Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 57
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Òàêèåâîëíû íàçûâàþòñÿ ïàäàþùèìè.Îáðàòèìñÿ êî âòîðûì ñëàãàåìûì âûðàæåíèé (13.11), êîòîðûåîáîçíà÷èìüu x îòð ( t ) = U 0 e ax sin ( w t + b x ) ,ïU 0 axýix îòð ( t ) = e sin ( w t + b x - j â ) . ïZâþÝòè ñëàãàåìûå îïèñûâàþò âîëíû òî÷íî òàêîãî æå õàðàêòåðà,êàê è ïàäàþùèå, íî ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè,ò. å. îò êîíöà ëèíèè ê íà÷àëó. Ýòè âîëíû íàçûâàþòñÿ îòðàæåííûìè âîëíàìè íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Àìïëèòóäû îòðàæåííûõ âîëíóáûâàþò îò êîíöà ëèíèè ê íà÷àëó, íàèáîëüøàÿ àìïëèòóäà íàáëþäàåòñÿ â êîíöå ëèíèè. ñîîòâåòñòâèè ñ ðàññìîòðåííîé êàðòèíîé ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âóñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íàïðÿæåíèå èòîê â ëþáîé òî÷êå ëèíèè ñêëàäûâàþòñÿ èç ïàäàþùèõ è îòðàæåííûõ âîëí íàïðÿæåíèÿ è òîêà, ò.
å. ux = ux ïàä + ux îòð; ix = ix ïàä ++ ix îòð. Îòðàæåííûå âîëíû âîçíèêàþò â êîíöå ëèíèè.Îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïàäàþùèìè è îòðàæåííûìèâîëíàìè â êîíöå ëèíèè. Ïîëàãàÿ â (13.10) x = l è îáîçíà÷àÿ íàïðÿæåíèå è òîê â êîíöå ëèíèè U2 è I2, ïîëó÷àåì U2 = U2 ïàä +U x ïàä01 2À À3U ï e -a xx1 x2 x3xÐèñ. 13.3335+ U2 îòð; I2 = I2 ïàä + I2 îòð. Ýòè ðàâåíñòâà â ñîîòâåòñòâèè ñ îáîçíà÷åíèÿìè, ïðèíÿòûìè â (13.10), è ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî U2 = I2 Zí(Zí ñîïðîòèâëåíèå íàãðóçêè ëèíèè), ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:I 2 Z í = U 2 ïàä + U 2 îòð ; I 2 Z â = U 2 ïàä - U 2 îòð .Ñêëàäûâàÿ ýòè ðàâåíñòâà è âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî âòîðîå, èìååì:Zí + Zâè2Z - ZâU 2 îòð = I 2 í.2Îòíîøåíèå êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû îòðàæåííîé âîëíû ê êîìïëåêñíîé àìïëèòóäå ïàäàþùåé âîëíû íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîìîòðàæåíèÿ ïî íàïðÿæåíèþ:U 2 ïàä = I 2su =ÎòñþäàU 2 îòðU 2 ïàä=Zí - Zâ.Zí + Zâ(13.13)U 2 îòð = s uU 2 ïàä .Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ïî íàïðÿæåíèþ ïîêàçûâàåò, êàêóþ÷àñòü àìïëèòóäû ïàäàþùåé âîëíû â êîíöå ëèíèè ñîñòàâëÿåòàìïëèòóäà îòðàæåííîé âîëíû.
Àìïëèòóäà îòðàæåííîé âîëíûòîêàI 2 îòð = -U 2 îòðZâ= -s uU 2 ïàäZâ= -s u I 2 ïàä . òî æå âðåìÿ I2 îòð = si I2 ïàä, ãäå si êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ïî òîêó. Îòñþäà âèäíî, ÷òî si = su , ò. å. êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ïî òîêó ðàâåí ïî çíà÷åíèþ è ïðîòèâîïîëîæåí ïî çíàêóêîýôôèöèåíòó îòðàæåíèÿ ïî íàïðÿæåíèþ.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ðåæèìû ðàáîòû ëèíèè. Åñëèëèíèÿ çàìêíóòà íàêîðîòêî íà êîíöå (êîðîòêîå çàìûêàíèå (ÊÇ)),ò. å. Zí = 0, òî êîýôôèöèåíò su = 1, à êîýôôèöèåíò si = 1.
Ïàäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ âîëíû íàïðÿæåíèÿ â êîíöå ëèíèè èìåþòðàâíûå àìïëèòóäû è ñäâèíóòû ïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó íà 180°.Àìïëèòóäà ðåçóëüòèðóþùåé âîëíû íàïðÿæåíèÿ â êîíöå ëèíèè áóäåò ðàâíà íóëþ.  òî æå âðåìÿ ïàäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ âîëíû òîêà áóäóò èìåòü ðàâíûå àìïëèòóäû, ÷òî ïðèâåäåò ê óâåëè÷åíèþ òîêàâ êîíöå êîðîòêîçàìêíóòîé ëèíèè.Ïðè õîëîñòîì õîäå (XX) â êîíöå ëèíèè Zí = ¥ êîýôôèöèåíòsu = 1 è si =1, ò. å. êàðòèíà èçìåíèòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ:òîê â íàãðóçêå áóäåò ðàâåí íóëþ, à íàïðÿæåíèå óâåëè÷èòñÿ âäâîå.Ñëó÷àé, êîãäà Zí = Zâ , ðàññìîòðåí íèæå.33613.4. Âòîðè÷íûå ïàðàìåòðû îäíîðîäíîé ëèíèèÂîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå.
Îäíèì èç âòîðè÷íûõ ïàðàìåòðîâ îäíîðîäíîé ëèíèè ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè, îïðåäåëÿåìîå ÷åðåç ïåðâè÷íûå ïàðàìåòðû ôîðìóëîé (13.7)Zâ =( R + j w L ) ( G + j w C ).Ïðè w = 0 Z â = r â = R G è jâ = 0, ò. å. âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ÷èñòî àêòèâíîå. Òî÷íî òàêîé æå õàðàêòåð èìååò Zâ ïðè w ® ¥:Z â = r â = L C, j â = 0 .Äëÿ âñåõ ðåàëüíî ñóùåñòâóþùèõ öåïåé R / G > L / C, ïîýòîìóìîäóëü âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû óìåíüøàåòñÿ, ñòðåìÿñü ê âåëè÷èíå L C .
Óãîë jâ èçìåíÿåòñÿ îò íóëåâîãîçíà÷åíèÿ ïðè w = 0 äî íóëåâîãî çíà÷åíèÿ ïðè w ® ¥. Ñëåäîâàòåëüíî, íà êàêîé-òî ÷àñòîòå îí áóäåò èìåòü ìàêñèìóì. Ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî óãîë jâ íà âñåõ ÷àñòîòàõ ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì. Íà ðèñ. 13.4ïîêàçàíû ãðàôèêè ÷àñòîòíûõ çàâèñèìîñòåé ìîäóëÿ è óãëà âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ îäíîðîäíîé ëèíèè.×òîáû âûÿñíèòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ,âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèÿìè äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ïàäàþùèõâîëí íàïðÿæåíèÿ è òîêà èç (13.10):U x ïàä =èI x ïàä =U 1 + Z â I12U 1 + Z â I12Z âee-gx-gx(13.14).Èç ýòèõ îòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî Z â = U x ïàä I x ïàä , ò. å.
âîëíîâîåñîïðîòèâëåíèå ëèíèè âûðàæàåò ñîîòíîøåíèå ìåæäó àìïëèòóäàìè è ôàçàìè íàïðÿæåíèÿ è òîêà ïàäàþùåé âîëíû â ëþáîéòî÷êå ëèíèè. Ïðè ýòîì| Z â|R GL C0xjâÐèñ. 13.4337Zâ =U x ïàä ejj ux ïàäI x ïàä ejj ix ïàä=U x ïàäI x ïàäej ( j ux ïàä -j ix ïàä )= Z â e jj â ,îòêóäàZâ =U x ïàäI x ïàäè j â = j ux ïàä - j ix ïàä .Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî Z â = - U x îòð I x îòð .Âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå íå çàâèñèò îò äëèíû ëèíèè îíî ïîñòîÿííî â ëþáîé òî÷êå ëèíèè.Ïðèìåð. Îïðåäåëèì âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå âîçäóøíîé ìåäíîé ëèíèè èçïðîâîäîâ äèàìåòðîì 2r = 4 ìì è ðàññòîÿíèåì ìåæäó ïðîâîäàìè lïð = 20 ñì èêàáåëüíîé ëèíèè ñ áóìàæíîé èçîëÿöèåé æèë äèàìåòðîì 2r = 0,5 ìì íà ÷àñòîòàõ f = 0; 0,8 è 10 êÃö äëÿ âîçäóøíîé öåïè è f = 0 è 0,8 êÃö äëÿ êàáåëüíîéöåïè.Äëÿ âîçäóøíîé ëèíèè ïåðâè÷íûå ïàðàìåòðû, âçÿòûå èç ñïðàâî÷íèêà: R == 2,84 Îì/êì; Ñ = 6,3 íÔ/êì; L = l,93 ìÃí/êì; G = 0,57 × 10 Ñì/êì.Ïðè f = 0 Z â = R G =2,38 êÎì.
Ïðè f = 800 Ãö (w = 2p 800 ðàä/ñ)Zâ =R + jw L=G + jw C2,84 + j2p × 800 × 1,93 × 10 -3°= 564e j7,4 Îì.-6-90,57 × 10 + j2p × 800 × 6, 3 × 10Íà ÷àñòîòå f = 10êÃö wL ? R è wC ? G, ïîýòîìó Z â = L C = 548 Îì.Äëÿ êàáåëüíîé ëèíèè: R = 190 Îì/êì, Ñ = 50 íÔ/êì, L = 0,7 ìÃí/êì,G = 5 × 104 ìêÑì/êì. Íà ÷àñòîòå f = 0 Z â = R G = 615 êÎì. Äëÿ ÷àñòîòûf = 800 Ãö ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå R ? wL è wC ? G. Ñëåäîâàòåëüíî,Zâ =R=jw CR - j 45°°e= 870e - j 45 Îì.wCÑîãëàñîâàííîå âêëþ÷åíèå ëèíèè. Ðàññìîòðèì ðåæèì ðàáîòûëèíèè, êîãäà Zí = Zâ.  ýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿsu = si = 0 è îòðàæåííûå âîëíû íàïðÿæåíèÿ è òîêà áóäóò îòñóòñòâîâàòü (Ux îòð = 0 è Ix îòð = 0).Íàïðÿæåíèå è òîê â ëþáîé òî÷êå ëèíèè, â òîì ÷èñëå è íà âõîäå (x = 0), áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ òîëüêî ïàäàþùèìè âîëíàìè.
Ñîãëàñíî (13.14) Z â = U 1ïàä I 1ïàä = U 1 I 1 = Z âx , ò. å. âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå òàêîé ëèíèè ðàâíî åå âîëíîâîìó ñîïðîòèâëåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîìõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñèììåòðè÷íîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà.Óêàçàííûé ðåæèì ðàáîòû ëèíèè ÿâëÿåòñÿ ðåæèìîì ñîãëàñîâàííîãî âêëþ÷åíèÿ. Ïðè ýòîì âñÿ ýíåðãèÿ ïîãëîùàåòñÿ â êîíöåëèíèè íàãðóçî÷íûì ñîïðîòèâëåíèåì. Ýòîò ðåæèì ðàáîòû íàèáîëååâûãîäåí äëÿ ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ ñâÿçè, òàê êàê îòðàæåíèå ýíåðãèèîò íàãðóçêè ïðèâîäèò ïîìèìî óâåëè÷åíèÿ ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ ëè338íèè ê ïîÿâëåíèþ òàê íàçûâàåìûõ ýõî-ñèãíàëîâ, íàêëàäûâàþùèõñÿíà îñíîâíîé ñèãíàë è èñêàæàþùèõ åãî.Óðàâíåíèÿ ïåðåäà÷è îäíîðîäíîé ëèíèè â ðåæèìå ñîãëàñîâàííîãî âêëþ÷åíèÿ ìîãóò áûòü ëåãêî ïîëó÷åíû èç (13.9 á è â), åñëèó÷åñòü, ÷òî ïðè ñîãëàñîâàííîì âêëþ÷åíèè U 2 = I 2 Z â , U 1 = I 1 Z â , àgòàêæå ÷òî ch g l + sh g l = e ± l :glU 1 = U 2 e , üïýglI 1 = I 2 e , ïþ-g l, üïý-g lI 2 = I 1 e .
ïþU 2 = U1 e(13.15)(13.15 à)Äëÿ ëþáîé òî÷êè ëèíèèU x = U1 e-g xè I x = I1 e-g x.(13.15 á)Êîýôôèöèåíò ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Êî âòîðè÷íûì ïàðàìåòðàì ëèíèè îòíîñèòñÿ òàêæå êîýôôèöèåíò ðàñïðîñòðàíåíèÿ, ââåäåííûé âðàññìîòðåíèå ôîðìóëîé (13.4):g =( R + jw L ) ( G + jw C ) = a + j b . ðåæèìå ñîãëàñîâàííîãî âêëþ÷åíèÿ ëèíèè èç (13.15) èìååì:U 1 U x = I 1 I x = e g x èëèU1ÎòñþäàUxe ax =Ij j -jj j -je ( u1 ux ) = 1 e ( i1 ix ) = e ax × e j bx .IxU1Ux=I1Ixè b x = j u1 - j ux = j i1 - j ix .Äëÿ îòðåçêà ëèíèè åäèíè÷íîé äëèíû (1 êì, 1 ì è ò.
ä.) ìîæíîçàïèñàòü:U1Ia = ln= ln 1 ; b = j u1 - j ux = j i1 - j ix .UxIxÂåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîýôôèöèåíòà ðàñïðîñòðàíåíèÿ a õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ è òîêà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ïðèðàñïðîñòðàíåíèè ýíåðãèè íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åäèíèöå äëèíûëèíèè. Îíà íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì îñëàáëåíèÿ ëèíèè è èçìåðÿåòñÿ â íåïåðàõ, îòíåñåííûõ ê åäèíèöå äëèíû ëèíèè (â ïðîâîäíîé ñâÿçè Íï/êì, â ðàäèîñâÿçè Íï/ì). Ïðè èñïîëüçîâàíèèäåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà âìåñòî íàòóðàëüíîãîa = 20 lg U 1 U x = 20 lg I 1 I xèçìåðÿåòñÿ â äÁ/êì èëè äÁ/ì.Ìíèìàÿ ÷àñòü êîýôôèöèåíòà ðàñïðîñòðàíåíèÿ b õàðàêòåðèçóåòñÿ èçìåíåíèåì íàïðÿæåíèÿ è òîêà ïî ôàçå.
Îíà íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ôàçû ëèíèè è èçìåðÿåòñÿ â ðàä/êì èëè ðàä/ì.Âìåñòî ðàäèàí ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ãðàäóñû.339U1e -a xU x1 Ux2U x4xU x3U x5U x30x1 x2x3U x6U x4U x2à)U1U x1á)Ðèñ. 13.5Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíò ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëèíèè g õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿ è òîêà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå èïî ôàçå ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ýíåðãèè íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åäèíèöå äëèíû ëèíèè (1 êì èëè 1 ì) â óñëîâèÿõ ñîãëàñîâàííîãî âêëþ÷åíèÿ ëèíèè.Ïðîöåññ èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ (òîêà) âäîëü ñîãëàñîâàííî íàãðóæåííîé ëèíèè ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü âåêòîðíîé äèàãðàììîé, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 13.5, à èëè òàê íàçûâàåìîé ñïèðàëüíîéäèàãðàììîé, ïðèâåäåííîé íà ðèñ.
13.5, á.×èñëåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ a è b ìîæíî íàéòè ïî ïåðâè÷íûì ïàðàìåòðàì èç îáùåé ôîðìóëû (13.4). Îäíàêî â ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæíî ïîëó÷èòüáîëåå ïðîñòûå âûðàæåíèÿ. Òàê, íà âûñîêèõ ÷àñòîòàõ (äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïèèç ìåäè, íàïðèìåð, ýòî ÷àñòîòû 10 êÃö), ãäå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ wL > R èwC > G, ïîëüçóþòñÿ óïðîùåííûìè ôîðìóëàìè:a»R C G+2 L 2Lè b » w LC.CÂûâîä ýòèõ ôîðìóë äàí â ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå è çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ.Äëÿ êàáåëüíûõ öåïåé â îáëàñòè íèçêèõ ÷àñòîò (íàïðèìåð, îò 0 äî 800 Ãö) âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ R ? wL è wC ? G.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî a = b = w CR 2 .
Âòîðè÷íûå ïàðàìåòðû a è b çàâèñÿò îò ÷àñòîòû ñëîæíûì îáðàçîì. Íà ðèñ. 13.6, à è á äàíû ãðàôèêè, êà÷åñòâåííî îòðàæàþùèå ýòóçàâèñèìîñòü.Ïðèìåð. Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíò ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçäóøíîé ìåäíîé ëèíèè c ïàðàìåòðàìè 2r = 4 ìì è lïð = 20 ñì íà ÷àñòîòå f = 800 Ãö.Çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà g íàéäåì ïî ïîëíîé ôîðìóëå (13.4), âçÿâ ïåðâè÷íûå ïàðàìåòðû èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà:g =340( R + jw L ) ( G + jw C ) =aba¥a000wà)wá)Ðèñ.
13.6=( 2,87 + j2p × 800 × 1,93 × 10 -3 ) ( 0,57 × 10 -6 + j2p × 800 × 6, 3 × 10 -9 )=°= 17,9 × 10 -3 e j 81,3 = ( 2,86 + j17,6 ) × 10 -3.Îòñþäà êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ a = 2,86 ×103 Íï/êì = 2,86 ìÍï/êì.Ïåðåâîä íåïåð â äåöèáåëû äàåò a (äÁ) = a (Íï) ´ 8,7 = 24,9 ×103 äÁ/êì. Êîýôôèöèåíò ôàçû b = 17,6 ×103 ðàä/êì.Ïîñòîÿííàÿ ïåðåäà÷è äëèííîé ëèíèè.
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