Воздействие сигналов ла линейные стационарные системы и .(и, Следует обратить внимание на то, что ЯС-цепь сглаживает входной сигнал щ 2 3 Рпс. 8.3. Отклик ДС-цепи иа эксполеццпольлый овлеопмпульс которых включены каскадно, т. е. выходной сигнал предыдущего звена служит входным сигналом для последующего звена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
