Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Èç ðèñ. 15.2 ñëåäóåò, ÷òî íàïðÿæåíèå ÎÑ, ñíèìàåìîå ñêàòóøêè èíäóêòèâíîñòè îáðàòíîé ñâÿçè Lîñ, ðàâíî uîñ = èÁÝ U0,ïîýòîìó â äàëüíåéøåì óäîáíî ðàññìàòðèâàòü ÂÀÕ iÊ = F(uîñ) == iÊ(uîñ).Çàìåòèì äàëåå, ÷òî íàïðÿæåíèå ÎÑ uîñ âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíò âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè Ì è òîê â êàòóøêå L (ñì. §3.7)Cu oc = - MdiL dt . ñâîþ î÷åðåäü, òîê â êàòóøêå iL è íàïðÿæåíèå íà íåé uê ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì uê = LdiL/ dt, ïîýòîìó íàïðÿæåíèå ÎÑ uîñìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç íàïðÿæåíèå íà êîíòóðå uê:u oc = - Mu ê L .(15.5)Âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèþ (15.4). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì åãî ïî âðåìåíè è ðàçäåëèì îáå ÷àñòè íà Ñ:d 2u ê+G du ê11 diÊ ( u îñ )×+.uê =C dtLCCdt(15.6)dt 2 îòëè÷èå îò óðàâíåíèÿ (15.1) äëÿ îäèíî÷íîãî êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (15.6) ïðèñóòñòâóåò âûíóæäàþùàÿñîñòàâëÿþùàÿ di Ê (uîñ) / dt.
Ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè i Ê (uîñ) áóäåìèñêàòü êàê ïðîèçâîäíóþ ñëîæíîé ôóíêöèè:diÊ ( u îñ ) diÊ ( u îñ ) du îñS ( u îñ ) M du ê=×=×,dtdu îñdtLdt(15.7)ãäå S(uîñ) = di Ê (uîñ) / duîñ äèôôåðåíöèàëüíàÿ êðóòèçíà ÂÀÕòðàíçèñòîðà, íåëèíåéíî çàâèñÿùàÿ îò íàïðÿæåíèÿ uîñ.Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè íàïðÿæåíèÿ uîñ ïî âðåìåíè ó÷òåíî ñîîòíîøåíèå (15.5).380Ïîäñòàâèâ (15.7) â (15.6), ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àâòîãåíåðàòîðàd 2u êdt2é G S ( u îñ ) M ù du ê+ê + w 20 u ê = 0 ,úëCû dtLC(15.8)ãäå w 0 = 1 LC ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà êîíòóðà.Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì, òàêêàê êîýôôèöèåíò ïðè ïåðâîé ïðîèçâîäíîé íàïðÿæåíèÿ uê, â êîòîðûé âõîäèò êðóòèçíà S(uîñ), íåëèíåéíî çàâèñèò îò íàïðÿæåíèÿ îáðàòíîé ñâÿçè uîñ (èëè, ÷òî òî æå, îò èñêîìîé ïåðåìåííîé íàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå).
Óðàâíåíèå (15.8) îïðåäåëÿåò âñå ñâîéñòâààâòîãåíåðàòîðà è ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü óñëîâèÿ ñàìîâîçáóæäåíèÿêîëåáàíèé, îñîáåííîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà è õàðàêòåð ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â àâòîãåíåðàòîðå.Óñëîâèå âîçíèêíîâåíèÿ êîëåáàíèé. Ïðè îïðåäåëåíèè óñëîâèéñàìîâîçáóæäåíèÿ ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî àìïëèòóäà íàðàñòàþùèõ êîëåáàíèé â àâòîãåíåðàòîðå äîñòàòî÷íî ìàëà è ðàáîòà àâòîãåíåðàòîðàïðîèñõîäèò íà ëèíåéíîì ó÷àñòêå ÂÀÕ òðàíçèñòîðà iÊ = F(uîñ).Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ ìàëûõ àìïëèòóä êîëåáàíèé ÂÀÕ ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ëèíåéíî-ëîìàíîé ôóíêöèåé, êðóòèçíà êîòîðîé âðàáî÷åì äèàïàçîíå àìïëèòóä íàïðÿæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé, íåçàâèñÿùåé îò íàïðÿæåíèÿ uîñ, ò. å.
S(uîñ) = S.  ýòîì ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àâòîãåíåðàòîðà (15.8) ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíûì:d 2u ê æ G SM ö du ê+ç + w 20 u ê = 0.÷×2è C LC ø dtdtÏåðåïèøåì åãî â âèäåd 2u êdt 2+ 2a ýdu ê+ w 20 u ê = 0 ,dt(15.9)1 æ G SM öç ÷ ýêâèâàëåíòíûé êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ2 è C LC øêîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà, âêëþ÷åííîãî â öåïü êîëëåêòîðà òðàíçèñòîðà.Ñîïîñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ (15.9) ñ óðàâíåíèåì (15.2) äëÿ îäèíî÷íîãî êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè âêëþ÷åíèèêîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà â êîëëåêòîðíóþ öåïü òðàíçèñòîðà êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ êîíòóðà aý óìåíüøèòñÿ íà âåëè÷èíó SM/2LC,çàâèñÿùóþ îò âçàèìîèíäóêöèè Ì, ò.
å. îò ÎÑ:ãäå a ý =SM,2LCãäå a = G/2Ñ êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé êîíòóðà.aý = a -381×òîáû â êîíòóðå âîçíèêëè íàðàñòàþùèå ïî àìïëèòóäå êîëåáàíèÿ, íåîáõîäèìî ñäåëàòü êîýôôèöèåíò aý < 0. Ýòî âîçìîæíî ïðèóñëîâèè SM/LÑ > G/C. Îòñþäà ïîëó÷àåì çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòàâçàèìíîé èíäóêöèè Ì ïðè êîòîðîì â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå âîçíèêíóò íàðàñòàþùèå ïî àìïëèòóäå êîëåáàíèÿ:M > LG S .(15.10)Óñëîâèå (15.10) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñàìîâîçáóæäåíèÿ LC-àâòîãåíåðàòîðà. Âåëè÷èíà Mêð = LG/S íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèìêîýôôèöèåíòîì âçàèìíîé èíäóêöèè.
Êîëåáàíèÿ â àâòîãåíåðàòîðåìîãóò âîçíèêíóòü òîëüêî ïðè îáðàòíîé ñâÿçè ñ Ì > Mêð. ÏðèÌ < Mêð êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ êîíòóðà aý > 0 è êîëåáàíèå âêîíòóðå ñòàíîâèòñÿ çàòóõàþùèì. Êîýôôèöèåíò aý â (15.9) ìîæíîïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:a ý = ( G + Gâí ) 2C ,(15.11)ãäå Gâí = (SM/L) ïðîâîäèìîñòü, âíîñèìàÿ â êîíòóð çà ñ÷åòäåéñòâèÿ îáðàòíîé ñâÿçè. Çíàê êîýôôèöèåíòà Ì ìîæåò ìåíÿòüñÿ âçàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ âêëþ÷åíèÿ (ñîãëàñíî èëè âñòðå÷íî)âòîðè÷íîé îáìîòêè òðàíñôîðìàòîðà. Ïðè Ì > 0 âíîñèìàÿ ïðîâîäèìîñòü îêàçûâàåòñÿ îòðèöàòåëüíîé è åñëè åå âåëè÷èíà | Gâí | > G,÷òî èìååò ìåñòî ïðè Ì > Mêð, òî aý < 0 è â êîíòóðå âîçíèêíóò íàðàñòàþùèå ïî àìïëèòóäå êîëåáàíèÿ.
Ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ Ì ñîîòâåòñòâóþò ïîëîæèòåëüíîé ÎÑ, îòðèöàòåëüíûå îòðèöàòåëüíîé ÎÑ.Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà, ñîîòâåòñòâóþùàÿóðàâíåíèþ (15.9) ñ aý èç (15.11), ïðèâåäåíà íà ðèñ. 15.4. Îòðèöàòåëüíàÿ îáùàÿ ïðîâîäèìîñòü êîíòóðà G + Gâí < 0 ïðè Ì > Mêðñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî â êîíòóð ïîñòóïàåò ýíåðãèè áîëüøå, ÷åìðàñõîäóåòñÿ åå íà àêòèâíîé ïðîâîäèìîñòè êîíòóðà G.Ñòàöèîíàðíûé ðåæèì ðàáîòû.
Ïðè áîëüøèõ àìïëèòóäàõ ñèãíàëà íåëèíåéíîñòüþ ÂÀÕ òðàíçèñòîðà iÊ = F(uîñ) ïðåíåáðå÷ü óæåíåëüçÿ: â îáùåì ñëó÷àå îíà äîëæíà àïïðîêñèìèðîâàòüñÿ ñòåïåííûìïîëèíîìîì âûñîêîãî ïîðÿäêà.Òîê â öåïè êîëëåêòîðà â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå áóäåò èç-çà íåëèíåéíîñòè ÂÀÕ íåñèíóñîèäàëüíîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé âðåìåíè è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ðÿäîì ÔóðüåiÊLCGSML0Ðèñ. 15.4382U 0''U 0'Ðèñ.
15.5u îñiÊ = I0 + Im1 cos w 0 t + Im 2 cos 2w 0 t + KÏàäåíèå íàïðÿæåíèÿ uê íà êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå, íàñòðîåííîìíà ÷àñòîòó w 0, îïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì ïåðâîé ãàðìîíèêîé êîëëåêòîðíîãî òîêà, òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà äëÿ òîêà ýòîé ãàðìîíèêè ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì (ðàâíûì Rîý = l/G), à äëÿ îñòàëüíûõãàðìîíèê äîñòàòî÷íî ìàëûì. Íàïðÿæåíèå ÎÑ uîñ, îïðåäåëÿåìîå(15.5), âñëåäñòâèå ýòîãî òàêæå áóäåò ãàðìîíè÷åñêèì; åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäåu oc = U m oc cos w 0 t.Ââåäåì ïîíÿòèå ñðåäíåé êðóòèçíû ÂÀÕScp ( U m oc ) = Im1 U m oc .Îíà îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì àìïëèòóäû Im1 ïåðâîé ãàðìîíèêèòîêà iÊ, ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç íåëèíåéíûé ýëåìåíò, ê àìïëèòóäåUm îñ, äåéñòâóþùåãî íà íåëèíåéíûé ýëåìåíò íàïðÿæåíèÿ uîñ.Ñðåäíþþ êðóòèçíó ÷àñòî ïîýòîìó íàçûâàþò êðóòèçíîé ÂÀÕ ïîïåðâîé ãàðìîíèêå.
Ñðåäíÿÿ êðóòèçíà Scp(Um îñ) çàâèñèò îò àìïëèòóäû íàïðÿæåíèÿ îáðàòíîé ñâÿçè Um îñ è îò ïîëîæåíèÿ ðàáî÷åéòî÷êè U0. Íà ðèñ. 15.5 ïîêàçàíà òèïè÷íàÿ ÂÀÕ òðàíçèñòîðà iÊ == F(uîñ). Ïóñòü ðàáî÷àÿ òî÷êà âûáðàíà íà ñåðåäèíå ëèíåéíîãî ó÷àñòêà õàðàêòåðèñòèêè (U0 = U0¢).
Ïðè óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû íàïðÿæåíèÿ Um îñ ñðåäíÿÿ êðóòèçíà, ïîêà ìû íàõîäèìñÿ â ïðåäåëàõëèíåéíîãî ó÷àñòêà õàðàêòåðèñòèêè, îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Çàòåìñðåäíÿÿ êðóòèçíà ÂÀÕ ïàäàåò (ðèñ. 15.6, à). Åñëè âûáðàòü ðàáî÷óþ òî÷êó (U0 = U0¢¢) íà íèæíåì çàãèáå õàðàêòåðèñòèêè iÊ == F(uîñ), ãäå ñðåäíÿÿ êðóòèçíà ìàëà, òî ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ àìïëèòóäû Um îñ áóäóò îõâàòûâàòüñÿ ó÷àñòêè õàðàêòåðèñòèêè ñ áîëüøåéêðóòèçíîé è, ñëåäîâàòåëüíî, Scp(Um îñ) ñòàíåò ðàñòè. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ó÷àñòêà ñ íàèáîëüøåé êðóòèçíîé äàëüíåéøåå óâåëè÷åíèåUm îñ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ñðåäíåé êðóòèçíû (ðèñ. 15.6, á).Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (15.8) ïðè ðàáîòå ãåíåðàòîðà âðåæèìå áîëüøèõ àìïëèòóä ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëèíåéíûì,ïîñêîëüêó â êîýôôèöèåíò ïðè duê /dt âõîäèò ñðåäíÿÿ êðóòèçíàScp(Um îñ), çàâèñÿùàÿ îò àìïëèòóäû Um îñ íàïðÿæåíèÿ ÎÑ.
ÎäíàêîScp (U m îñ )Scp (U m îñ )0à)U m îñ0á)U m îñÐèñ. 15.6383â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå, êîãäà ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå íà êîíòóðå uê õàðàêòåðèçóåòñÿ óñòàíîâèâøåéñÿ (ñòàöèîíàðíîé) àìïëèòóäîé Um ê, ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå îáðàòíîé ñâÿçè uîñ òàêæåîïèñûâàåòñÿ óñòàíîâèâøåéñÿ (ñòàöèîíàðíîé) àìïëèòóäîé Um îñ.Ïðè ýòîì ñðåäíÿÿ êðóòèçíà Scp(Um îñ) ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (15.8) ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíûì:é G Scp ( U m oc ) M ù du ê2(15.12)+ê ú × dt + w 0 u ê = 0.2dtëCûLC ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ãåíåðèðóþòñÿ íåçàòóõàþùèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.
Ýòî èìååò ìåñòî, êîãäàd 2u êaý =1 é G Scp ( U m oc ) M ùM é LGù=- Scp ( U m oc ) ú = 0.êúê2ëCûû 2LC ë MLCÎòñþäà óñòàíîâèâøååñÿ (ñòàöèîíàðíîå) çíà÷åíèå ñðåäíåé êðóòèçíû ðàâíî*.Scp ( U m oc ) = ( LG M ) = ScpÑ ó÷åòîì ýòîãî îáîçíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ êîíòóðàïåðåïèøåì â âèäåM é(15.13)S* - Scp ( U m oc ) ùû .2LC ë cpÈç ôîðìóëû (15.13) ïðè aý = 0 ìîæíî îïðåäåëèòü ñòàöèîíàð* oc , êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿíóþ àìïëèòóäó U m* . Ðèñ. 15.7 èëëþñòðèðóåòêðèâîé Sñð (Um îñ) è ïðÿìîé ëèíèè Scpïðîöåññ íàõîæäåíèÿ ñòàöèîíàðíîé àìïëèòóäû äëÿ äâóõ çàâèñèìîñòåé ñðåäíåé êðóòèçíû, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì ïîëîæåíèÿìðàáî÷åé òî÷êè íà ÂÀÕ (ñì.
ðèñ. 15.5).×àñòîòà ãåíåðèðóåìûõ êîëåáàíèé, îïðåäåëÿåìàÿ êàê w ã == w 02 - a ý2 , â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ïðè aý = 0 ñîâïàäàåò ñ ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà w 0.aý =Scp (U m îñ )Scp (U m îñ )*ScpÂÑU *m îñ 1U *m îñ2á)*Scp0à)U *m îñUm îñÐèñ. 15.73840Um îñÓñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà. Ñòàöèîíàðíûé ðåæèì íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè îòêëîíåíèå DUm îñ îò ñòàöèîíàðíîé* oc ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäåò óìåíüøàòüñÿ.àìïëèòóäû U mÐàññìîòðèì ñòàöèîíàðíûé ðåæèì â òî÷êå À íà ðèñ. 15.7, à. Îò** oc ïðèâåäåò ê Sñð (Um îñ) > Scpêëîíåíèå DUm îñ îò àìïëèòóäû U mè, â ñîîòâåòñòâèè ñ (15.13), ê aý < 0, ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
