Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Òðåòüÿ ïàðà ñìåùåíèåì âòîðîé ïàðû ñòðîê åùå íà îäíó âïðàâî è ò. ä.Ïðèìåð. Ïðîâåðèì ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ ÐàóñàÃóðâèöà óñòîé÷èâîñòü öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèäp 4 + 3p 3 + 4p 2 + 6 p + 2 = 0.1. Ñîñòàâëÿåì îïðåäåëèòåëü ÐàóñàÃóðâèöà31D3 =006431026400.02Ãëàâíûå ìèíîðû ïîëó÷àåì âû÷åðêèâàíèåì ïðàâîãî ñòîëáöà è íèæíåé ñòðîêèèç îïðåäåëèòåëÿ èëè ïðåäûäóùåãî ìèíîðà:3 6 03 6D2 = 1 4 2 , D1 =, D0 = 3 .1 40 3 62. Âû÷èñëÿåì îïðåäåëèòåëü ÐàóñàÃóðâèöà è åãî ãëàâíûå ìèíîðû. Ðàñ÷åòóäîáíî ïðîâîäèòü â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå:D0 = 3 = 3,D1 =3 6= 3 × 4 - 6 × 1 = 6,1 43 6 03+33+2 3 6D2 = 1 4 2 = 6 ( -1 )D1 + 2 ( -1 )= 6 × 6 - 2 × 9 = 18 ,0 30 3 631D3 =0064310264004+4= 2 ( -1 )D2 = 2 × 18 = 36.02Îïðåäåëèòåëü ÐàóñàÃóðâèöà è åãî ãëàâíûå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû.
Òàêèìîáðàçîì, öåïü ñ ÎÑ óñòîé÷èâà.369Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè Íàéêâèñòà. Êðèòåðèé Íàéêâèñòà ïîçâîëÿåò ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ïî ñâîéñòâàì ðàçîìêíóòîé öåïè (ðèñ. 14.3, à).Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàçîìêíóòîé öåïè, èëè ïåòëåâîå óñèëåíèå, H p ( jw ) = H ó ( jw ) × H oc ( jw ) âõîäèò â õàðàêòåðèñòè÷åñêîåóðàâíåíèå (14.21):1 - H p ( jw ) = 0.(14.25)Åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ ÷àñòîòà w, äëÿ êîòîðîé êîíåö âåêòîðàHð(jw) ïîïàäàåò â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (1,j0), òî ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (14.25), ò. å.
íà ýòîé ÷àñòîòå âöåïè ïðîèçîéäåò ñàìîâîçáóæäåíèå. Çíà÷èò, ïî ãîäîãðàôó ìîæíîîïðåäåëèòü, óñòîé÷èâà öåïü èëè íåò. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ êðèòåðèé Íàéêâèñòà, êîòîðûé ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:åñëè ãîäîãðàô ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ðàçîìêíóòîé öåïè íå îõâàòûâàåò òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (1, j0), òî ïðè çàìêíóòîéöåïè îáðàòíîé ñâÿçè öåïü ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé.  òîì ñëó÷àå,êîãäà ãîäîãðàô Hð(w) îõâàòûâàåò òî÷êó (1, j0), öåïü íåóñòîé÷èâà. Íà ðèñ. 14.4 ïîêàçàíû ãîäîãðàôû òðåõ öåïåé ñ ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ (öèôðà 1 ñîîòâåòñòâóåò ãîäîãðàôó óñòîé÷èâîé öåïè).Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Íàéêâèñòà, ëåãêî ïîëó÷èòü óñëîâèÿ ñàìîâîçáóæäåíèÿ öåïè ñ ÎÑ. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ Hð(jw) â âèäåH p ( jw ) = H ó ( jw ) × H oc ( jw ) ej éë j ó ( w ) +j oc ( w ) ùû,ãäå H ó ( jw ) , H oc ( jw ) ìîäóëè ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé; j ó ( w ) ,j oc ( w ) ôàçîâûå ñäâèãè ñîîòâåòñòâåííî â îñíîâíîì ýëåìåíòå è âöåïè ÎÑ.Óñëîâèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ãîäîãðàôîì îñè àáñöèññ Re[Hð (jw)] ïðè| Hð(jw) | 1 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå äâóõ óñëîâèé:1) óñëîâèå (óðàâíåíèå) áàëàíñà ôàç j ó ( w ) + j oc ( w ) = 2pn , ãäåï = 0, 1, 2,...;2) àìïëèòóäíîå óñëîâèåH ó ( jw ) H oc ( jw ) 1, èëè H ó ( w ) H oc ( w ) 1.Âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà ñîîòâåòñòâóåò ðåæèìó âîçíèêíîâåíèÿêîëåáàíèé ñ íàðàñòàþùåé àìïëèòóäîé, ÷òî õàðàêòåðíî äëÿ íà÷àëüíîãî ýòàïà ñàìîâîçáóæäåíèÿ.
Âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà Hó(w) ´´ Hîñ(w) = 1 ñîîòâåòñòâóåò ðåæèìó ãåíåðàöèè ãàðìîíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ íà ÷àñòîòå w ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé è íîñèò íàçâàíèåáàëàíñà àìïëèòóä.Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, óðàâíåíèå áàëàíñà ôàç ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ÷àñòîòó, íà êîòîðîé ïðîèñõîäèò ñàìîâîçáóæäåíèå öåïè ñÎÑ, à óðàâíåíèå áàëàíñà àìïëèòóä äàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü370âåëè÷èíó àìïëèòóäû uâûõ (t) ãåíåðèðóåìîãî êîëåáàíèÿ â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå.Ïðèìåð.
Èññëåäóåì óñòîé÷èâîñòü öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 14.8, a, Âíåé ìîæíî âûäåëèòü óñèëèòåëüíûé ýëåìåíò ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé Íó = Êè öåïü îáðàòíîé ñâÿçè (ðèñ. 14.8, ã) ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (14.17)H oc ( p ) =pt,p t + 3 pt + 12 2ãäå t = RC.Êðîìå òîãî, íàïîìíèì, ÷òî íà óñèëèòåëü ñèãíàë ïîñòóïàåò ÷åðåç âõîäíóþöåïü (ðèñ.
14.8, â), ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ êîòîðîé (ñì. (14.16))H âõ ( p ) = 1 ( p 2 t 2 + 3 pt + 1 ) .Ïîëó÷èì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå öåïè:1 - H ó ( p ) H oc ( p ) = 0èëè1- Kpt= 0.p t + 3 pt + 12 2Îòêóäà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìp 2 t 2 + ( 3 - K ) pt + 1 = 0.(14.26)Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (14.16)p1, 22- ( 3 - K ) t ± ( 3 - K ) t 2 - 4t 2== -a ± jw c2t 2çàâèñÿò îò êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ óñèëèòåëÿ Ê. Ðàñïîëîæåíèå êîðíåé p1 è p2íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ð äëÿ ðàçíûõ êîýôôèöèåíòîâ óñèëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîìó ãðàôèêè ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé â öåïè ïîêàçàíûíà ðèñ. 14.10.Óñòîé÷èâîñòü äàííîé öåïè ìîæíî èññëåäîâàòü è ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿÍàéêâèñòà.
Êîìïëåêñíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàçîìêíóòîé öåïè ðàâíàH p ( jw ) = H ó ( jw ) H oc ( jw ) = Kjwt=Kwt( 1 - w 2 t 2 ) 2 + 9w 2 t 2e( -w 2t 2 + j3wt + 1 ) =3 wt öæpj ç - arctg÷è21-w 2 t 2 ø.Íà ðèñ. 14.4 ïðèâåäåíû ãîäîãðàôû Hð (jw) óñòîé÷èâîé (Ê = 2, êðèâàÿ 1) èíåóñòîé÷èâîé (Ê = 3, êðèâàÿ 2; Ê = 4, êðèâàÿ 3) öåïè.Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè Ìèõàéëîâà. Ýòîò ïðîñòîé è ýôôåêòèâíûé êðèòåðèé áûë ïðåäëîæåí â 1938 ã. À.Â. Ìèõàéëîâûì è áàçèðóåòñÿ îí íà õàðàêòåðå ïîâåäåíèÿ àðãóìåíòîâ ïîëèíîìà Ãóðâèöàv(jw) ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû w îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè.Ïîëîæèì, ÷òî ïîëèíîì Ãóðâèöà ñòåïåíè mv ( p ) = p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0(14.27)371u 2c (t) = A1 e-a 1t + A2 e-a 2tjwK<1p1 = -a1p2 = -a2p1 = -a + jwcaa)jwu 2c (t) = Ae-at sin (wc t + q)1<K<3at0p2 = -a - jwcá)u 2c (t) = A sin (wc t + q)jwK=3p1 = jwcp2 = -jwct0at0â)jwp 1 = a + jwcK>3au2c (t) = Aeat sin (wc t + q)0tp 2 = a - jwcÐèñ.
14.10èìååò l ïàð êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíåé ñ îòðèöàòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ pk = -a k ± jwk . Îñòàëüíûå m2l êîðíåé âåùåñòâåííûå îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà: p s = -a s . Åñëè ó÷åñòü ïðèýòîì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé äâóõ êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûõ êîðíåé ðàâíî( p - pk1 ) ( p - pk2 ) = [ p - ( -a k + jwk ) ] [ p - ( -a k - jwk ) ] =2= ( p + a k ) + w k2 = p 2 + 2a k p + a k2 + wk2 = p 2 + c1p + d1,ãäå c1 = 2a k; d1 = a k2 + wk2 ,òî ïîëèíîì Ãóðâèöà (14.27) ìîæíî ðàçëîæèòü íà ñëåäóþùèå ëèíåéíûå ìíîæèòåëèv ( p ) = ( p + a 1 ) ( p + a 2 ) K ( p + a m - 2l ) ( p 2 + c1p + d1 ) ×× ( p 2 + c2 p + d2 ) K ( p 2 + cl p + dl )èëè äàëåå ïîëàãàÿ, ÷òî p = jw, ïîëó÷èìv ( jw ) = ( jw + a 1 ) ( jw + a 2 ) K ( jw + a m - 2l ) ( -w 2 + jwc1 + d1 ) ×(14.28)× ( -w 2 + jwc 2 + d2 ) K ( -w 2 + jwcl + dl ) .372Êàê êîìïëåêñíóþ âåëè÷èíó (14.28) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìåv ( jw ) = v ( j w ) e j j v ( w ) ,(14.29)ãäåj v ( w ) = arg v ( jw ) =m - 2låk=1jk ( w ) +j k ( w ) = arctgjs ( w) =w,aklå j s ( w ),(14.30)s=1(14.31)pds æ wds+ arctgç2wcs è dsö÷.ø(14.32)Êàê ñëåäóåò èç (14.29), (14.30), (14.31) ñ óâåëè÷åíèåì w îò 0 äî¥ j v ( w ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò îò 0 äî mp/2.
Ýòî ñâîéñòâî àðãóìåíòà ïîëèíîìà Ãóðâèöà è ëåæèò â îñíîâå êðèòåðèÿ Ìèõàéëîâà,êîòîðûé ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ïðè èçìåíåíèè÷àñòîòû w îò 0 äî ¥ àðãóìåíò ïîëèíîìà Ãóðâèöà j v ( w ) âîçðàñòàåò íà óãîë mp/2 (ãäå m ñòåïåíü ïîëèíîìà), òî öåïü áóäåò óñòîé÷èâîé.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ñðåäè êîðíåé v(p) åñòü õîòÿ áû îäèí âåùåñòâåííûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü, òî â ñëàãàåìîì òèïà (14.30) ïîÿâèòñÿñëàãàåìîå j k ( w ) < 0 è ïîýòîìó ñîãëàñíî (14.30) j v ( w ) < mp/2.Êðèòåðèé Ìèõàéëîâà èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: ãîäîãðàô v(jw) óñòîé÷èâîé öåïè ïðè èçìåíåíèè w îò 0 äî ¥ áóäåòïîñëåäîâàòåëüíî îáõîäèòü â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè (ïðîòèâ÷àñîâîé ñòðåëêè) m êâàäðàíòîâ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
Íàðèñ. 14.11 ïîëó÷åíû ãîäîãðàôû óñòîé÷èâîé à è íåóñòîé÷èâîé á öåïè 4-ãî ïîðÿäêà:jáw2w1w2m=4w=0w3+àÐèñ. 4.11373 ïåðâîì ñëó÷àå ãîäîãðàô v(jw) îáõîäèò 4 êâàäðàíòà ìîíîòîííî(ïîñëåäîâàòåëüíî) ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, ïðè ýòîì àðãóìåíò âîçðàñòàåò äî âåëè÷èíû j v ( w ) = 4p/2 = 2p.Âî âòîðîì ñëó÷àå íåóñòîé÷èâîé öåïè j v ( w ) èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîìîò 2-ãî êâàäðàíòà â 4-é, ïðè ýòîì j k ( w ) < 2p .Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè1. Êàê ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ?2. Çàïèñàòü óðàâíåíèå ïåðåäà÷è äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íàðèñ.
14.1, â.Îòâåò:U ã = ( Z11 + Z ã ) I 1 + Z12oc I 2 üý.U âûõ = Z 21 I 1 + ( Z 22 + Z í ) I 2 þ3. Äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿôóíêöèÿ äèôôåðåíöèàòîðà íà îïåðàöèîííîì óñèëèòåëå ðàâíà (pRC). Ïîñòðîèòüãðàôèê À×Õ òàêîãî äèôôåðåíöèàòîðà.4. Îïðåäåëèòü ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ öåïè,èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 14.9.Îòâåò:H(p) =Ñ2 R2R1KÑ1Ðèñ. 14.9K ( 1 + pR2C2 )éë p C1C2 R1R2 + p ( R1C1 + R2C2 + R1C2 - KR1C2 ) + 1 ùû2.5. ×òî òàêîå ãîäîãðàô ïåòëåâîãî óñèëåíèÿ? Êàê ïî ãîäîãðàôó îïðåäåëèòü òèï îáðàòíîé ñâÿçè?6. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè Íàéêâèñòà? Äëÿ êàêèõ öåïåé îí èñïîëüçóåòñÿ?7. Ñôîðìóëèðóéòå êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè Ðàóñà-Ãóðâèöà. Êàê ñîñòàâèòü îïðåäåëèòåëü Ãóðâèöà? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.8.
Îïðåäåëèòü êîìïëåêñíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ Hð (jw) öåïèíà ðèñ. 14.9 ðàçîìêíóòîé îáðàòíîé ñâÿçüþ. Èññëåäóéòå çàâèñèìîñòü óñòîé÷èâîñòè öåïè îò âåëè÷èíû êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ Ê.Îòâåò:H p ( jw ) =KjwR1C2.-w R1R2C1C2 + jw ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + 129.  ÷åì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè Ìèõàéëîâà?10. Îïðåäåëèòü îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ óñèëåíèÿòðåõ óñèëèòåëåé, îõâà÷åííûõ ÎÎÑ ñ êîýôôèöèåíòîì ïåðåäà÷èHîñ = 0,01, åñëè èõ êîýôôèöèåíòû óñèëåíèÿ áåç ÎÑ ðàâíû234H1ó = 5 × 10 ; H2ó = 5 × 10 ; H3ó = 5 × 10 , à îòíîñèòåëüíàÿ ñòàáèëüíîñòü êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ ñîñòàâëÿåò 1%.Îòâåò: dH1 H1 = 1,66% ; dH 2 H 2 = 0,0196% ;dH 3 H 3 = 0,002% .374ÃËÀÂÀ 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
