Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Äëÿâîçäóøíîé ëèíèè ïðîâîäèìîñòü èçîëÿöèè çàâèñèò îò êëèìàòè÷åñêèõ óñëîâèé (âëàæíîñòè, òåìïåðàòóðû è äð.), ÷èñòîòû ïîâåðõíîñòåé èçîëÿòîðîâ è ò. ä.Ïðîâîäèìîñòü èçîëÿöèè âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì ÷àñòîòû (îñîáåííîäëÿ êàáåëüíûõ öåïåé) çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ ïîòåðü â äèýëåêòðèêå.Äëÿ âîçäóøíûõ öåïåé ïðîâîäèìîñòü (Ñì/êì) G = G0 + kï f, ãäåG0 ïðîâîäèìîñòü èçîëÿöèè íà ïîñòîÿííîì òîêå; kï êîýôôèöèåíò, ó÷èòûâàþùèé ïîòåðè â äèýëåêòðèêå ïðè ïåðåìåííîì òîêå; f ÷àñòîòà.Äëÿ êàáåëüíûõ öåïåé G = G0 + wC tg d, ãäå tg d òàíãåíñ óãëàäèýëåêòðè÷åñêèõ ïîòåðü.Ïîñëå ââåäåíèÿ ïåðâè÷íûõ ïàðàìåòðîâ ìîæíî óòî÷íèòü ïîíÿòèåîäíîðîäíîé äëèííîé ëèíèè. Îäíîðîäíîé íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ëèíèÿ,ïåðâè÷íûå ïàðàìåòðû êîòîðîé íåèçìåííû íà âñåé åå äëèíå.Óðàâíåíèÿ ïåðåäà÷è îäíîðîäíîé ëèíèè.
Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèÿíàïðÿæåíèÿ è òîêà â ëèíèè ïî åå äëèíå è âî âðåìåíè.Âûäåëèì ýëåìåíòàðíûé ó÷àñòîê ëèíèè äëèíîé Dx, íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè õ îò íà÷àëà ëèíèè (ðèñ. 13.2). Åãî ýêâèâàëåíòíóþ ñõåìó ìîæíî ïðèáëèæåííî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ ñîïðîòèâëåíèÿ RDx è èíäóêòèâíîñòè LDx èïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûõ àêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè GDx è åìêîñòèÑDõ.Òàêèì îáðàçîì, ëèíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê öåïü ñ áåñêîíå÷íîáîëüøèì ÷èñëîì çâåíüåâ, ýëåêòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû êîòîðûõ áåñêîíå÷íî ìàëû.
Ïðè ñòðåìëåíèè Dõ ê íóëþ òî÷íîñòü òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âîçðàñòàåò.Íàïðÿæåíèÿ è òîêè, èõ èçìåíåíèÿ íà ó÷àñòêå ëèíèè ïîêàçàíûíà ðèñ. 13.2. Óìåíüøåíèå íàïðÿæåíèÿ â êîíöå ó÷àñòêà ëèíèè Dõïî ñðàâíåíèþ ñ åãî íà÷àëîì âûçâàíî ïàäåíèåì íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè LDx è ñîïðîòèâëåíèè RDx. ÏîýòîìóiuxLDxRDxGDxCD xDxÐèñ. 13.2330i + Diu + Du¶i+ RDxi.(13.1)(13.1 à)¶tÇäåñü è äàëåå èñïîëüçóþòñÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, òàê êàê íàïðÿæåíèå è òîê ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïåðåìåííûõ t è õ.Óìåíüøåíèå òîêà íà ó÷àñòêå Dõ ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò îòâåòâëåíèÿòîêà ÷åðåç åìêîñòü ÑDõ è ïðîâîäèìîñòü èçîëÿöèè GDx. Ïðåíåáðåãàÿ èçìåíåíèåì íàïðÿæåíèÿ êàê âåëè÷èíîé âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ìîæíî íàïèñàòü-Du = LDx¶u+ G Dxu.(13.1 á)¶tÐàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèé (13.1 à è á) íà Dõ è ïåðåéäÿ êïðåäåëó ïðè Dõ ® 0, ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ëèíèè:-Di = ÑDx¶u¶iü= L + Ri ; ï¶x¶t(13.2)ý¶i¶u=C+ Gu .
ïþ¶x¶tÝòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ òåëåãðàôíûìè, òàê êàê âïåðâûåáûëè ïîëó÷åíû äëÿ ëèíèè òåëåãðàôíîé ñâÿçè.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ëèíèè èìååò ìåñòî ðåæèì óñòàíîâèâøèõñÿãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Ïîñêîëüêó çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé è òîêîâ âî âðåìåíè èçâåñòåí, òî èç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (13.2) îñòàåòñÿ íàéòè ëèøü çàêîíû èçìåíåíèÿ àìïëèòóä èôàç íàïðÿæåíèé è òîêîâ ñ ðàññòîÿíèåì õ.Èñïîëüçóÿ ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä àíàëèçà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, â êîòîðîì-dudi jwU; jwI,dtdtïðåîáðàçóåì óðàâíåíèÿ (13.2) ê âèäóu U; i I;dUü= ( R + jwL ) I; ïdxýdI= ( G + jwC ) U. ïþdx-(13.3)Òàê êàê êîìïëåêñíûå äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ U è I ÿâëÿþòñÿôóíêöèÿìè òîëüêî õ, óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ íå â ÷àñòíûõ, à âïîëíûõ ïðîèçâîäíûõ.Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïåðâîå óðàâíåíèå èç (13.3) ïî õ è ïîäñòàâèâ â íåãî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èìd 2U dx 2 = ( R + jwL ) ( G + jwC ) U.Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå331( R + j w L ) ( G + j wC ) ,g =(13.4)ïåðåïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäåd 2U2- g U = 0.(13.5)dx22Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ p g =0 ðàâíû p1,2 == ± g .
ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ(13.5) äëÿ íàïðÿæåíèÿ â òî÷êå õ èùåì â âèäå2U x = A1e-gxgx+ A 2e .(13.6)(13.6 a)Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (13.3) èìååìIx = -gdU x1-gxgx=.A1e- A 2eR + jwL dxR + j wL()(13.6 á)Ââåäÿ åùå îäíî îáîçíà÷åíèåR + j wL=gZâ =R + j wL,G + j wC(13.7)(13.7 a)çàïèøåì ðåøåíèå äëÿ òîêà â òî÷êå õ â ôîðìåIx =1-gxgx.- A 2eA1eZâ()(13.7 á)Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ A1 è A2 ìîæíî íàéòè èç íà÷àëüíûõóñëîâèé: ïðè õ = 0 Ux = U1 è Ix = I1, ãäå U1 è I1 íàïðÿæåíèå èòîê â íà÷àëå ëèíèè. Òîãäà èç (13.6 à è á) äëÿ õ = 0:U 1 = A 1 + A 2; üI 1 Z â = A1 - A 2. ýþÎòêóäàA1 = ( U 1 + I 1 Z â ) 2; A 2 = ( U 1 - I 1 Z â ) 2.Ïîäñòàíîâêà ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿâ (13.6) äàåò ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèÿUx è òîêà Ix â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå õ äëèííîé ëèíèèUx =Ix =U 1 + I1 Z â2U 1 + I1 Z â2Z âee-gx-gx+-U 1 - I1 Z â2U 1 - I1 Z â2Z âgxe ;gx(13.8)e .*Ýòî åñòü óðàâíåíèÿ ïåðåäà÷è îäíîðîäíîé äëèííîé ëèíèè.
Ïàðàìåòðû g è Zâ ïîëó÷èëè íàçâàíèå êîýôôèöèåíòà ðàñïðîñòðà*Ïðè àíàëèçå ðàáîòû äëèííîé ëèíèè ïîä U è I â äàëüíåéøåì áóäåì ïîíèìàòü èõêîìïëåêñíûå àìïëèòóäû (áåç ââåäåíèÿ èíäåêñà: Um è Im).332íåíèÿ è âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ëèíèè. Èõ ôèçè÷åñêèé ñìûñëáóäåò ðàññìîòðåí ïîçæå.Åñëè ó÷åñòü, ÷òî( e gx + e -gx )2 = ch gx è( e gx - e -gx )2 = sh gx,òî óðàâíåíèÿ ïåðåäà÷è (13.8) ìîæíî ïåðåïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå:U x = U 1 ch gx - I 1 Z â sh gx ; üïU1Ix = sh gx + I 1 ch gx . ýïZâþ(13.9)(13.9 a) êîíöå ëèíèè x = l è Ux = U2, Ix = I2.
Óðàâíåíèÿ (13.9 à)ïðèìóò âèäU 2 = U 1 ch g l - I 1 Z â sh g l ; üïU1I2 = sh g l + I 1 ch g l . ýïZâþ(13.9 á)Ðàçðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèÿ U1è òîêà I1 â íà÷àëå ëèíèè, ïîëó÷àåìU 1 = U 2 ch g l + I 2 Z â sh g l ; üïU2ýI1 =sh g l + I 2 ch g l .ïZâþ(13.9 â)Ýòè óðàâíåíèÿ ñîâïàäàþò ñ èçâåñòíûìè íàì óðàâíåíèÿìè ïåðåäà÷è (12.35) äëÿ ñèììåòðè÷íîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà ïðè g l = Ãñ èZâ = Zñ, ÷òî âïîëíå ïîíÿòíî, òàê êàê ëèíèÿ ñâÿçè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèììåòðè÷íûé ÷åòûðåõïîëþñíèê.13.3. Ïàäàþùèå è îòðàæåííûå âîëíûÎáîçíà÷èì â óðàâíåíèÿõ ïåðåäà÷è (13.8) Uï = (U1 + I1Zâ)/2 èU0 = (U1 I1Zâ)/2.
Ñ ó÷åòîì ýòèõ îáîçíà÷åíèé çàïèñü óðàâíåíèéïåðåäà÷è îäíîðîäíîé äëèííîé ëèíèè óïðîñòèòñÿ è áóäåò èìåòü âèä-gxgxU x = U ïe+ U 0e = U x ïàä + U x îòð ;U gxU-gxIx = ï e- 0 e = I x ïàä + I x îòð ,ZâZâ(13.10)ãäå-gxgxU x ïàä = U ï e ; U x îòð = U 0e ;U gxU-gxI x ïàä = ï e ; I x îòð = - 0 e .ZâZâ333Íàïðÿæåíèå è òîê ñîñòîÿò èç ñóìì äâóõ ñëàãàåìûõ. Ïåðâûåñëàãàåìûå óìåíüøàþòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ îò íà÷àëà ëèíèèõ, âòîðûå âîçðàñòàþò. Ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå î ñóùåñòâîâàíèè âëèíèè äâóõ òèïîâ âîëí: ïàäàþùåé è îòðàæåííîé. ×òîáû óáåäèòüñÿâ ýòîì, ðàññìîòðèì ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà.Ïîìíÿ, ÷òî â (13.10) âñå âåëè÷èíû â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíûåU ï = U ï e jj ï ; U 0 = U 0 e jj 0 ;g = ( R + jwL ) ( G + jwC ) = a + jb;Zâ =( R + j wL ) ( G + j w C ) = Z â e j j â ,ìîæíî ïî èçâåñòíûì ïðàâèëàì (ñì. § 3.2) ïåðåéòè îò (13.10) äëÿêîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé ê óðàâíåíèÿì ïåðåäà÷è äëÿ ìãíîâåííûõçíà÷åíèé íàïðÿæåíèé è òîêîâ. Äëÿ ïðîñòîòû ïîëîæèì jï = j0 = 0.Òîãäàì u x ( t ) = U ï e -ax sin ( wt - bx ) + U 0 e ax sin ( wt + bx ) ,ï(13.11)U 0 axU ï -axí()iee=sinsin.txtxwbjw+bj()()txââïZâZâîÏðîàíàëèçèðóåì ñíà÷àëà ïåðâûå ñëàãàåìûå ýòèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå îáîçíà÷èìì u x ïàä ( t ) = U ï e -ax sin ( w t - bx ) ,ïU ï -axí()ie=sin ( w t - bx - j â ) .txïàäïZâî(13.12) êàæäîì ñå÷åíèè ëèíèè (ò.
å. â êàæäîé òî÷êå õ) êîëåáàíèÿíàïðÿæåíèÿ è òîêà ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè. Àìïëèòóäà ýòèõêîëåáàíèé óìåíüøàåòñÿ ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò íà÷àëà ëèíèè ïî çà õêîíó å a .  êàæäîé ïîñëåäóþùåé òî÷êå ëèíèè êîëåáàíèÿ îòñòàþòïî ôàçå îò êîëåáàíèé â ïðåäûäóùåé òî÷êå (íà ýòî óêàçûâàåò çíàê«ìèíóñ» ïåðåä bõ).Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t1 ñäåëàòü ôîòîãðàôèþ ðàñïðåäåëåíèÿ,íàïðèìåð, íàïðÿæåíèÿ ux ïàä âäîëü ëèíèè, òî îíà áóäåò èìåòü âèäêðèâîé 1 (ðèñ. 13.3).  ñëåäóþùèé ìîìåíò t2 ôàçà íàïðÿæåíèÿ âêàæäîé òî÷êå ëèíèè èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó w (t2 t1), è âñÿ êàðòèíà êàê áû ñìåñòèòñÿ âäîëü îñè õ âïðàâî (êðèâàÿ 2 íà ðèñ. 13.3).Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ áóäåò íàáëþäàòüñÿ è â ìîìåíò âðåìåíèt3 > t2 (êðèâàÿ 3 íà ðèñ. 13.3).Åñëè ñäåëàòü ïîñëåäîâàòåëüíî ðÿä ìãíîâåííûõ ôîòîãðàôèé èçàòåì èõ ïðîåöèðîâàòü íà ýêðàí, òî ñîçäàåòñÿ âïå÷àòëåíèå äâèæóùåéñÿ âîëíû íàïðÿæåíèÿ âäîëü öåïè.
Ôàêòè÷åñêè æå âäîëü öåïèðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñîñòîÿíèå ðàâíîé ôàçû. Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòüòî÷êó öåïè õ1, ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàêñèìóìó íàïðÿæåíèÿ â ìîìåíòâðåìåíè t1 (òî÷êà À íà ðèñ. 13.3) è îïðåäåëèòü ñêîðîñòü åå ïåðå334ìåùåíèÿ. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âäîëü öåïè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîéôàçû íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. ìîìåíò âðåìåíè t1 â òî÷êå õ1 èìååòñÿ îïðåäåëåííîå ôàçîâîåñîñòîÿíèå wt1 bõ1. Ýòî æå ôàçîâîå ñîñòîÿíèå áóäåò íàáëþäàòüñÿâ òî÷êå õ2, íî óæå â ìîìåíò âðåìåíè t2: wt2 bõ2. Ïðèðàâíèâàÿ èõïîëó÷àåì wt1 bõ1 = wt2 bõ2.Ôàçîâóþ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ (êì/ñ) íàéäåì êàê îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ õ2 õ1, ïðîéäåííîãî òî÷êîé A, êî âðåìåíè t2 t1:vô = ( x 2 - x1 ) ( t 2 - t1 ) = w b .Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (13.12) îïèñûâàþò âîëíû íàïðÿæåíèÿ è òîêà, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ îò íà÷àëà ê êîíöó ëèíèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
