Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Ïó÷íîñòè íàïðÿæåíèÿ è óçëû òîêà âîçíèêàþò â òåõ òî÷êàõ ëèíèè, ãäåp 35; p ; p ; K.2 22Ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ bõ sin bõ = ±1, â ýòîì ñëó÷àå àìïëèòóäà íàïðÿæåíèÿ ux îêàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîé, a cos bõ = 0 è àìïëèòóäàòîêà ix ðàâíîé íóëþ. Ðàññìîòðèì ïðè÷èíû ïîÿâëåíèÿ óçëîâ è ïó÷íîñòåé íàïðÿæåíèÿ è òîêà.Ïðè ÊÇ ëèíèè êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ èìåþò çíà÷åíèÿbx =su = ( Zí - Zâ )( Z í + Z â ) = -1,s i = -s u = 1,ò.
å. ïðîèñõîäèò ïîëíîå îòðàæåíèå ýíåðãèè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âëþáîé òî÷êå öåïè ðåçóëüòèðóþùåå íàïðÿæåíèå (òîê) îêàçûâàåòñÿðàâíûì ñóììå ïàäàþùèõ è îòðàæåííûõ âîëí. Äåéñòâèòåëüíî, èçóðàâíåíèé â êîìïëåêñíîé ôîðìå (13.20) ñëåäóåò:Z â I 2 j bx Z â I 2 - j bxee=22Z IZ I -j= â 2 e j bx + â 2 e ( bx -p ) = U x ïàä + U x îòð ;22I 2 j bx I 2 - j bxI x = I 2 cos b x =ee+= I x ïàä + I x îòð .22Ïîñêîëüêó ïîòåðü â ëèíèè íåò, àìïëèòóäû ïàäàþùèõ è îòðàæåííûõ âîëí âî âñåõ òî÷êàõ ëèíèè îäèíàêîâû.Ñäâèã ôàç ìåæäó ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëíàìè íàïðÿæåíèÿâ òî÷êå õ4pj u = b x - [ - ( b x - p ) ] = 2b x - p =x - p,là ìåæäó ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëíàìè òîêàU x = jZ â I 2 sin b x =4px.lÓäîáíî ðàññìàòðèâàòü â ëèíèè áåç ïîòåðü òî÷êè õ, îòñòîÿùèå îòêîíöà ëèíèè íà ðàññòîÿíèÿ, êðàòíûå ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû, ò.
å.êðàòíûå l/4.  êîíöå ëèíèè (õ = 0) ju = p è ji = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïàäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ âîëíû íàïðÿæåíèÿ íàõîäÿòñÿ âj i = b x - ( -b x ) = 2b x =346IõI îòð I ïàäIõI îòðl/4l/4I ïàäI ïàäI îòð0I ïàäI îòðIõI îòð I ïàäI2Ðèñ. 13.10ïðîòèâîôàçå, à ïàäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ âîëíû òîêà â ôàçå. Ïîýòîìó â êîíöå ëèíèè íàáëþäàåòñÿ óçåë íàïðÿæåíèÿ è ïó÷íîñòü òîêà.Íà ðàññòîÿíèè l/4 îò êîíöà ëèíèè ju = 0 è ji = p, ò. å. ôàçûïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëí íàïðÿæåíèÿ ñîâïàäàþò, à âîëí òîêà ïðîòèâîïîëîæíû.  ýòîé òî÷êå îáðàçóåòñÿ ïó÷íîñòü íàïðÿæåíèÿ è óçåë òîêà.
 òî÷êå õ = l/2 (ju = p, ji = 2p) âîçíèêàþò ïó÷íîñòü òîêà è óçåë íàïðÿæåíèÿ è ò. ä. ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ ìåæäó óçëàìè è ïó÷íîñòÿìè ôàçîâûåñîîòíîøåíèÿ îòëè÷íû îò 0, p, 2p è ò. ä.  íèõ àìïëèòóäû íàïðÿæåíèÿ è òîêà ïðèíèìàþò ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ ìåæäó íóëåì èìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì.Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 13.10, èëëþñòðèðóåòñîîòíîøåíèå ôàç ìåæäó ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëíàìè òîêà âðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ÊÇ ëèíèè.Ðàñïðåäåëåíèå ìîäóëåé êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä íàïðÿæåíèÿ| Ux | è òîêà | Ix | ïî äëèíå ëèíèè ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 13.11.
Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè óçëàìè (ïó÷íîñòÿìè) ðàâíî l/2.Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ èòîêà, îïèñûâàåìûõ ôîðìóëàìè (13.21). Äåëàÿ ìîìåíòàëüíûå ôîòîãðàôèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé, íàïðèìåð íàïðÿæåíèÿ âäîëü ëèíèè â ìîìåíòû âðåìåíè t1, t2, t3, t4, t5 è ò. ä., è ïðîåöèðóÿ èõ çàòåì íà ýêðàí, ïîëó÷àåì êàðòèíó «ïóëüñèðóþùåãî» íàïðÿæåíèÿ, â êîòîðîé óçëû íàïðÿæåíèÿ îñòàþòñÿ, íà ìåñòå, à íàïðÿæåíèå ìåæäó óçëàìè ïóëüñèðóåò, äîñòèãàÿ ïîëîæèòåëüíîãî èîòðèöàòåëüíîãî àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé (ðèñ. 13.12). Òà æå êàðòèíà, íî ñìåùåííàÿ ïî îñè õ íà çíà÷åíèå l/4, íàáëþäàåòñÿ è äëÿòîêà ix.Uõ , IõÒàêèì îáðàçîì, â ÊÇ ëèíèèâîçíèêàþò âîëíû íàïðÿæåíèÿ èIõUõòîêà, êîòîðûå íå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âäîëü ëèíèè, íàõîäÿòñÿ íàîäíîì ìåñòå.
Òàêèå âîëíû íàçûâà0þòñÿ ñòîÿ÷èìè, à óðàâíåíèÿ ïåðåxl 3l/4 l/2 l/4äà÷è (13.20) è (13.21) óðàâíåíèÿìè ñòîÿ÷èõ âîëí. ÎïèñûâàåìûéÐèñ. 13.11347Z âõ êçjuõx0l0xl/2t1 t2 t3t4 t5Ðèñ. 13.12Ðèñ. 13.13ðåæèì ðàáîòû ëèíèè ïîëó÷èë òàêæå íàçâàíèå ðåæèìà ñòîÿ÷èõâîëí.Íàïðÿæåíèå èõ è òîê ix â ÊÇ ëèíèè ñîãëàñíî (13.21) ñäâèíóòûïî ôàçå íà 90°. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ýíåðãèÿ ñòîÿ÷åéâîëíû èìååò ðåàêòèâíûé õàðàêòåð.Îïðåäåëèì âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ÊÇ ëèíèè â ïðîèçâîëüíîéòî÷êå õ. Èç (13.20) ñëåäóåò, ÷òîZ âõ êç =UxIx=jZ â I 2 sin b x= jZ â tg b x.I 2 cos b xÏðè x = 0, l/2, l, 3l/2, ... âåëè÷èíà bx = ( 2p l ) x = 0, p,2p,3p,Kè âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå Z âõ êç = 0. Ïðè õ = l/4, 3l/4, 5l/4, ...
âåëè÷èíà bx = 2p l x = 0, p 2,K è âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå Z âõ êç == ± j¥.Íà ðèñ. 13.13 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü Z âõ êç j îò äëèíû ëèíèè(ðàññòîÿíèÿ õ îò êîíöà ëèíèè).Ìåíÿÿ äëèíó ÊÇ ëèíèè áåç ïîòåðü, ìîæåì ïîëó÷èòü âõîäíîåñîïðîòèâëåíèå, èìåþùåå èíäóêòèâíûé õàðàêòåð (â äèàïàçîíå x == 0 ... l/4), åìêîñòíûé õàðàêòåð (õ = l/4 ... l/2), çàòåì îïÿòü èíäóêòèâíûé (õ = l/2 ... 3l/4) è ò. ä.Ïðè äëèíàõ, êðàòíûõ l/4, âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå êîðîòêîçàìêíóòîé ëèíèè áåç ïîòåðü ýêâèâàëåíòíî âõîäíîìó ñîïðîòèâëåíèþ ïàðàëëåëüíîãî êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà, à ïðè äëèíàõ, êðàòíûõ l/2 âõîäíîìó ñîïðîòèâëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîãî êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ëèíèÿõ, áåç ïîòåðü b = w LC è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòà w è äëèíà ëèíèè l (èëè ðàññòîÿíèå îò êîíöà ëèíèè õ)âõîäÿò â âûðàæåíèå Z âõ êç ñèììåòðè÷íûì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü Z âõ êç àíàëîãè÷íà çàâèñèìîñòè îòäëèíû ëèíèè (ðèñ.
13.14). Íà òåõ ÷àñòîòàõ, ãäå bl êðàòíî p/2,Z âõ êç = ± j¥ , à ãäå bl êðàòíî p, Z âõ êç = 0. Ïðè ôèêñèðîâàííîéäëèíå ÊÇ ëèíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóõïîëþñíèê ñ áåñêîíå÷íûì÷èñëîì ðåçîíàíñîâ.Ðàçìûêàíèå ëèíèè.  ðåæèìå XX Zí = ¥ è I2 = 0. Óðàâíåíèÿïåðåäà÷è ïîëó÷èì èç (13.19):348Z âõ êçjZ âõ õõjwx5/4ll 3/4lÐèñ. 13.14l/2 l/40Ðèñ.
13.15U x = U 2 cos b x ; I x = jU2Zâsin b x.(13.22)Äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé èìååì (ïðè íà÷àëüíîé ôàçå íàïðÿæåíèÿ ju2 = 0):u x ( t ) = U 2 cos bx sin w t;U2pix ( t ) =sin b x sin æç w t + ö÷ .Zâè2ø(13.23)Ñðàâíèâàÿ óðàâíåíèÿ ïåðåäà÷è (13.22) è (13.23) ñ óðàâíåíèÿìèÊÇ ëèíèè (13.20) è (13.21), âèäèì, ÷òî ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ òàêæå ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè ñòîÿ÷èõ âîëí. Ðàçíèöà ñîñòîèò â òîì,÷òî óçëû è ïó÷íîñòè íàïðÿæåíèÿ ïðè XX ñîâïàäàþò ñ óçëàìè èïó÷íîñòÿìè òîêà ïðè êîðîòêîì çàìûêàíèè, à óçëû è ïó÷íîñòè òîêàðàçîìêíóòîé ëèíèè ñ óçëàìè è ïó÷íîñòÿìè íàïðÿæåíèÿ ÊÇ ëèíèè.  êîíöå ðàçîìêíóòîé ëèíèè îáðàçóåòñÿ ïó÷íîñòü íàïðÿæåíèÿè óçåë òîêà.Äàííûé ðåæèì ðàáîòû ëèíèè ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì íàçûâàåòñÿ ðåæèìîì ñòîÿ÷èõ âîëí.
Âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàçîìêíóòîé ëèíèè áåç ïîòåðü îïðåäåëÿåòñÿ èç (13.22):Z âõ õõ =UxIx= - jZ â ctg bx.Åãî ãðàôèê, îòðàæàþùèé çàâèñèìîñòü îò õ, äàí íà ðèñ. 13.15.Âêëþ÷åíèå ëèíèè íà ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå. Ïóñòü ëèíèÿ íàãðóæåíàíà èíäóêòèâíîñòü Lí (ðèñ.
13.16, à). Ïðè çàäàííîé ÷àñòîòå w ñîïðîòèâëåíèåíàãðóçêè Zí = jwLí.Èç ðèñ. 13.13 âèäíî, ÷òî îòðåçîê çàêîðî÷åííîé ëèíèè äëèíîé ìåíüøå l/4èìååò âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå èíäóêòèâíîãî õàðàêòåðà. Ïîýòîìó âñåãäà ìîæíîïîäîáðàòü òàêóþ äëèíó îòðåçêà l ¢, ïðè êîòîðîé åãî âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèåðàâíÿëîñü áû çàäàííîìó ñîïðîòèâëåíèþ Zí. Çàìåíèì èíäóêòèâíîñòü Lí îòðåçêîì ÊÇ ëèíèè (ðèñ. 13,16, á). Ýòà çàìåíà ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü òåîðèþ ÊÇëèíèè è ñðàçó æå ïîñòðîèòü êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà â ëè349lLíl¢à)x=0á)xIõUõâ)Áåãóùàÿ âîëíàÑìåøàííàÿÑòîÿ÷àÿ âîëíàâîëíàUõ , IõUõl/4Z âõZí0xã)Ðèñ.
13.16Ðèñ. 13.17íèè, íàãðóæåííîé íà èíäóêòèâíîñòü (ðèñ. 13.16, â).  ðàññìàòðèâàåìîé ëèíèèâîçíèêàþò ñòîÿ÷èå âîëíû. Ýòîò ðåæèì îòëè÷àåòñÿ îò ðåæèìà ÊÇ çàìûêàíèÿòåì, ÷òî áëèæàéøèé óçåë è ïó÷íîñòü ñäâèíóòû îò êîíöà ëèíèè íà íåêîòîðîåðàññòîÿíèå.Íà ðèñ. 13.1á, ã ïðèâåäåí ãðàôèê âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ëèíèè, âêëþ÷åííîé íà èíäóêòèâíîñòü â çàâèñèìîñòè îò åå äëèíû. Îíî èìååò ðåàêòèâíûéõàðàêòåð â ëþáîì ñå÷åíèè ëèíèè. ñëó÷àå, êîãäà ëèíèÿ íàãðóæåíà íà åìêîñòü Cí ñ ñîïðîòèâëåíèåì Zí == 1/(jwCí), ìîæíî çàìåíèòü ýòó åìêîñòü îòðåçêîì ðàçîìêíóòîé ëèíèè äëèíîél < l/4 (ñì. ðèñ. 13.15), âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî ðàâíÿåòñÿ çàäàííîìó1/(jwCí).
Î÷åâèäíî, è â ýòîì ñëó÷àå â ëèíèè âîçíèêàþò ñòîÿ÷èå âîëíû. Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ âîçìîæíîñòü ïðîàíàëèçèðîâàòü äàííûé ðåæèì ðàáîòûëèíèè ñàìîñòîÿòåëüíî.Âêëþ÷åíèå ëèíèè íà ðåçèñòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, íå ðàâíîåâîëíîâîìó. Ïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî ñîïðîòèâëåíèå íàãðóçêè Rí > Zâ = râ, è ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ïî ëèíèè âîëíû íàïðÿæåíèÿ.Ïàäàþùàÿ âîëíà íå âñÿ ïîãëîùàåòñÿ íàãðóçêîé, ÷àñòü åå îòðàæàåòñÿ îáðàòíî â ëèíèþ.
Àìïëèòóäà îòðàæåííîé âîëíû ìåíüøåàìïëèòóäû ïàäàþùåé âîëíû, ïîýòîìó ïàäàþùóþ âîëíó ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ âîëí. Îäíà èç íèõ, ðàâíàÿ ïî àìïëèòóäå îòðàæåííîé âîëíå, âçàèìîäåéñòâóÿ ñ íåé, îáðàçóåò ñòîÿ÷óþ âîëíó. Îòñòàâøàÿñÿ ïàäàþùàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ áåãóùåé. Òàêèìîáðàçîì, â ëèíèè âîçíèêàåò ñìåøàííàÿ âîëíà, ñîñòîÿùàÿ èç áåãóùåé è ïàäàþùåé âîëí. Äàííûé ðåæèì ðàáîòû íàçûâàåòñÿ ðåæèìîìñìåøàííûõ âîëí.Íà ðèñ. 13.17 ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå ïî äëèíå ëèíèè ìîäóëÿêîìïëåêñíîé àìïëèòóäû íàïðÿæåíèÿ.  ëèíèè áóäóò îòñóòñòâîâàòü350óçëû è ïó÷íîñòè, à áóäóò íàáëþäàòüñÿ ìèíèìóìû è ìàêñèìóìûàìïëèòóäû âîëí.×òîáû îöåíèòü áëèçîñòü äàííîãî ðåæèìà ê ðåæèìó áåãóùåéâîëíû, ââîäÿò êîýôôèöèåíò áåãóùåé âîëíû:káâ = U x minU x max .Âåëè÷èíà káâ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 káâ 1. Ïðèkáâ = 0 â ëèíèè èìååò ìåñòî ñòîÿ÷àÿ âîëíà, ïðè káâ = 1 áåãóùàÿâîëíà.Êîýôôèöèåíò áåãóùåé âîëíû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îòíîøåíèåâîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è ñîïðîòèâëåíèÿ íàãðóçêè.
Äåéñòâèòåëüíî, ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû ñìåøàííîé âîëíû U x minïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àìïëèòóäó áåãóùåé âîëíû U áâ , ò. å. òîé âîëíû, êîòîðàÿ ïîãëîùàåòñÿ ÷àñòüþ ñîïðîòèâëåíèÿ íàãðóçêè, ðàâíîéâîëíîâîìó ñîïðîòèâëåíèþ. ÏîýòîìóU x min = U áâ = I 2 r â .Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû ñìåøàííîé âîëíûU x max = U áâ + U câ = I 2 × Rí .ãäå | Ucâ | ìàêñèìàëüíàÿ àìïëèòóäà ñòîÿ÷åé âîëíû. Îòñþäà íàõîäèìkáâ = r â Rí .×àñòî èñïîëüçóþò îáðàòíóþ âåëè÷èíó kcâ = 1/káâ, êîòîðóþ íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ñòîÿ÷åé âîëíû.Èç îáùèõ óðàâíåíèé ïåðåäà÷è ëèíèè áåç ïîòåðü (13.19) ðàññìîòðèì ñíà÷àëà óðàâíåíèå äëÿ íàïðÿæåíèÿ:U x = U 2 cos b x + jZ â I 2 sin b x = U 2 ( cos b x + jkáâ sin b x ) .Âîñïîëüçóåìñÿ ïîäñòàíîâêîé â âèäå òîæäåñòâàcos bx = káâ cos b x + ( 1 - káâ ) cos b x.Òîãäà ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èìU x = U 2káâ e jbx + U 2 ( 1 - káâ ) cos b x.Óðàâíåíèå ïåðåäà÷è äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ íàõîäèì êàêîáû÷íî (ïîëàãàÿ ïðè ýòîì ju2 = 0):u x ( t ) = U 2 káâ sin ( w t + b x ) + U 2 ( 1 - káâ ) cos b x sin w t.Ïåðâîå ñëàãàåìîå ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áåãóùåé âîëíîé, âòîðîå ñëàãàåìîå ñòîÿ÷åé âîëíîé.
Ïðè káâ = 0 ïåðâîå ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íóëü è âóðàâíåíèè ïðèñóòñòâóåò òîëüêî ñòîÿ÷àÿ âîëíà. Ïðè káâ = 1 îáðàùàåòñÿ â íóëüâòîðîå ñëàãàåìîå è óðàâíåíèå ñîäåðæèò òîëüêî áåãóùóþ âîëíó.Ðàññìàòðèâàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì óðàâíåíèå äëÿ òîêà ix(t), èìååì:351ix ( t ) =U2U2káâ sin ( w t + b x ) +rârâ( 1 - káâ ) sin bx æç w t + p ö÷ .è2øÌîæíî ñäåëàòü íåêîòîðûå âûâîäû:åñëè ïåðåíîñèìàÿ âäîëü ëèíèè ýíåðãèÿ ïîëíîñòüþ ðàññåèâàåòñÿíà åå êîíöå (ëèíèÿ íàãðóæåíà íà ðåçèñòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, ðàâíîå âîëíîâîìó), òî îòðàæåíèå ýíåðãèè îòñóòñòâóåò è â ëèíèè ñóùåñòâóþò òîëüêî áåãóùèå âîëíû;åñëè ýíåðãèÿ â êîíöå ëèíèè íå ðàññåèâàåòñÿ (êîðîòêîå çàìûêàíèå, õîëîñòîé õîä, ðåàêòèâíàÿ íàãðóçêà), òî ïðîèñõîäèò ïîëíîåîòðàæåíèå âîëí, è, êàê ñëåäñòâèå ýòîãî, â ëèíèè îáðàçóþòñÿ òîëüêî ñòîÿ÷èå âîëíû;êîãäà ïåðåíîñèìàÿ âäîëü ëèíèè ýíåðãèÿ ëèøü ÷àñòè÷íî ðàññåèâàåòñÿ íà åå êîíöå (ëèíèÿ çàìêíóòà íà ðåçèñòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå,íå ðàâíîå âîëíîâîìó), â ëèíèè îäíîâðåìåííî ïðèñóòñòâóþò êàê áåãóùèå, òàê è ñòîÿ÷èå âîëíû.13.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
